結(jié)式與多項(xiàng)式互素

李冬梅　劉偉俊

摘 要：主要研究唯一分解整環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)中多元多項(xiàng)式互素.從一元多項(xiàng)式結(jié)式的經(jīng)典定義出發(fā)，結(jié)合推廣的結(jié)式性質(zhì)，給出系數(shù)為唯一分解整環(huán)上的多個(gè)多元多項(xiàng)式是否互素、或是否存在非平凡公因子判定的充分必要條件.

關(guān)鍵詞：結(jié)式；多項(xiàng)式互素；公因子； 多項(xiàng)式環(huán)

中圖分類號(hào)：O153 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Resultants and Coprimeness of Polynomials

LI Dongmei1，2， LIU Weijun1

（1. School of Mathematics and Statistics， Central South Univ， Changsha，

Hunan 410075， China； 2.Dept of Mathematics and Computing Science， Hunan Univ

of Science and Technology， Xiangtan， Hunan 411201， China）

Abstract： The problem of multivariate polynomial coprime was studied， where multivariate polynomial is in polynomial rings over unique factorization domain. From the classical definition of resulatants and combining the property proposed， we obtained the necessary and sufficient condition to judge whether multivariate polynomials are coprime polynomials or not， and whether there is a common factor of positive degree in these polynomials or not.

Key words：resultants； coprime polynomials； common factor； polynomial ring

結(jié)式理論是交換代數(shù)的重要組成部分，也是聯(lián)系矩陣分解與Groeber理論的一座橋梁. 結(jié)式的概念最初是Sylvester在上世紀(jì)提出的， 從那以后，許多數(shù)學(xué)工作者，例如，Dixon，Kapur，Saxena 和Chtcherba等人引入不同的矩陣形式對(duì)它的性質(zhì)及應(yīng)用進(jìn)行了研究^{[1-6]，其結(jié)論已被廣泛應(yīng)用于消去理論、齊次線性方程組是否有解的判定、代數(shù)幾何中二次曲線是否有交點(diǎn)的判定、圖論和組合數(shù)學(xué)等諸多領(lǐng)域[7-12].}

令K是任一域，我們知道，K[x]上的任意兩個(gè)一元多項(xiàng)式是否互素可以用他們的結(jié)式來進(jìn)行判定.由此，我們自然想到，任意多元多項(xiàng)式環(huán)R[x1，…，xn]（R是唯一分解整環(huán)）上的m個(gè)n元多項(xiàng)式的互素性能否用結(jié)式來判斷？本文從結(jié)式的經(jīng)典定義出發(fā)，結(jié)合推廣的結(jié)式性質(zhì)，對(duì)上面問題進(jìn)行了探討.

首先給出本文常用到的符號(hào).

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