拉回和推出的若干注記

何東林，李煜彥，彭康青

（隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院，甘肅隴南742500）

拉回和推出是環(huán)模理論、同調(diào)代數(shù)、代數(shù)表示論以及范疇論的基本概念之一，也是討論模的投射性、內(nèi)射性、平坦性以及各種同調(diào)維數(shù)等的重要工具，許多學(xué)者先后對(duì)其進(jìn)行了研究[1-5]. 設(shè)R 為有單位元的結(jié)合環(huán)，本文主要針對(duì)具有特定形式左R-模的行正合交換圖，給出拉回和推出的若干性質(zhì)和等價(jià)刻畫.

文中的環(huán)R 均指有單位元的結(jié)合環(huán)，模均指酉左R-模. 對(duì)任意左R-模同態(tài)和，記f 與g 的合成為其余涉及的概念和記號(hào)參見(jiàn)文獻(xiàn)[6-7].

1 定義和引理

定義1[6]93設(shè)為左R-模的交換圖，則：

1）稱同態(tài)對(duì)(φ, α )是(φ, β )的拉回，如果對(duì)任意滿足等式的同態(tài)對(duì)（其中且都存在唯一的同態(tài)使得且（此性質(zhì)稱為拉回的泛性質(zhì)）.

引理1[6]96設(shè)( , )φ α 是( , )φ β 的拉回，則以下說(shuō)法等價(jià)：1）若β 為單同態(tài)，則φ 為單同態(tài)；2）若β 為滿同態(tài)，則φ 為滿同態(tài).

引理2[6]97設(shè)( , )φ β 是( , )φ α 的推出，則以下說(shuō)法等價(jià)：1）若φ 為單同態(tài)，則β 為單同態(tài)；2）若φ 為滿同態(tài)，則β 為滿同態(tài).

引理3[7]53設(shè)為左R-模的行正合交換圖，則以下結(jié)論成立：1）當(dāng)5t 為單同態(tài)且24,t t 為滿同態(tài)時(shí)，3t 為滿同態(tài)；2）當(dāng)1t 為滿同態(tài)且24,t t 為單同態(tài)時(shí)，3t 為單同態(tài).

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)為左R-模的行正合交換圖，則以下條件等價(jià)：1）( , )φ α 是( , )φ β 的拉回；2）γ 為單同態(tài).

證明 1）?2）. 設(shè)是的拉回.是包含同態(tài)，是Kerγ 的投射覆蓋. 由是滿同態(tài)及P 是投射模易知，存在同態(tài)使得因?yàn)槭堑睦兀紤]同態(tài)對(duì)由拉回的泛性質(zhì)易知，存在同態(tài)使得由知，注意到且，可見(jiàn)又因?yàn)闈M同態(tài)右可消且μ為滿同態(tài)，所以 0λ = . 而λ 為包含同態(tài)，因此γ 為單同態(tài).

由定義1 知，(φ,α) 是(φ,β)的拉回.

對(duì)偶地，可得如下結(jié)論.

定理2設(shè)為左R-模的行正合交換圖，則以下條件等價(jià)：1）),( βφ是),( αφ的推出；2）γ 為滿同態(tài).

由蛇引理可得以下推論，然而本文使用不同于蛇引理的方法給出其證明.

推論 1設(shè)為左R-模的行正合交換圖，其中γ 為單同態(tài)，則β 為單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)φ 為單同態(tài).

證明?設(shè)β 為單同態(tài). 由γ 為單同態(tài)及定理1 知，),( αφ是),( βφ的拉回. 根據(jù)引理1 可得φ 為單同態(tài).

?設(shè)φ 為單同態(tài). 將上圖補(bǔ)充兩個(gè)零同態(tài)可得如下行正合交換圖

注意到φ 和γ 均為單同態(tài)，由引理3 易知，β 為單同態(tài).

推論2設(shè)為左R-模的行正合交換圖，其中γ 為滿同態(tài)，則β 為滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)φ 為滿同態(tài).

證明?設(shè)β 為滿同態(tài). 將上圖補(bǔ)充兩個(gè)零同態(tài)，由引理3 及γ 為滿同態(tài)易知，φ 為滿同態(tài).

?設(shè)φ 為滿同態(tài). 由γ 為滿同態(tài)及定理2 知，),( βφ是),( αφ的推出. 根據(jù)定理2 及引理2 易知，β 為滿同態(tài).

定理3設(shè)為左R-模的行正合交換圖，且H 為任意左R-模. 如果γ 為單同態(tài)且HomR( H , β )為滿同態(tài)，那么HomR( H ,φ)是滿同態(tài).

證明由假設(shè)γ 為單同態(tài)及定理 1 易知，(φ ,α)是(φ ,β)的拉回. 對(duì)任意f∈HomR( H , M),

因?yàn)镠omR( H , β )為滿同態(tài)，所以存在使得等式成立. 由拉回的泛性質(zhì)可知， 存在同態(tài)使 得且. 從 而為滿同態(tài).

定理4設(shè)為左R-模的行正合交換圖，且H 為任意左R-模. 如果γ 為滿同態(tài)且HomR(φ ,H)為滿同態(tài)，那么HomR(β ,H)是滿同態(tài).

證明由假設(shè)γ 為滿同態(tài)及定理 2 易知， (φ, β )是(φ, α )的推出. 對(duì)任意f∈HomR( B,H),因?yàn)闉闈M同態(tài)，所以存在使得fα=gφ. 又由推出的泛性質(zhì)可知，存在同態(tài)，使得f σφ=且g σβ=. 從而也是滿同態(tài).