關(guān)于Gorenstein FPn-內(nèi)射模

昌文浩, 周德旭

（福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 福建 福州 350117）

左R-模E稱為FP-內(nèi)射模[1-3]，如果對任意有限表現(xiàn)左R-模P，有Ext1R(P，E) =0.FP-內(nèi)射模作為內(nèi)射模的推廣，對于同調(diào)代數(shù)中的一些環(huán)如凝聚環(huán)，IF 環(huán)等的研究中起著重要的作用.近年來， 關(guān)于FP-內(nèi)射模的推廣及其在Gorenstein同調(diào)理論中的研究引起了許多學(xué)者的興趣(如文獻(xiàn)[4-12]).2012年， 文獻(xiàn)[6] 利用FP-內(nèi)射模引入研究了Gorenstein FP-內(nèi)射模.2013 年，文獻(xiàn)[7] 進(jìn)一步定義了強(qiáng)Gorenstein FP-內(nèi)射模，并得到了FC 環(huán)的一些刻畫.另一方面， 2003 年文獻(xiàn)[12]利用n-表現(xiàn)模推廣引入了FPn-內(nèi)射模，并給出了n-凝聚環(huán)的若干等價(jià)刻畫.

受以上工作的啟發(fā)，首先通過文獻(xiàn)[13]的FPn-內(nèi)射模研究(強(qiáng))Gorenstein FPn-內(nèi)射模， 給出了Gorenstein FPn- 內(nèi)射模，強(qiáng)Gorenstein FPn- 內(nèi)射模以及FPn-內(nèi)射模的關(guān)系， 然后得到了(強(qiáng))Gorenstein FPn-內(nèi)射模的若干性質(zhì)和等價(jià)刻畫，最后研究了一類特殊的環(huán)——左GFPn-正則環(huán)，即每個(gè)左R-模均為Gorenstein FPn-內(nèi)射模， 得到左GFPn-正則環(huán)的等價(jià)刻畫， 推廣了文獻(xiàn)[6-7]中相關(guān)結(jié)果.

總設(shè)環(huán)R是一個(gè)有單位元的結(jié)合環(huán)，模為酉模， 同態(tài)是指模同態(tài)， 未指明的定義和符號可參見文獻(xiàn)[13].

1 Gorenstein FPn - 內(nèi)射模

按照文獻(xiàn)[12]， 稱左R-模E是FPn- 內(nèi)射模， 若Ext1R(X,E) =0， 其中X為n-表現(xiàn)模.首先， 利用FPn-內(nèi)射模引入如下Gorenstein同調(diào)模.

定義1稱左R-模M是Gorenstein FPn-內(nèi)射模， 如果存在FPn-內(nèi)射模的正合列

使得M?Ker(E0→E1)并且上述正合列在函子HomR(X,-)的作用下為正合列， 其中X為投射維數(shù)有限的n-表現(xiàn)摸.特別地， 當(dāng)上述正合列中Ei=Ei=E，fi=fi=f時(shí)，則稱M是強(qiáng)Gorenstein FPn-內(nèi)射模.

命題1(強(qiáng))Gorenstein FPn-內(nèi)射模關(guān)于直積(直和)封閉.

證明只證強(qiáng)Gorenstein FPn-內(nèi)射模關(guān)于直積封閉，其他情形類似可證.設(shè){Mi}i∈I是一簇強(qiáng)Gorenstein FPn-內(nèi)射模，則存在一個(gè)FPn-內(nèi)射模的正合列

使得Mi?Ker(Ei→Ei)并且上述正合列在函子HomR(X,-)的作用下為正合列.從而存在如下正合列

使得∏Mi?Ker(∏fi) 且∏Ei是FPn- 內(nèi)射模.又HomR(X,∏εi) ?∏HomR(X,εi)， 所以∏Mi是強(qiáng)Gorenstein FPn-內(nèi)射模.

下面討論FPn-內(nèi)射模，Gorenstein FPn-內(nèi)射模，強(qiáng)Gorenstein FPn-內(nèi)射模之間的聯(lián)系.

命題2每個(gè)FPn-內(nèi)射模都是強(qiáng)Gorenstein FPn-內(nèi)射模.

證明1設(shè)M是FPn-內(nèi)射模，存在左R-模正合列

其中f:(x,y) ?(y,0) ，x，y∈M.顯然有Kerf=Imf=M⊕0=M.設(shè)X為投射維數(shù)有限的n-表現(xiàn)摸， 將HomR(X,-)到上述正合列上， 得到下述交換圖.即

由于下行序列正合， 所以上行也是正合的， 即HomR(X,δ)為正合的.從而M為強(qiáng)Gorenstein FPn-內(nèi)射模.

命題3每個(gè)Gorenstein FPn-內(nèi)射模是某個(gè)強(qiáng)Gorenstein FPn-內(nèi)射模的直和項(xiàng).

