解決問題的策略

單薇潔

摘 要：數學基本思想是一種科學的思想，是從數學內容中提煉出來的數學學科的精髓。教學中，教師應不失時機地滲透數學基本思想，注重知識形成過程的教學，注重解決問題策略的指導，注重解答方法的歸納總結，從而提升思維水平的深度和寬度。

關鍵詞：解決問題的策略； 建模思想； 假設思想

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2013）09-050-001

在新的《小學數學課程標準（修訂稿）》中，對小學數學教學提出了“四基”的要求，即在原來雙基的基礎上，增加了“數學基本思想”和“數學基本活動經驗”，可見數學基本思想在小學的教學中已提高到了較為重要的地位。確實，“數學思想方法反映著數學概念、原理及規(guī)律的聯(lián)系和本質，是學生形成良好認知結構的紐帶，是培養(yǎng)學生能力的橋梁。”其實，在蘇教版的教材中，有很多地方都滲透著數學基本思想，特別是“解決問題的策略”單元中，顯得尤為突出。因此，筆者想以第十一冊“假設和替換”中的一些教學片段為例，談談數學基本思想在其中的應用。

一、建模思想在教學中的應用

本單元教學中的替換策略，其教學的重點是讓學生充分理解替換策略的意義，即把兩種量替換成一種量，從而順利的解決問題。數學建模思想在這里體現的是，從數學的角度發(fā)現、提出、理解問題，最后歸結為一類已經解決或較易解決的問題中去。

教學例題時，可以三個層面的操作來串聯(lián)學生對問題的思考“（1）畫一畫，把你替換的過程畫出來。（2）算一算，根據自己所畫的圖列式計算。（3）說一說，把找到的答案和方法與同桌進行交流?！痹诋嫷膶用妫瑢W生既可以把1個大杯換成3個小杯；也可以把6個小杯換成2個大杯。學生通過尋找數量關系以及觀察主題圖，得出解決這個問題需要把兩種杯子換成一種杯子——即替換，嘗試了把生活中的原型上升為數學模型，初步感知了數學中的建模思想。而在算的層面，學生通過假設的數學模型，能夠清楚地抓住事物的本質關系，特別是6+3和6÷3+1，用算式表達自己的替換過程，使替換的思考呈現數學化、符號化、模型化。學生由最初形象的物體圖形，抽象到現在的數學表達式，恰恰體驗了數學模型的形成。最后在說的層面，讓學生比較這兩種替換方式，體會無論哪種情況，它們都是把兩種量與總量之間的復雜數量關系轉化為一種量與總量之間的簡單數量關系，培養(yǎng)了學生的建模意識。

接著，將例題進行更改，把條件改為“大杯的容量比小杯多20毫升”。在這里為了使學生充分體會這種相差關系的替換，是一種不等量的替換，其替換結果勢必造成果汁總量發(fā)生改變，因此可以啟發(fā)學生“同樣一道題，為什么剛才替換結果的總量是在減少，現在總量卻又增加呢？”結合圖意，引發(fā)學生深層次的思考。

在新授環(huán)節(jié)的最后，把倍數關系和相差關系的兩種替換進行對比和提煉“（1）比一比這兩題的條件有什么不同？（2）比一比它們的替換過程，你有什么發(fā)現？”通過比較，學生都能清楚地認識到替換的依據不同，一個揭示了兩者之間的倍數關系，一個揭示了兩者之間的相差關系。倍數關系替換下來的總量不變，相差關系替換下來的總量發(fā)生了變化。那“為什么會有這樣的變和不變呢？”倍數關系是等量替換，總量不需要改變；而相差關系中把1個大杯換成1個小杯，它們兩的容量是不相等的，所以總量要隨著改變。這樣，學生不僅能充分理解替換策略的意義，還能明確的判斷出該用什么方法來解決，實現了數學建模的意義和價值。

二、假設思想在教學中的應用

本單元教學中的假設策略，是讓學生在對自己解決實際問題的不斷反思中，感受假設的策略對于解決特定問題的價值，進一步發(fā)展學生分析、綜合和簡單推理的能力。而“假設”本身，它既是一種策略，也是一種數學基本思想。假設思想是一種有意義的想象思維，可以使要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。

在教學例題時，首先組織學生觀察，審理問題信息，選擇解決方法。在畫圖中，學生用5個圓圈表示每只大船坐5人，結果發(fā)現10只大船坐了50人，比原來的42人多了8人，那么“為什么會多出8人呢？怎樣才能正好坐42人呢？”帶著矛盾，學生自然地從原來的船上2人2人地減少，直到剛好滿足條件為止。雖然這只是一個簡單操作活動，但在畫圖的過程中，學生通過直觀的圖示，較好地理解了其中變和漸變的過程，較好地理解了我們是如何假設，如何制造矛盾，又如何解決矛盾的過程。

在列表中，學生的數學思維又得到了提升。1、逐一列舉。有的學生從有10只大船開始一個一個試，直至尋找到所求的答案。有的可能認為這種方法太過繁瑣，但這一過程很有必要，學生通過列表發(fā)現，每增加1只小船、減少1只大船便會減少2人，從而為跳躍嘗試做好鋪墊。2、跳躍列舉。也是從有10只大船開始試，但發(fā)現這樣有50人，太多了，可以多增加幾只小船，如果發(fā)現比42少，那么就可以確定大船或小船的范圍，再在這里面尋找。3、取中列舉，這也是書中呈現的方法。由于一共10只船，所以各取5只，接著在舉例中根據實際的數據情況確定舉例的方向，這樣可以大大縮小舉例的范圍。應該說在列表三個層次的提升中，學生經歷著、思考著、探索著、嘗試著，對思維的訓練、假設思想的滲透、解決問題能力的提高有著極大的幫助。

其實畫出的圖或列出的表是為學生應用假設的策略提供幫助。假設是思想層面的體會，畫圖和列表是方法層面的選擇，最后讓學生進行方法對比，體會共同點。當學生由圖、表改成算式的提煉后，問題“為什么4只求的是小船？”可以引發(fā)學生對假設過程的思考。因為假設10只大船就多了8人，又因為每條大船比小船多2人，8里面有4個2，說明需要把4條大船調整，換成小船。這樣，學生自然得出“假設，比較，調整”的完整思維過程，從而進行解答。

當然，學生對例題的理解絕不只會停留在這個層面，方程在此時也會顯出順向思維的優(yōu)勢。通過對“大船上的人數+小船上的人數=總人數”這個等量關系的理解，學生可以列方程解答。還有的學生對數據進行觀察，根據數據的特點進行猜測驗證。在此題中，有的學生牢牢抓住“一共有42人”這個數據進行觀察和思考，認為大船乘5人，因此坐在大船上的總人數一定是5的倍數，那么個位只能是5或0，要想個位是2，小船只能是4只。真是“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”，其實這也是一種假設，利用數的整除特征進行假設、推理。

其實，替換與假設的策略有很多相通之處，甚至有的認為“替換本質上就是一種假設”。因此不管是哪一種策略，我們在運用時都要有條理地厘清數量關系，恰當地滲透數學基本思想，這樣就可以使原有的復雜問題轉化成一個較為簡單的實際問題了。