Gorenstein FPn-內(nèi)射模和Gorenstein FPn-平坦模

陳 東, 胡 葵

(1. 成都大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 四川 成都 610106; 2. 西南科技大學(xué) 理學(xué)院, 四川 綿陽 621010)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

Gorenstein內(nèi)射模和Gorenstein平坦模是Gorenstein同調(diào)理論中的基本研究對(duì)象,文獻(xiàn)[1-3]用FP-內(nèi)射模代替內(nèi)射模,引入了GorensteinFP-內(nèi)射模和Ding內(nèi)射模的概念.稱R-模M是GorensteinFP-內(nèi)射模,如果存在FP-內(nèi)射模Ii和Ii的正合列

…→I1→I0→I0→I1→…,

使得M?ker(I0→I0),且對(duì)任意的FP-內(nèi)射模I,函子HomR(I,-)使上述正合列保持正合.稱R-模M是Ding內(nèi)射模,如果存在內(nèi)射模Ei和Ei的正合列

…→E1→E0→E0→E1→…,

Fn→Fn-1→…→F1→F0→N→0,

其中每個(gè)Fi是有限生成的自由?；蛲渡淠?容易看到,當(dāng)R是Noether環(huán)時(shí),FPn-內(nèi)射模和內(nèi)射模是一致的.相關(guān)概念參見文獻(xiàn)[4],不再贅述.

為討論方便,本文恒設(shè)R是交換環(huán),所討論的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán),模指酉模.用FIn表示FPn-內(nèi)射模,⊥M表示M的左正交補(bǔ),M+表示M的特征模HomZ(M,Q/Z).

2 主要結(jié)果

定義 11) 稱R-模M是GorensteinFPn-內(nèi)射模,如果存在FPn-內(nèi)射模Ei和Ei的正合列

…→E1→E0→E0→E1→…,

(1)

使得M?ker(E0→E0),且對(duì)任意的FPn-內(nèi)射模I,函子HomR(I,-)使上述正合列保持正合.2) 稱R-模M是GorensteinFPn-平坦模,如果存在FPn-平坦模Fi和Fi的正合列

…→F1→F0→F0→F1→…,

(2)

使得M?ker(F0→F0),且對(duì)任意的FPn-內(nèi)射模I,函子I?-使上述正合列保持正合.

定義 21) 稱R-模M是n-Ding內(nèi)射模,如果存在內(nèi)射模Ei和Ei的正合列

…→E1→E0→E0→E1→…,

使得M?ker(E0→E0),且對(duì)任意的FPn-內(nèi)射模I,函子HomR(I,-)使上述正合列保持正合.2) 稱R-模M是n-Ding平坦模,如果存在平坦模Fi和Fi的正合列

…→F1→F0→F0→F1→…,

使得M?ker(F0→F0),且對(duì)任意的FPn-內(nèi)射模I,函子I?-使上述正合列保持正合.

注 3由定義:

1) {內(nèi)射模}?{FP-內(nèi)射模}?{FPn-內(nèi)射模}?{GorensteinFPn-內(nèi)射模};

{平坦模}?{FPn-平坦模}?{GorensteinFPn-平坦模}.

2) GorensteinFP0-內(nèi)射模是Gorenstein內(nèi)射模,GorensteinFP1-內(nèi)射模是GorensteinFP-內(nèi)射模;GorensteinFP0-平坦模和GorensteinFP1-平坦模恰好是Gorenstein平坦模.

3) {n-Ding內(nèi)射模}?{Gorenstein內(nèi)射模},{n-Ding平坦模}?{Gorenstein平坦模}.

4) 正合列(1)和(2)中所有的像、核、上核都是GorensteinFPn-內(nèi)射模(或GorensteinFPn-平坦模).

5) GorensteinFPn-內(nèi)射模對(duì)直積、直和加項(xiàng)封閉;GorensteinFPn-平坦模對(duì)直和、直和加項(xiàng)封閉.

