截尾泊松分布參數(shù)MLE的漸近有效性①

葉曉晨

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000)

1 問(wèn)題的提出

關(guān)于泊松分布參數(shù)估計(jì)已有許多的研究，在文獻(xiàn)[1]中研究截尾泊松分布參數(shù)的MLE，并給出估計(jì)的強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性.本文在此基礎(chǔ)上，得到MLE的又一大樣本性質(zhì)—漸近有效性.

2 截尾泊松分布參數(shù)的MLE

設(shè)總體X服從泊松分布P(λ)，其中λ ＞0為參數(shù)，抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 X1，X2，…Xn，設(shè)K0＞ 0 是事先給定的常數(shù)(閾值)，在試驗(yàn)得到的觀測(cè)值不是，x1，x2，…xn，而是 x1ΛK0，x2ΛK0，…，xmΛK0，這里aΛb=min{a，b}，這種情況可以看成是截尾試驗(yàn).本文主要基于截尾樣本 x1ΛK0，x2ΛK0，…，xnΛK0，討論λ的MLE的漸近有效性.

為方便，記 ηi=XiΛK0(i=1，2，…，n)，則η1…ηn是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且

對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

在[1]中已經(jīng)證明λ的強(qiáng)相合性，即λ)=1，(λ→ λ，a，s)和漸近正態(tài)性，即其中V為漸近方差.下面討論λ的漸近有效性.

在大樣本理論中，估計(jì)的有效性是一個(gè)重要概念，它刻劃了估計(jì)收斂于真值的速度，其定義也有好幾種，通常稱達(dá)到C－R下界的漸近正態(tài)估計(jì)為漸近有效估計(jì)[2－3].

用λ0表示未知的真實(shí)參數(shù)，Θ表示參數(shù)空間，假設(shè)Θ ={λ，A≤λ≤B}，其中A，B為已知正數(shù)，λ0是 Θ 的內(nèi)點(diǎn).此外，設(shè) fλ(ηi，δi)=(1－

根據(jù)強(qiáng)大數(shù)定律有

[1]劉銀萍，宋立新.II型截尾情形下泊松分布參數(shù)的估計(jì)[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)理學(xué)版，2007，45(6):941－944.

[2]成平.論極大似然估計(jì)的Cramer漸近有效性[J].科學(xué)通報(bào)，1980，25:1057－1060.

[3]薛紅旗，宋立新.分組數(shù)據(jù)下參數(shù)極大似然估計(jì)漸近有效性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2001，21(2);250－256.