證明令M是Gorenstein FPn-內(nèi)射模， 則存在完全FPn-內(nèi)射分解

使得M?Ker().對于任意整數(shù)m，記δm為利用正合列δ通過增加指標(biāo)m而得到的正合序列， 其中diδm=令Q=∏Pi， 則有正合序列

注意到M為Ker() 的直和項(xiàng)，且

由于對任意整數(shù)m都有 HomR(X,δm)正合， 所以HomR(X,ω)也正合， 于是Ker(∏d0δi)是強(qiáng)Gorenstein FPn-內(nèi)射模.所以M是某個(gè)強(qiáng)GorensteinFPn-內(nèi)射模的直和項(xiàng).

推論1每個(gè)GorensteinFPn-內(nèi)射模是FPn-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)強(qiáng)Gorenstein FPn-內(nèi)射模是 FPn-內(nèi)射模.

證明必要性顯然.充分性.由命題3 知，Gorenstein FPn- 內(nèi)射模是某個(gè)強(qiáng)Gorenstein FPn- 內(nèi)射模的直和項(xiàng)， 而FPn-內(nèi)射模的直和項(xiàng)還是FPn-內(nèi)射的.從而充分性成立.

下面給出在一般環(huán)下(強(qiáng))Gorenstein FPn-內(nèi)射模的一個(gè)等價(jià)刻畫.

命題4設(shè)M是左R- 模，則M是強(qiáng)Gorenstein FPn-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)短正合列0 →M→E→M→0，其中：E是FPn-內(nèi)射模，且對于投射維數(shù)有限的n-表現(xiàn)模X有Ext1R(X,M) =0.

證明必要性.若M是強(qiáng)Gorenstein FPn-內(nèi)射模， 則由定義知存在FPn-內(nèi)射模正合列，使得M?Imf?kerf.從而存在短正合列0 →M→E→M→0.由定義知對于投射維數(shù)有限的n-表現(xiàn)摸X， HomR(X,-)保持上述序列正合， 即有正合列

再由同調(diào)長正合列定理知， 存在如下正合列

由于E為FPn-內(nèi)射模， 所以Ext1R(X,E) =0.由上述正合列得到Ext1R(X,M) =0.

充分性.由條件知存在短正合列0 →M→E→M→0，其中：E為FPn-內(nèi)射模，從而存在FPn-內(nèi)射模正合列，使得M?Imf?kerf.用HomR(X,-)作用于上述正合列，再應(yīng)用同調(diào)長正合列定理和已知條件知0 →HomR(X,M) →HomR(X,E) →HomR(X,M) →Ext1(X,M)=0 為正合序列， 從而HomR(X,-)保持上述序列正合， 即M為強(qiáng)Gorenstein FPn-內(nèi)射模.

類似可證下面命題.

命題5左R-模M是Gorenstein FPn-內(nèi)射模，當(dāng)且僅當(dāng)存在FPn-內(nèi)射模的正合列

使得M?ker(E0→E1)并且對于任意投射維數(shù)有限的n-表現(xiàn)模X均有Ext1R(X,M) =0.

2 關(guān)于左n-凝聚環(huán)

考慮在左n-凝聚環(huán)R中(強(qiáng))Gorenstein FPn-內(nèi)射模的等價(jià)刻畫， 并研究左GFPn-正則環(huán)的性質(zhì).

命題6設(shè)R是左n-凝聚環(huán)，則左R-模M是Gorenstein FPn- 內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)存在FPn-內(nèi)射模正合序列ε=…→E1→E0→E0→E1→…，使得M?ker(E0→E1).

證明必要性.由定義可以直接得到.

充分性.只需證明對于投射維數(shù)有限的n-表現(xiàn)模X， HomR(X，ε)為正合的.設(shè)X的投射維數(shù)為m.下面對m做數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)m=0時(shí)結(jié)論顯然成立.現(xiàn)在設(shè)m≥1， 則存在短正合列0 →L→P0→X→0，其中P0為有限生成投射模，從而L的投射維數(shù)≤m-1.由于R為左n-凝聚環(huán)，從而L為n-表現(xiàn)模.于是有復(fù)形正合序列為

由歸納可知HomR(L,ε)為正合的.顯然HomR(P0,ε)為正合的.根據(jù)文獻(xiàn)[14]知，HomR(X,ε)也是正合的.

推論2設(shè)R是左n-凝聚環(huán)，則下列敘述等價(jià)：

1)M是Gorenstein FPn-內(nèi)射模；

2) 存在一個(gè)正合序列…→E1→E0→M→0， 其中Ei為FPn-內(nèi)射模；

3) 存在一個(gè)短正合序列0 →K→E→M→0， 其中E為FPn-內(nèi)射模，K為Gorenstein FPn-內(nèi)射模.

證明1)?2)， 1)?3)可由定義得到.現(xiàn)在證明2)?1)與3)?2).

