結(jié)式循環(huán)矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)

劉興祥，張 宇，王 姣

(1.延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000；2.西北農(nóng)林科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 咸陽(yáng) 712000；3.西安建筑科技大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，陜西 西安 710000)

循環(huán)矩陣是一類特別重要的特殊矩陣，它的應(yīng)用[1-5]也極其廣泛，因?yàn)檠h(huán)矩陣的特殊性質(zhì)以及特殊結(jié)構(gòu)，所以對(duì)循環(huán)矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用的研究及推廣[6-8]非常有必要。結(jié)式循環(huán)矩陣作為循環(huán)矩陣的一種，在此之前，不少學(xué)者已經(jīng)研究了結(jié)式循環(huán)矩陣的逆與廣義逆。本文將結(jié)式循環(huán)矩陣與多項(xiàng)式理論結(jié)合起來(lái)，進(jìn)一步研究結(jié)式循環(huán)矩陣的更多性質(zhì)，給出了結(jié)式循環(huán)矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)。

1 預(yù)備知識(shí)

f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)。

2 結(jié)式循環(huán)矩陣的性質(zhì)

定義2.1 矩陣A，B具有相同的循環(huán)因子，稱矩陣A，B為同型結(jié)式循環(huán)矩陣。

定義2.2 設(shè)矩陣A，B均為結(jié)式循環(huán)矩陣，其中

矩陣A+B=

定義2.3 設(shè)矩陣A，B均為結(jié)式循環(huán)矩陣，其中

矩陣A-B=

定義2.4 設(shè)矩陣A，B均為結(jié)式循環(huán)矩陣，其中

性質(zhì)2.1 設(shè)矩陣A，B為n階同型結(jié)式循環(huán)矩陣，則矩陣A+B仍為結(jié)式循環(huán)矩陣。

由定義2.2得矩陣

則矩陣A+B的特征多項(xiàng)式為

由定義2.2得

a0E+a1P+a2P2+…+an-1Pn-1+

b0E+b1P+b2P2+…+bn-1Pn-1=

(a0+b0)E+(a1+b1)P+(a2+b2)P2+…

+(an-1+bn-1)Pn-1，

所以矩陣A+B為結(jié)式循環(huán)矩陣。

性質(zhì)2.2 設(shè)矩陣A，B為n階同型結(jié)式循環(huán)矩陣，則矩陣A-B仍為結(jié)式循環(huán)矩陣。

由定義2.3得矩陣

則矩陣A-B的特征多項(xiàng)式為

由定義2.3得

a0E+a1P+a2P2+…+an-1Pn-1-

b0E+b1P+b2P2+…+bn-1Pn-1=

(a0-b0)E+(a1-b1)P+(a2-b2)P2+…

+(an-1-bn-1)Pn-1，

所以矩陣A-B為結(jié)式循環(huán)矩陣。

推論2.2 設(shè)矩陣A1，A2，…，An為同型結(jié)式循環(huán)矩陣，則矩陣A1-A2-…An仍為結(jié)式循環(huán)矩陣。

性質(zhì)2.3 設(shè)矩陣A為結(jié)式循環(huán)矩陣，則矩陣kA仍為結(jié)式循環(huán)矩陣。

由定義2.5得矩陣

ka0E+ka1P+ka2P2+…+kan-1Pn-1=

(ka0)E+(ka1)P+(ka2)P2+…+

(kan-1)Pn-1，

所以矩陣kA仍為結(jié)式循環(huán)矩陣。

推論2.3 設(shè)矩陣A1，A2，…，An為n階同型結(jié)式循環(huán)矩陣，k1，k2，…，kn為實(shí)數(shù)，則矩陣k1A1±k2A2±…±knAn仍為結(jié)式循環(huán)矩陣。

證明由推論2.1、推論2.2及性質(zhì)2.3可得。

性質(zhì)2.4 設(shè)矩陣A，B為n階同型結(jié)式循環(huán)矩陣，則矩陣AB也是結(jié)式循環(huán)矩陣，且AB=BA。

且Pn=E，Pn+1=P，…，P2n-2=Pn-2。

由引理1.2得

A=a0E+a1P+a2P2+…+an-1Pn-1，

B=b0E+b1P+b2P2+…+bn-1Pn-1，

則AB=(a0E+a1P+a2P2+…+an-1Pn-1)·

(b0E+b1P+b2P+b2P2+…+bn-1Pn-1=

(a0b0)E+(a0b1+a1b0)P+…+

(an-1bn-1)P2n-2=

=(b0E+b1P+b2P2+…+bn-1Pn-1)(a0E+

a1P+a2P2+…+an-1Pn-1)=BA，

所以矩陣AB也是結(jié)式循環(huán)矩陣，且AB=BA。

設(shè)ω0,ω1，…，ωn-1為g(x)=0的n個(gè)根，即矩陣P的n個(gè)特征值，記向量ni(i=0,1,…,n-1)是屬于特征值ωi(i=0,1,…,n-1)的特征向量，

令Q=(n0，n1，…,nn-1)，

所以Q-1PQ=diag(ω0,ω1,…,ωn-1)。

由引理1.2得

A=f(P)=a0E+a1P+a2P2+…+an-1Pn-1，

則Q-1AQ=Q-1f(P)Q=a0Q-1Q+a1Q-1PQ

+a2Q-1P2Q+…+an-1Q-1Pn-1Q=

diag(f(ω0),f(ω1),…,f(ωn-1))，

即在復(fù)數(shù)域上存在可逆矩陣Q使得

B=Q-1AQ=

diag(f(ω0),f(ω1)，…，f(ωn-1))。

證明由性質(zhì)2.5得矩陣

B=Q-1AQ=

diag(f(ω0),f(ω1)，…，f(ωn-1))，

記矩陣Q=(n0,n1，…，nn-1)，其中向量ni(i=0，1，…，n-1)是屬于特征值ωi的特征向量，

所以(Q-1AQ)-1=Q-1A-1Q=

diag(f-1(ω0)，f-1(ω1)，…，f-1(ωn-1))，

即A-1=h(P)=

l0E+l1P+l2P2+…+ln-1Pn-1。

證明由性質(zhì)2.5得矩陣

B=Q-1AQ=

diag(f(ω0)，f(ω1)，…，f(ωn-1))，

記矩陣Q=(n0,n1,…,nn-1)，其中向量ni(i=0，1，…，n-1)是屬于特征值ωi的特征向量，

則(Q-1AQ)T=QTA-1(QT)-1=

(diag(f(ω0),f(ω1)，…，f(ωn-1)))T=

diag(f(ω0),f(ω1)，…，f(ωn-1))，

所以AT=

(Q-1)Tdiag(f(ω0),f(ω1)，…，f(ωn-1))QT，

由性質(zhì)2.5得，存在可逆矩陣Q，使得

B=Q-1AQ=diag(f(ω0)，f(ω1)，…，f(ωn-1))，

即矩陣A與矩陣B相似，則有