GIac-內(nèi)射模與GIac-平坦模的環(huán)刻畫(huà)

陳 東

(成都大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 四川 成都 610106)

相應(yīng)地, 環(huán)R的GI-整體維數(shù)GI-iD(R)以及GI-弱整體維數(shù)GI-fD(R)定義為

特別地,Gao[1]證明了R是半單環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)R-模是GI-內(nèi)射模,R是von Neumann正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)余撓模是GI- 內(nèi)射模;Gao[2]證明了R是von Neumann正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)R-模是GI-平坦模.

…→E1→E0→E0→E1→…

使得M?Ker(E0→E0),且對(duì)任意的FP-內(nèi)射模I,函子HomR(I,-)使上述正合列保持正合.

相應(yīng)地,Zhao等[5]定義了M的DI-內(nèi)射維數(shù)DI-idRM和DI-平坦維數(shù)DI-fdRM, 以及環(huán)R的DI-整體維數(shù)DI-iD(R)和DI-弱整體維數(shù)DI-fD(R).作為DI-內(nèi)射模和DI-平坦模的環(huán)刻畫(huà),Zhao等[5]也證明了R是半單環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)R-模是DI-內(nèi)射模;R是von Neumann正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)R-模是DI-平坦模.

受以上思想的啟發(fā),本文用 Gorenstein AC-內(nèi)射模代替Gorenstein內(nèi)射模,由此引入GIac-內(nèi)射模和GIac-平坦模的概念.稱R-模M是Gorenstein AC-內(nèi)射模,如果存在內(nèi)射模的正合列：

…→E1→E0→E0→E1→…,

注意,Gao[1]和Zhao等[5]用GI-內(nèi)射模(或GI-平坦模)和DI-內(nèi)射模(或DI-平坦模)分別刻畫(huà)了半單環(huán)、von Neumann正則環(huán)、遺傳環(huán)和半遺傳環(huán).一個(gè)自然的問(wèn)題是,能否也用GIac-內(nèi)射模和GIac-平坦?？坍?huà)上述環(huán)類？本文肯定的回答了這個(gè)問(wèn)題,證明了每個(gè)R-模是GIac-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)R是半單環(huán),每個(gè)R-模是GIac-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)R是von Neumann正則環(huán).相應(yīng)地,定義R-模M的GIac-內(nèi)射維數(shù)和GIac-平坦維數(shù),及環(huán)R的GIac-整體維數(shù)GIac-iD(R)及GIac-弱整體維數(shù)GIac-fD(R).證明了R是遺傳環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)GIac-iD(R)≤1,且每個(gè)GIac-內(nèi)射模是內(nèi)射模;R是凝聚環(huán),則R是半遺傳環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)GIac-fD(R)≤1,且每個(gè)GIac-平坦模是平坦模.

為方便討論,需回顧相關(guān)概念：

…→F1→F0→F0→F1→…

使得M?Ker(F0→F0),且對(duì)任意的絕對(duì)clean模I,函子I?-使上述正合列保持正合.相關(guān)概念,參見(jiàn)文獻(xiàn)[6-14],不再贅述.

本文所涉及的環(huán)均是有單位元的交換的結(jié)合環(huán),所涉及的模均是酉模.用D(R) 表示環(huán)R的整體維數(shù),wD(R)表示環(huán)R的弱整體維數(shù),M+表示模M的特征模 Homz(M,Q/Z).設(shè)是L模類,用⊥L和L⊥分別表示L的左、右正交類.

1 主要結(jié)果

首先引入GIac-內(nèi)射模和GIac-平坦模的概念,可以看到GIac-內(nèi)射模是介于GI-內(nèi)射模與余純內(nèi)射模之間的一個(gè)模類,GIac-平坦模是介于GI-平坦模與余純平坦模之間的一個(gè)模類.

注11) 由文獻(xiàn)[9]中的定義知, {Gorenstein AC-內(nèi)射模}?{Gorenstein 內(nèi)射模},于是存在以下包含關(guān)系：

{內(nèi)射模}?{GI-內(nèi)射模}?{GIac-內(nèi)射模} ?{余純內(nèi)射模}

{平坦模}?{GI-平坦模}?{GIac-平坦模}?{余純平坦模}

2) 若R是Noether 環(huán),則Gorenstein內(nèi)射模就是Gorenstein AC-內(nèi)射模,此時(shí){GI-內(nèi)射模}={GIac-內(nèi)射模};若D(R)<∞,則Gorenstein AC-內(nèi)射模是內(nèi)射模,此時(shí) {GIac-內(nèi)射模}={余純內(nèi)射模}.

3) 若R是凝聚環(huán),則FP-內(nèi)射模等價(jià)于絕對(duì)clean模.此時(shí),Gorenstein平坦模就是 Gorenstein AC-平坦模.

