SR－偽投射模①

李偉鵬

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅慶陽(yáng) 745000)

0 引言

近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)投射模做了很多推廣，見文獻(xiàn)[1～5]，本文引入了SR－偽投射模，進(jìn)一步豐富了投射模的內(nèi)容.

本文所討論的環(huán)都是有單位元1的結(jié)合環(huán)，模都是酉模.

1 基本概念

定義1: 稱左R－模M是SR－偽投射模，是指:對(duì)任意左R－模A，且M是半自反模，對(duì)任意滿同態(tài)f:M→A→0和g:M→A→0，存在一個(gè)同態(tài)h:M→M，使得f=gh.

顯然SR－偽投射模是SR－投射模[1]，反之，不一定.

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)M是左R－模，則以下等價(jià):

1)M是SR－偽投射模;

2)對(duì)任意左R－模A，任意滿同態(tài)g:B→A→0(其中半自反模B是半自反模M的任一滿同態(tài)像)和f:M→A→0，存在一個(gè)同態(tài)h:M→B使得f=gh.

證明 1)?2)顯然

2)?1)任取滿同態(tài)f:M→A→0和g:B→A→0，因?yàn)榘胱苑茨是半自反模M的滿同態(tài)像，所以存在滿同態(tài)m:M→B→0，則gm:M→A→0是滿同態(tài)，由1)知，存在t:M→M，使得f=gmt，取h=mt:M →B，則 gh=gmt=f，故2)成立.

性質(zhì)1 設(shè)左R－模M是SR－偽投射模，左R－模A是半自反模，則對(duì)任意滿同態(tài)f:M→A→0和g:A→A→0，存在一個(gè)同態(tài)h:M→A，使得f=gh.

證明 由于f:M→A→0為滿同態(tài)，則A是M的一個(gè)滿同態(tài)像.

由定理1知，存在一個(gè)同態(tài)h:M→A→0，使得f=gh.

性質(zhì)2 設(shè)左R－模M是SR－偽投射模，左R－模N是半自反模，則對(duì)任意滿同態(tài)fN→M→0(其中N是M的一個(gè)滿同態(tài)像)，則f是可裂的.

證明 由于左R－模M是SR－偽投射模，則由定理1知，對(duì)于fN→M→0和IM:M→M→0，存在g:M→N→0，使得fg=IM，因此f是可裂的.

定理2 設(shè)(Uα)A是一些左R－模的加標(biāo)集合，若⊕Uα是SR－偽投射模，則對(duì)任意的α∈A，Uα是SR－偽投射模.

證明: 對(duì)任意的滿同態(tài)g:Uα→A→0和f:Uα→A→0，設(shè)πα:⊕Uα→Uα→0為投影滿射，又⊕AUα是SR－偽投射模，

由定理1知，對(duì)g:Uα→A→0和fπα:⊕Uα→A →0，存在 t:⊕AUα→ Uα，使得 fπα=gt，取 h=tIα:Uα→Uα，則gh=gh′lα=fπαlα=f，故Uα是SR－偽投射模.

[1]牟欣.SR－投射模與SR－內(nèi)射模[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，1:63－64.

[2]Du Xian－ neng，Zhao Chun－ e.Pseudo－ Injectine Modules and Principally Pseudo－Injectine Modules[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論，2007，27(2):223－228.

[3]歐陽(yáng)倫群.M－投射模與M－投射維數(shù)[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，3:259－261.

[4]佟文廷.同調(diào)代數(shù)引論[M].北京:高等教育出版社，1998.

[5]歐陽(yáng)倫群.SR－投射模與內(nèi)射模之間的關(guān)系[J].百城師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，21(3):8－10.