“滾動的硬幣”實(shí)驗方案

王磊

【實(shí)驗課題】滾動的硬幣.

【實(shí)驗背景】通過本次實(shí)驗活動，幫助大家系統(tǒng)地理解《圓》這章的知識，感受生活問題數(shù)學(xué)化的過程.學(xué)會用系統(tǒng)思維思考動態(tài)幾何的特點(diǎn).經(jīng)歷對硬幣滾動的軌跡和硬幣移動的距離規(guī)律的研究，發(fā)展動手操作能力，提高數(shù)學(xué)思維水平與解決問題的能力.

【實(shí)驗?zāi)康摹刻骄坑矌艥L動過程中的規(guī)律.

【實(shí)驗難點(diǎn)】探索硬幣在兩折線交匯處的運(yùn)動軌跡及在不同軌道上運(yùn)動的軌跡.

【實(shí)驗準(zhǔn)備】一元硬幣（半徑為r，以下相同）若干，實(shí)驗活動單，常用數(shù)學(xué)作圖工具.

【實(shí)驗過程】

活動一：熟悉硬幣的滾動規(guī)律

1. 將一枚硬幣沿著直線l滾動一周，觀察它滾動時圓心的運(yùn)動的軌跡和移動的距離.

思考：（1） 硬幣滾動時圓心的運(yùn)動的軌跡是什么？硬幣移動了多長路程？如果將這條直線變?yōu)榫€段，那么這條線段至少需要多長？

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（2） 研究硬幣移動的路程時，有怎樣的觀測技巧？

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【活動說明】從最簡單的規(guī)律開始研究，為之后的實(shí)驗活動打下基礎(chǔ).要弄清硬幣滾動時圓心運(yùn)動的軌跡和自身的移動路程之間的關(guān)系.

活動二：探究簡單的硬幣滾動規(guī)律

1. 圍繞一條折線滾動

如圖1，一枚硬幣（設(shè)為☉O）在折線AB-BC上滾動，觀察它滾動時圓心運(yùn)動的軌跡和圓心經(jīng)過的路徑的長度.

【思考】

（1） 圓與AB、BC是什么關(guān)系？

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（2） ☉O的圓心移動的路程等于線段AB與線段BC的長度之和嗎？

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（3）若∠O1BO2=n°，則該角度會對硬幣圓心移動的路程有什么影響？

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【活動說明】把直線改為折線，逐步增加探究的深度，通過觀察、思考、探究、交流和總結(jié)的過程，鍛煉自主學(xué)習(xí)和語言表達(dá)能力，為下一環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)做鋪墊.

2. 圍繞一個三角形滾動

如圖2，若硬幣圍繞一個三角形滾動一周，圓心經(jīng)過的路徑的長度是多少？

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3. 圍繞一個多邊形滾動

如圖3，若硬幣圍繞一個多邊形（設(shè)周長為C）滾動一周，圓心經(jīng)過的路徑的長度是多少？

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【活動說明】由折線改為多邊形，從而使情況由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般，遵循了人的認(rèn)知規(guī)律.

4. 將兩枚同樣大小的硬幣放在桌子上，固定其中一個，而另一個則沿著其邊緣滾動一周，觀察它滾動時圓心運(yùn)動的軌跡和路徑長度，你有何發(fā)現(xiàn)？

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【活動說明】軌道改變?yōu)閳A形時，也可以看成是當(dāng)多邊形的邊數(shù)n趨近于無窮大時的圖形， 如下圖5所示.

活動三：拓展延伸，開闊視野

問題：☉O圍繞的軌道改為下列情形，你能發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)奧秘嗎？

（1） 若半徑為r的☉O沿著半徑為2r的☉A滾動一周（如圖6所示），這時圓心運(yùn)動的路徑長度是多少？

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（2） 若半徑為r的☉O沿著7個半徑均為r的圓連貫而成圖形的邊緣滾動一周，這時圓心沿著怎樣的軌跡運(yùn)動？路徑長度是多少？

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（3）若半徑為r的☉O沿著由6 個半徑均為r的圓拼成圖形的邊緣滾動一周，這時，圓心沿著什么樣的軌跡運(yùn)動？路徑長度是多少？

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【活動說明】“活動三”主要探索硬幣在不同軌道中滾動的情況，是對“活動一”和“活動二”的總結(jié)和提高.運(yùn)用前面的探究結(jié)論，結(jié)合等邊三角形的知識，“活動三”的問題可迎刃而解.通過三個難度逐步加大的實(shí)驗，進(jìn)一步鍛煉了同學(xué)們的動手能力和思維能力，加強(qiáng)了小組成員間的合作意識.

（作者單位：江蘇省連云港市海州實(shí)驗中學(xué)）