2)?1) 設(shè)M滿足條件2)， 令0 →M→E0→E1→…為M的FPn-內(nèi)射分解， 則M ?Ker(E0→E1).從而得到如下FPn-內(nèi)射模的正合序列

由命題6知，M是Gorenstein FPn-內(nèi)射模.

3)?2) 設(shè)存在左R-模短正合序列

其中：E為FPn內(nèi)射，K為Gorenstein FPn-內(nèi)射模， 則存在左R-模正合序列

其中：E'i為FPn-內(nèi)射.現(xiàn)在將序列α與β合并，得到以下正合列：

其中：E,Ei'為FPn-內(nèi)射， 所以2)成立.

命題7設(shè)R是左n-凝聚環(huán)， 則左R-模M是強(qiáng)Gorenstein FPn-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)存在正合列0→M→E→M→0其中E是FPn-內(nèi)射模.此時(shí)，ExtiR(X,M)=0， ?i＞0.

證明必要性顯然.

設(shè)存在正合列0 →M→E→M→0， 其中E是FPn-內(nèi)射模， 則由R是左n-凝聚環(huán)， 根據(jù)文獻(xiàn)[13]定理1知ExtiR(X,E) =0，?i＞0.由同調(diào)長正合列

可知， 0=Ext1(X,M)?Ext2(X,M)?Ext3(X,M)?….

下面研究左GFPn-正則環(huán)的性質(zhì).

定義2環(huán)R稱為左GFPn-正則環(huán)， 如果每個(gè)左R-模都是Gorenstein FPn-內(nèi)射模.

定理1環(huán)R為左GFPn-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)投射左R-模是FPn-內(nèi)射的且每個(gè)投射維數(shù)有限的n-表現(xiàn)左R-模都是投射的.

證明必要性.由于環(huán)R為左GFPn-正則環(huán)， 從而每個(gè)左R-模都是GFPn-內(nèi)射模.于是每個(gè)投射左R-模P都是GFPn-內(nèi)射模，進(jìn)而存在一個(gè)FPn-內(nèi)射模的正合列

使得P?Ker(E0→E1)， 于是存在可裂正合列E0→P→0.從而每個(gè)投射左R-模P是FPn-內(nèi)射的，再設(shè)X為投射維數(shù)有限的n-表現(xiàn)模，由命題4知，對任意左R-模M均有Ext1R(X,M) =0，從而X為投射的.

充分性.設(shè)M是一個(gè)左R-模，由于每個(gè)投射左R-模是FPn-內(nèi)射的，從而把M的投射分解與FPn-內(nèi)射分解合并，得到完全的FPn-內(nèi)射左R-模的正合列ε.再由每個(gè)投射維數(shù)有限的n-表現(xiàn)模X都是投射的，所以HomR(X,-)為正合序列，由GFPn-內(nèi)射模的定義得到，M是GFPn-內(nèi)射模.命題得證.

注1由定理1 可知，當(dāng)環(huán)R的左總體維數(shù)有限時(shí)，左GFPn-正則環(huán)R一定是左n-凝聚環(huán).

定理2設(shè)R為左n-凝聚環(huán)， 則下列敘述等價(jià)：

1） 環(huán)R為左GFPn-正則環(huán)；

2） 每個(gè)投射左R-模是Gorenstein FPn-內(nèi)射的；

3） 每個(gè)投射左R-模是強(qiáng)Gorenstein FPn-內(nèi)射的；

4） 每個(gè)投射左R-模是FPn-內(nèi)射的；

5）RR是FPn-內(nèi)射的(強(qiáng)GorensteinFPn-內(nèi)射的， Gorenstein FPn-內(nèi)射的)；

6） 每個(gè)投射維數(shù)有限的左R-模是FPn-內(nèi)射的(強(qiáng)Gorenstein FPn-內(nèi)射的， Gorenstein FPn-內(nèi)射的).

證明1)?2) 顯然.

2)?4) 設(shè)M為投射左R- 模，則由2)知M為Gorenstein FPn-內(nèi)射模，從而存在正合列0 →A→E→M→0，其中E為FPn-內(nèi)射的.由于M為投射的，從而正合列可裂，于是M為FPn-內(nèi)射的.

4)?6) 設(shè)M為投射維數(shù)有限的左R-模，則存在正合列

其中：E0,…,Em均為投射模.由3)知，E0,…,Em均為FPn-內(nèi)射的.根據(jù)文獻(xiàn)[13]的命題4 和定理1 可知，M為FPn-內(nèi)射的.

6)?1) 設(shè)X為投射維數(shù)有限的n-表現(xiàn)摸，則存在正合列0 →X0→P→X→0， 其中P為有限生成投射模.從而X0為投射維數(shù)有限的.由4)知，X0為FPn-內(nèi)射的.于是0 →X0→P→X→0是可裂的，即X為投射的.根據(jù)命題知，R為左GFPn-正則環(huán).

4)?3)?2) 根據(jù)命題1可得.

4)?5) 利用FPn-內(nèi)射模類關(guān)于直和與直和項(xiàng)封閉即得.