圓中的特殊角

黃芹

圓周角是圓中一類特殊的角，正確理解圓周角的概念，深刻認識圓周角定理，切實掌握圓周角定理的應用，是學好圓周角的關鍵，也是進一步學好圓的相關知識的基礎.

例1 如圖1，☉O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，∠A=45°，BD為☉O的直徑，BD= 2，連接CD，則∠D=______，BC=______.

【解析】由“同弧所對的圓周角相等”可知，∠D=∠A=45°；又BD為☉O的直徑，所以∠BCD=90°；又BD=2，所以BC=CD=2.

例2 若O為△ABC的外心，且∠BOC=60°，則∠BAC=______.

【解析】據抽樣調查，本題作答30°的同學很多，究其原因是有些考生受思維定勢的影響，只以銳角△ABC得出答案.其實，本題中的三角形不一定是銳角三角形，因此需要進行分類討論：（1） 若△ABC是銳角三角形，則如圖2，∠BAC=∠BOC，答案為30°；（2） 若△ABC是直角三角形，則如圖3，∠BAC=∠BOC，答案也為30°；（3） 若△ABC是鈍角三角形，則如圖4，此時在優(yōu)弧上取一點D，連接BD、CD，則∠BDC=∠BOC=30°，∠BAC=180°-∠BDC=180°-30°=150°，答案為150°. 因此，本題的答案為30°或150°.面對如此復雜的情況，不掌握分類的思想方法，難免以偏概全.

例3 如圖5，☉O是△ABC的外接圓，∠C=30°，AB=2 cm，則☉O的半徑為______cm.

【解析】過點A作直徑AD，連接BD，則由圓周角定理有∠D=∠C=30°，∠ABD=90°，由AB=2 cm，有AD=4 cm，故☉O的半徑為2 cm.

例4 如圖6，已知AB為☉O的直徑，C是的中點，CD⊥AB，垂足為D，AE交CD于點F，連接AC，試說明AF=CF.

【分析】要說明AF=CF，只要說明∠ACF=∠CAF，其中∠CAF是弧CE所對的圓周角，而由條件知=，因此只要找出所對的圓周角與∠ACF相等即可，而構造所對的圓周角，需連接BC，此時恰好構造了直徑AB所對的圓周角∠ACB.

解：連接CB，∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°，即∠ACF+∠BCD=90°. ∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACF. ∵C是的中點，∴=，∴∠B=∠CAE，∴∠ACF=∠CAF，∴AF=CF.

【點評】見“直徑”構造“直徑所對的圓周角”，是常用且重要的輔助線. 由例3和例4應學會由直徑聯想直角及由直角聯想直徑，這種雙向聯想在解決圓中有關問題時十分有效. 例4還告訴我們，在圓中，構造同弧或等弧所對的圓周角即可得到相等的角，因此這也是常用的輔助線.

小試身手

1.（2013·山東泰安）如圖7，點A、B、C在☉O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，則∠BOC等于（ ）.

A. 60° B. 70°

C. 120° D. 140°

2.（2013·浙江舟山）如圖8，☉O中，半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交☉O于點E，連接EC，若AB=8，CD=2，則EC的長度為（ ）.

A. 2 B. 8

C. 2 D. 2

3. （2013·浙江溫州）如圖9，AB為☉O的直徑，點C在☉O上，延長BC至點D，使DC=CB. 延長DA與☉O的另一個交點為E，連接AC，CE.

（1） 求證：∠B=∠D；

（2） 若AB=4，BC-AC=2，求CE的長.