4) 若R既是Noether環(huán),又是完全環(huán),則投射模等價(jià)于level模.此時(shí),Gorenstein投射模就是Gorenstein AC-投射模.

現(xiàn)舉一個(gè)余純內(nèi)射模,但不是GIac-內(nèi)射模的例子.

命題1設(shè)M是R-模,以下各條等價(jià)：

1)M是GIac-內(nèi)射模;

2) 對(duì)正合列0→M→E→L→0,其中E是Gorenstein AC-內(nèi)射模,則E→L是L的Gorenstein AC-內(nèi)射預(yù)覆蓋;

3) 同態(tài)：E(M)→E(M)/M是E(M)/M的Gorenstein AC-內(nèi)射預(yù)覆蓋,其中E(M)表示M的內(nèi)射包絡(luò);

4)M是某個(gè)R-模B的Gorenstein AC-內(nèi)射預(yù)覆蓋g:A→B的核,其中A是內(nèi)射模;

5) 對(duì)正合列0→A→B→C→0,其中C是Gorenstein AC-內(nèi)射模,函子HomR(-,M)使該正合列保持正合.

2)?3) 由于0→M→E(M)→E(M)/M→0是正合列,其中E(M)表示M的內(nèi)射包絡(luò),故也是Gorenstein AC-內(nèi)射模.由2)知,E(M)→E(M)/M是E(M)/M的Gorenstein AC-內(nèi)射預(yù)覆蓋;

3)?4) 顯然;

1)?5) 顯然;

命題2設(shè)M是R-模,以下各條等價(jià):

1)M是GIac- 平坦模;

2)M=⊥,其中={B+|B是GIac-內(nèi)射模};

3) 對(duì)正合列0→A→B→C→0,其中C是Gorenstein AC-內(nèi)射模,函子M?-使該正合列保持正合.

命題31) 設(shè)R是環(huán),M是GIac-內(nèi)射模.若M的Gorenstein AC-內(nèi)射維數(shù)小于等于1,則M是內(nèi)射模;

2) 設(shè)R是環(huán),M是GIac-平坦模.若M的Gorenstein AC-平坦維數(shù)小于等于1,則M是平坦模.

2) 設(shè)M是GIac-平坦模,則M+是GIac-內(nèi)射模,于是有M+的Gorenstein AC-內(nèi)射維數(shù)小于等于1.由1)知,M+是內(nèi)射模,故M是平坦模.

定理1設(shè)R是環(huán),以下各條等價(jià)：

1) 每個(gè)R-模是GIac-內(nèi)射模;

2) 每個(gè)R-模是強(qiáng)GIac-內(nèi)射模;

3) 每個(gè)Gorenstein AC-內(nèi)射模是投射模;

4) 每個(gè)Gorenstein AC-投射模是內(nèi)射模;

5)R是半單環(huán).

2)?1) 顯然.

4)?5) 設(shè)M是投射模,由定義知,M也是Gorenstein AC-投射模.由4)知,M是內(nèi)射模,故R是QF環(huán),于是每個(gè)R-模N都是Gorenstein投射模.注意此時(shí)R是QF環(huán),故由注1知,Gorenstein投射模等價(jià)于Gorenstein AC-投射模,再由4)知,N是內(nèi)射模.因此,R是半單環(huán).

5)?4) 顯然.

3)?5) 設(shè)M是內(nèi)射模,N是任意的R-模.由定義1知,M也是Gorenstein AC-內(nèi)射模.由3)知,M是投射模,故R是QF環(huán),于是每個(gè)R-模N是Gorenstein內(nèi)射模.注意此時(shí)R是Noether環(huán),故由注1知,Gorenstein內(nèi)射模等價(jià)于Gorenstein AC-內(nèi)射模,于是又由3)知,N是Gorenstein AC-內(nèi)射模,從而也是投射模.因此,R是半單環(huán).

5)?3) 顯然.

稱環(huán)R是von Neumann正則環(huán),是指每個(gè)R-模是平坦模或FP-內(nèi)射模;環(huán)R是IF環(huán), 是指每個(gè)內(nèi)射模是平坦模.Ding等[16]證明了IF環(huán)就是FC 環(huán).環(huán)R是FC環(huán),是指R是自FP-內(nèi)射的凝聚環(huán).下面用GIac-平坦?？坍?huà)von Neumann正則環(huán)：

定理2設(shè)R是環(huán),以下各條等價(jià)：

1) 每個(gè)R-模是GIac-平坦模;

2) 每個(gè)R-模是強(qiáng)GIac-平坦模;

3) 每個(gè)Gorenstein AC-內(nèi)射模是平坦模;

4) 每個(gè)余撓模是GIac-內(nèi)射模;

5) 每個(gè)純內(nèi)射模是GIac-內(nèi)射模;

6)R是von Neumann 正則環(huán).

