教不越位　學(xué)要到位

邱貽根

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。然而有效的講授是任何課堂教學(xué)必不可少的，即使是在以學(xué)生自主學(xué)習(xí)為主的課堂活動(dòng)中，教師的講授也是必需的。但這種講授應(yīng)是不越位的師生互動(dòng)中的點(diǎn)撥、引領(lǐng)、啟發(fā)、強(qiáng)化，起到畫龍點(diǎn)睛的作用。那怎樣才能體現(xiàn)教師的“教”既到位、又不越位，學(xué)生的“學(xué)”要到位、又不放任呢?我認(rèn)為教師在為學(xué)生創(chuàng)設(shè)充分的空間，留出足夠的余地，使教學(xué)保持某種“互動(dòng)”“對(duì)話”的教學(xué)活動(dòng)的同時(shí)，還應(yīng)在引趣、設(shè)問、點(diǎn)撥等環(huán)節(jié)上下工夫，在“精”字上做文章。筆者在平時(shí)的聽課、調(diào)研時(shí)也發(fā)現(xiàn)了不少“教師的‘教不越位，學(xué)生的‘學(xué)又落實(shí)到位”的精彩課堂，現(xiàn)擇舉“圓的周長”一例，與同仁一同分享。

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

師(出示正方形、圓形紙片)：同學(xué)們，這兩個(gè)是什么圖形?(正方形和圓)如果把這兩個(gè)圖形重疊起來，你會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)?

生：圓在正方形里面。

師：不錯(cuò)，我們把它叫做內(nèi)切圓。

生：我發(fā)現(xiàn)圓的直徑與正方形的邊長相等。

師：同學(xué)們觀察得真仔細(xì)?，F(xiàn)有甲、乙兩只螞蟻同時(shí)以相同的速度，甲螞蟻沿著正方形路線跑，乙螞蟻沿著圓形路線跑，同學(xué)們猜猜看哪只螞蟻先跑完一圈?

生：甲螞蟻先跑完一圈。

生：我認(rèn)為應(yīng)該是乙螞蟻先跑完一圈。

生：我想不好比較，因?yàn)椴恢勒叫?、圓形的一圈各有多長。

師：××同學(xué)你真肯動(dòng)腦筋!那甲螞蟻跑的路程實(shí)際是正方形的什么?(生：周長)什么叫做正方形的周長?怎樣計(jì)算正方形的周長?

生：圍成正方形的四條邊長的總和叫做正方形的周長。正方形的周長等于邊長乘4。

師：說得真好!正方形的周長與它的邊長有關(guān)，周長是邊長的4倍。那乙螞蟻所跑的路程實(shí)際上是求圓的什么?(生：圓的周長)

師一你真聰明，那什么叫圓的周長，又怎樣計(jì)算圓的周長呢?這節(jié)課我們就來研究這個(gè)問題。(板書課題：圓的周長)

評(píng)析為激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)圓的周長，教師注意在必要的復(fù)習(xí)鋪墊的同時(shí)，注重情境創(chuàng)設(shè)，如把兩只螞蟻進(jìn)行賽跑比賽的生活問題轉(zhuǎn)化為比較圓的周長和正方形周長的數(shù)學(xué)問題。并通過引導(dǎo)學(xué)生回憶正方形周長和邊長的關(guān)系，為學(xué)習(xí)圓的周長計(jì)算做了知識(shí)和方法上的準(zhǔn)備。滲透了要求圓的周長也需要從研究圓周長與直徑的關(guān)系入手的思想。

二、自主參與，探究新知

1、充分感知，理解意義。

(1)認(rèn)識(shí)周長。

師(出示手中的圓)：我們已經(jīng)知道乙螞蟻所跑的路程是圓的周長。那圍成圓的這條線是一條什么線々

生：是一條曲線。(師板書：曲線)

師：同學(xué)們能否依照正方形周長的定義說說什么是圓的周長?同桌先相互說一說，待會(huì)兒選派代表匯報(bào)。

師，哪位同學(xué)愿意上來說說?

生：圍成圓的這條曲線的長叫做圓的周長。(師相機(jī)在“曲線”前面補(bǔ)充板書以完善概念)

師：同學(xué)們?cè)匍]著眼睛想象一下，圓的周長展開后會(huì)出現(xiàn)一個(gè)什么圖形?(教師隨著學(xué)生的講述，進(jìn)行演示，結(jié)果是一條線段)

(2)感知周長。

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出自己帶來的實(shí)物：1元硬幣、茶葉罐、易拉罐等。從這些物體中找出一個(gè)圓形來，互相指一指、說一說這些圓的周長。

評(píng)析利用正方形周長概念進(jìn)行遷移，并通過結(jié)合實(shí)物動(dòng)手摸一摸、指一指、說一說，使學(xué)生較為牢固地掌握了圓周長的概念，為后繼學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

(3)測量周長。

為每個(gè)小組提供一把直尺、一條綢帶、一個(gè)計(jì)算器、三個(gè)大小不等的紙圓片、一張記錄卡。

師：同學(xué)們，能否用手中的學(xué)具，測量出圓片的周長?(以小組為單位，想一想、試一試，待會(huì)兒各組派代表匯報(bào))

師：哪個(gè)小組先來匯報(bào)?