命題 4設(shè)M是GorensteinFPn-平坦模,則M+是GorensteinFPn-內(nèi)射模.

證明由于M是GorensteinFPn-平坦模,故存在FPn-平坦模Fi和Fi的正合列

F=…→F1→F0→F0→F1→…,

使得M?ker(F0→F0),且對(duì)任意的FPn-內(nèi)射模E,E?F是正合的.于是又有

(E?F)+=…→(E?F1)+→(E?F0)+→

(E?F0)+→(E?F1)+→…

(3)

是正合的.由于(Fi)+和(Fi)+是FPn-內(nèi)射模,從而有

F+=…→(F1)+→(F0)+→

(F0)+→(F1)+→…

是FPn-內(nèi)射模的正合列,且M+?ker((F0)+→(F0)+).另一方面,對(duì)正合列(3),由相伴同構(gòu)定理知

…→HomR(E,(F1)+)→HomR(E,(F0)+)→

HomR(E,(F0)+)→HomR(E,(F1)+)→…

是正合的.因此,M+是GorensteinFPn-內(nèi)射模.

文獻(xiàn)[7]中定義了R-模M的FP-內(nèi)射維數(shù)

其中N是有限表現(xiàn)模}.

相應(yīng)地,可以定義R-模M的FPn-內(nèi)射維數(shù)

其中N是n-有限表現(xiàn)模}.

以下給出n-凝聚環(huán)上FPn-內(nèi)射維數(shù)的一個(gè)刻畫:

命題 5設(shè)R是n-凝聚環(huán),則M的FPn-內(nèi)射維數(shù)FPn-idR(M)≤n,當(dāng)且僅當(dāng)存在正合列

0→M→E0→E1→…→En→0,

其中每個(gè)Ei是FPn-內(nèi)射模.

命題 6設(shè)R是n-凝聚環(huán),M是GorensteinFPn-內(nèi)射模,則M的FPn-內(nèi)射維數(shù)FPn-idR(M)等于0或∞.

證明設(shè)FPn-idR(M)=n<∞,由命題5,存在FPn-內(nèi)射模的正合列

0→M→E0→E1→…→En→0.

從而又有短正合列:

0→M→E0→C0→0,

0→C0→E1→C1→0,

……

0→Cn-2→En-1→En→0,

由于M是GorensteinFPn-內(nèi)射模,故對(duì)任意的FPn-內(nèi)射模I,函子HomR(I,-)使上述所有正合列保持正合.因而有正合列

HomR(En,En-1)→HomR(En,En)→0.

于是該正合列分裂,故Cn-2是FPn-內(nèi)射模.類似的方法如此下去,得到每個(gè)Ci都是FPn-內(nèi)射模.由第一個(gè)短正合列,M是FPn-內(nèi)射模.

文獻(xiàn)[1]證明了環(huán)R是Noether環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)FP-內(nèi)射模是Gorenstein內(nèi)射模,當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)GorensteinFP-內(nèi)射模是Gorenstein內(nèi)射模.現(xiàn)用GorensteinFPn-內(nèi)射?？坍婲oether環(huán).

定理 7以下各條等價(jià):

1)R是Noether環(huán);

2) 每個(gè)FPn-內(nèi)射模是Gorenstein內(nèi)射模;

3) 每個(gè)FPn-內(nèi)射模是n-Ding內(nèi)射模;

4) 每個(gè)GorensteinFPn-內(nèi)射模是Gorenstein內(nèi)射模;

5) 每個(gè)GorensteinFPn-內(nèi)射模是n-Ding內(nèi)射模.

證明1)?3)?2),1)?4)?2)和1)?5)?3)顯然.