證明1)?2) 由注1及定理1.

4)?5) 由于每個(gè)純內(nèi)射模是余撓模,故5)成立.

2)?1) 顯然.

3)?6) 設(shè)E是內(nèi)射模,由定義1知,E也是Gorenstein AC-內(nèi)射模.由3)知,E是平坦模,故R是IF環(huán),從而是FC環(huán),于是每個(gè)R-模M是Gorenstein-平坦模.注意此時(shí)R是凝聚環(huán),故由注1知,M也是Gorenstein AC平坦模,從而有M+是Gorenstein AC-內(nèi)射模.再由3)知,M+是平坦模,故M是FP-內(nèi)射模.因此,R是von Neumann正則環(huán).

6)?1) 由于每個(gè)平坦模是GIac-平坦模, 故1)成立.

模的GI-內(nèi)射維數(shù)、DI-內(nèi)射維數(shù)、GI-平坦維數(shù)和DI-平坦維數(shù)的定義分別見(jiàn)文獻(xiàn)[3-5].類似地,現(xiàn)定義模的GIac-內(nèi)射維數(shù)和GIac-平坦維數(shù)：

定義2設(shè)M是R-模：

相應(yīng)地,環(huán)R的GIac-整體維數(shù)GIac-iD(R)以及GIac-弱整體維數(shù)GIac-fD(R)定義為

3)GIac-iD(R)=sup{GIac-idRM|M是任意的R-模};

4)GIac-fD(R)=sup{GIac-fdRM|M是任意的R-模}.

注2由上述定理容易看到,環(huán)R的GIac-整體維數(shù)刻畫(huà)了環(huán)R與半單環(huán)的距離,即GIac-iD(R)=0當(dāng)且僅當(dāng)R是半單環(huán);環(huán)R的GIac-弱整體維數(shù)刻畫(huà)了環(huán)R與von Neumann正則環(huán)的距離,即GIac-fD(R)=0當(dāng)且僅當(dāng)R是 von Neumann 正則環(huán).

命題4設(shè)M是R-模,若idRM<∞則Gac-idRM=idRM.因此,當(dāng)D(R)<∞時(shí),GIac-iD(R)=D(R).

定理3設(shè)R是環(huán),以下各條等價(jià)：

1)GIac-iD(R)≤1;

2) Gorenstein AC-內(nèi)射模的投射維數(shù)小于等于1;

3) 強(qiáng)GIac-內(nèi)射模的商模是強(qiáng)GIac-內(nèi)射模;

4) 內(nèi)射模的商模是強(qiáng)GIac-內(nèi)射模;

5)GIac-內(nèi)射模的商模是GIac-內(nèi)射模;

6) 內(nèi)射模的商模是GIac-內(nèi)射模.

3)?4) 顯然.

4)?3) 設(shè)M是強(qiáng)GIac-內(nèi)射模,L是M的商模,于是存在正合列： 0→K→M→L→0.另一方面,又存在正合列：0→K→E→C→0,其中E是內(nèi)射模.于是存在以下正合列的交換圖如圖1所示.

圖1 交換圖Fig.1 Commutative diagram

5)?6) 顯然.

環(huán)R稱為遺傳環(huán),是指D(R)≤1;環(huán)R稱為半遺傳環(huán),是指R是凝聚環(huán),且wD(R)≤1.現(xiàn)用環(huán)R的GIac-內(nèi)射維數(shù)刻畫(huà)遺傳環(huán)：

定理4環(huán)R是遺傳環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)GIac-iD(R)≤1,且每個(gè)GIac-內(nèi)射模是內(nèi)射模.

? 設(shè)M是任意的R-模,故存在正合列： 0→N→E→E/N→0,其中E是內(nèi)射模.由于E也是GIac-內(nèi)射模,且GIac-iD(R)≤1,故E/N也是GIac-內(nèi)射模.由題意知,E/N是內(nèi)射模,故D(R)≤1,從而R是遺傳環(huán).

最后,用環(huán)R的GIac- 平坦維數(shù)刻畫(huà)半遺傳環(huán)：

定理5設(shè)R是凝聚環(huán),則R是半遺傳環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)GIac-fD(R)≤1,且每個(gè)GIac-平坦模是平坦模.

? 設(shè)M是任意的R-模,故存在正合列： 0→K→F→M→0,其中F是平坦模.由于F也是GIac-平坦模,且GIac-fD(R)≤1,故K也是GIac-平坦模,由題意知,K是平坦模,故wD(R)≤1,從而R是半遺傳環(huán).