生：我們小組是把圓放在直尺上滾動(dòng)一圈，這一圈的長度就是圓的周長。

師：能否上來演示一下?(突出測量的方法：在圓上取一點(diǎn)作個(gè)記號(hào)，并將此點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)直尺上的零刻度線，然后把圓沿著直尺滾動(dòng)，直到此點(diǎn)又對(duì)準(zhǔn)了直尺上的另一刻度線。板書：滾動(dòng)法)

生：我們小組是用綢帶在圓的周圍繞一圈，再量出綢帶的長度，也就是圓的周長。(板書：纏繞法)

生：老師，我們是把圓片對(duì)折再對(duì)折(邊說邊演示)，測量出對(duì)折后圓周長的1/4(師補(bǔ)充“弧長”)，再乘4，也能得出這個(gè)圓片的周長。(板書：折疊法)

師：同學(xué)們真了不起，想出了這么多測量圓周長的辦法。下面就用你們發(fā)現(xiàn)的方法，測量老師提供的三個(gè)大小不等的圓片的周長，并記錄在表中。(過程略)

師：同學(xué)們，如果要測量校門口圓形花壇的周長，能用滾動(dòng)的方法嗎?

生：不能。但可以用纏繞的方法。

師：同學(xué)們請(qǐng)看(用一根繩子，并在一端拴上一個(gè)白色小球，在空中旋轉(zhuǎn)使小球滑過的軌跡形成一個(gè)圓)，要想求這個(gè)圓的周長，還能用纏繞的方法嗎?(學(xué)生均感疑惑)

師：看來用滾動(dòng)或纏繞等方法可以測量出一些圓的周長，但實(shí)踐證明還是有局限性的，那么，我們能否探索出一種求圓周長的普遍規(guī)律呢?

評(píng)析要求學(xué)生借助身邊的工具想辦法“化曲為直”測量圓的周長，先討論方案，再匯報(bào)小組采用的方案，教師提示要點(diǎn)，最后實(shí)際測量，這樣既滿足了不同層次水平學(xué)生的需求，又注重了實(shí)驗(yàn)的科學(xué)性和實(shí)踐性。如從滾動(dòng)測量、纏繞測量，到空中的小球所經(jīng)的軌跡畫出的圓不好測量，既留給學(xué)生自主發(fā)揮的空間，又不斷設(shè)疑、激疑產(chǎn)生認(rèn)識(shí)沖突，使學(xué)生感到有必要探索一種求圓周長的普遍規(guī)律，誘發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲。

2、探索規(guī)律，總結(jié)公式。

(1)引探發(fā)現(xiàn)。

師：請(qǐng)同學(xué)們回憶一下正方形的周長和邊長有怎樣的關(guān)系。(生：邊長×4)

師：那求圓的周長時(shí)能否也找到這樣的倍數(shù)關(guān)系呢?它與誰有這樣的關(guān)系?

生：我認(rèn)為與圓的半徑有關(guān)。因?yàn)榘霃介L，畫出的圓就大：半徑短，畫出的圓就小。

生：我想應(yīng)與圓的直徑有關(guān)。因?yàn)樵谕粋€(gè)圓里直徑等于半徑的2倍。

師：說得真好!那圓的周長與圓的直徑(或半徑)到底有怎樣的關(guān)系呢?這個(gè)問題要同學(xué)們自己去發(fā)現(xiàn)?，F(xiàn)在請(qǐng)每個(gè)小組同學(xué)之間相互分工一下，完成以下任務(wù)：①測量出三個(gè)大小不等的圓片的直徑。②計(jì)算出這些圓片周長與直徑的商，得數(shù)保留兩位小數(shù)。(這三個(gè)圓的周長前面已測量得出)③把相關(guān)數(shù)據(jù)記錄在下表中。

展示學(xué)生的記錄表：

師：同學(xué)們，請(qǐng)認(rèn)真觀察以上記錄表，看看有什么發(fā)現(xiàn)?

生：我發(fā)現(xiàn)第1個(gè)圓的周長是直徑的3.15倍。

生：我發(fā)現(xiàn)這些圓的周長都是它直徑的3倍還要多一些。

師：真是了不起的發(fā)現(xiàn)!這個(gè)規(guī)律是否具有普遍性呢?請(qǐng)同學(xué)們拿出老師給你們的一個(gè)大圓(直徑15厘米)，用自己探索得出的(滾動(dòng)、纏繞、對(duì)折等)方法驗(yàn)證一下。

生：老師，我們通過測量發(fā)現(xiàn)這個(gè)大圓的周長也是直徑的3倍還要多一些。

(2)總結(jié)公式。

師：同學(xué)們通過驗(yàn)證所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是正確的，具有普遍性，即無論大圓或小圓，圓的周長是它的直徑的3倍多一

些，到底多多少?第一個(gè)發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律的人是誰呢?請(qǐng)同學(xué)們翻開課本第90頁，邊讀邊思考以下幾個(gè)問題：

(1)任何圓的周長和直徑的比值是一個(gè)什么數(shù)?它叫什么?用什么字母表示?