于是又有正合列

即

近年來,許多學(xué)者研究了Gorenstein同調(diào)模的結(jié)構(gòu).2010年,文獻(xiàn)[8]證明了若R是Gorenstein環(huán)且Krull維數(shù)有限,則每個(gè)Gorenstein內(nèi)射模也可以分解為不可分解的Gorenstein內(nèi)射模的直和.2018年,文獻(xiàn)[6]證明了一個(gè)局部2-強(qiáng)Gorenstein半單環(huán)R上每個(gè)R-模M都有分解M=R(I)⊕N,其中R(I)是秩為I的自由模,N滿足對(duì)任意x∈N,都有Ann(x)≠0,其中Ann(x)表示元素x的零化子.現(xiàn)討論n-凝聚環(huán)上GorensteinFPn-內(nèi)射模的結(jié)構(gòu).

定理 8設(shè)R是n-凝聚環(huán),M是GorensteinFPn-內(nèi)射模,則有M?F⊕H,其中F是FPn-內(nèi)射模,H是FIn-內(nèi)射模.

證明由于M是GorensteinFPn-內(nèi)射模,故存在M的全FPn-內(nèi)射分解

…→E1→E0→E0→E1→…,

使得M?ker(E0→E0),且函子HomR(FIn,-)使上述正合列保持正合.取K=cok(M→E0),由于R是n-凝聚環(huán),故由文獻(xiàn)[10],K有FPn-內(nèi)射蓋g:G0→K,取M0=ker(G0→K).容易驗(yàn)證g是滿射.由于M是GorensteinFPn-內(nèi)射模,故對(duì)FPn-內(nèi)射模G0,有正合列

HomR(G0,E0)→HomR(G0,K)→0.

于是存在以下行為正合列的交換圖:

注意到βγ是同構(gòu),故E0=ker(β)⊕Im(γ),因而Im(γ)?G0且ker(β)是FPn-內(nèi)射模.另一方面,M0是FIn-內(nèi)射模.由于σφ是同構(gòu),由引理5有M=ker(σ)⊕Im(φ),其中Im(φ)?M0.考慮以下交換圖:

因而有ker(σ)=ker(β).

由于1-凝聚環(huán)是凝聚環(huán),容易得到以下結(jié)論.

推論 9[1]設(shè)R是凝聚環(huán),M是GorensteinFP-內(nèi)射模,則M?F⊕H,其中F是FP-內(nèi)射模,H是FI-內(nèi)射模.

證明設(shè)f0:E0→M是M的FPn-內(nèi)射蓋,由于R是自FPn-內(nèi)射的,因此f0是滿射.于是存在正合列

且對(duì)任意的FPn-內(nèi)射模I,

HomR(I,E0)→HomR(I,M)→0

是正合的.對(duì)K0,又存在f1:E1→K0是K0的FPn-內(nèi)射蓋,由于R是自FPn-內(nèi)射的,因此f1也是滿射.于是又存在正合列

且對(duì)任意的FPn-內(nèi)射模I,

HomR(I,E1)→HomR(I,K0)→0

是正合的.如此下去,可以構(gòu)造M的左FPn-內(nèi)射分解

…→E1→E0→M→0,

且對(duì)任意的FPn-內(nèi)射模I,函子HomR(I,-)使上述正合列保持正合.

另一方面,取M的右內(nèi)射分解

0→M→E0→E1→…,

綜上,存在M的全FPn-內(nèi)射分解

…→E1→E0→E0→E1→…,

使得M?ker(E0→E0),且對(duì)任意的FPn-內(nèi)射模I,函子HomR(I,-)使上述正合列保持正合.

推論 11[11]設(shè)R是QF環(huán),則每個(gè)R-模M是Gorenstein內(nèi)射模.

環(huán)R稱為n-FC環(huán),若R是凝聚環(huán),且R的自FP-內(nèi)射維數(shù)小于等于n(FP-idRR≤n).特別地,0-FC環(huán)稱為FC環(huán),FC環(huán)也是IF環(huán).

推論 12[1]設(shè)R是完全的FC環(huán),則每個(gè)R-模M是GorensteinFP-內(nèi)射模.

致謝成都大學(xué)青年基金(2018XZA08)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.