(2)第一個(gè)發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律的人是誰?你有什么感想?

(3)如果知道了圓的直徑或半徑，你們能求出它的周長嗎?會(huì)用字母表示嗎?

師：誰來匯報(bào)第一個(gè)問題?

生：任何圓的周長和直徑的商(比值)是個(gè)固定的數(shù)，叫做圓周率，用字母“π”表示。(師相機(jī)板書：圓的周長÷直徑=圓周率)

師：第一個(gè)發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律的人是誰?你有什么感想?

生：這個(gè)規(guī)律是我國古代著名數(shù)學(xué)家祖沖之發(fā)現(xiàn)的……

師：是啊!最早發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的是我國著名數(shù)學(xué)家祖沖之，他精密地計(jì)算出圓的周長是它的直徑的3.1415926-3.1415927倍之間，比國外至少早了一千多年。因?yàn)樗且粋€(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，為計(jì)算方便通常取它的近似值，即3.140因時(shí)間關(guān)系，關(guān)于圓周率的發(fā)展史，請(qǐng)同學(xué)們課后去查閱相關(guān)的資料。

師：如果知道了圓的直徑或半徑，你們能求出它的周長嗎?會(huì)用字母表示嗎?

生：如果知道圓的直徑，那么圓的周長=直徑×圓周率。用字母表示為c=πd。(板書：c=πd)

生：如果知道圓的半徑，那么圓的周長=半徑的2倍×圓周率，用字母表示為c=2πr。(板書：c=2πr)

(3)運(yùn)用公式。

師：同學(xué)們，我們通過動(dòng)手操作、探索驗(yàn)證，推導(dǎo)得出了圓周長的計(jì)算公式。能否用公式解決下列問題?①出示例1、例2。先獨(dú)立思考，再把你的想法與同桌互相說說。(教師巡視，及時(shí)糾正學(xué)生的書寫格式)②再來看看課前我們的猜想，甲螞蟻、乙螞蟻到底誰先跑完一圈?(假設(shè)正方形的邊長為4分米)

評(píng)析本環(huán)節(jié)融猜想、討論、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、觀察、概括為一體，使學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)眼、動(dòng)口多種感官參與學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生充分感知，又反復(fù)加以驗(yàn)證，自主發(fā)現(xiàn)了圓周長與直徑的倍數(shù)關(guān)系，滲透了由特殊到一般的分析方法，突出了教學(xué)重點(diǎn)，計(jì)算公式的總結(jié)自然水到渠成。再利用所學(xué)解答課始的問題，前后呼應(yīng)，使結(jié)構(gòu)更加嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)生的創(chuàng)造能力得到淋漓盡致的發(fā)揮。在理解圓周率意義的過程中，引導(dǎo)學(xué)生讀書、談體會(huì)，在深入理解新知的前提下，對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育。

三、鞏固運(yùn)用，形成技能

1、基本練習(xí)：

(1)判斷正誤。

②圓的周長是它的直徑的3.14倍。()

②π=3.14。()

③圓的直徑越長，圓周率越大。()

④半圓的周長就是圓周長的一半。()

(2)P.91做一做：練習(xí)二十三的1、3、4小題。

2、綜合練習(xí)：練習(xí)二十三的第5、6小題。

3、拓展練習(xí)：

(1)想一想。用什么方法能很快測量出校門口這棵大樹的直徑?

(2)甲、乙二人同時(shí)同速從A地出發(fā)(如下圖)，分別沿外邊的大半圓和里邊的兩個(gè)小半圓跑到B，誰先跑到終點(diǎn)?

評(píng)析練習(xí)設(shè)計(jì)目的明確，層次清晰，由易到難、形式多樣，利于學(xué)生有效鞏固新知，形成技能。尤其是第3題的拓展練習(xí)讓學(xué)生在加深對(duì)所學(xué)知識(shí)理解的同時(shí)，靈活地加以應(yīng)用，有效培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理的能力。

四、課內(nèi)小結(jié)，深化認(rèn)知

這節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)?有什么收獲?還有什么問題?

總評(píng)縱觀全課，教師能科學(xué)地處理好“教”與“學(xué)”的關(guān)系。能緊密聯(lián)系學(xué)生的已有認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)，準(zhǔn)確把握知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，不斷創(chuàng)設(shè)合理的認(rèn)知沖突，如“滾動(dòng)法、纏繞法還是有局限性，能否探索出一種求圓的周長的普遍規(guī)律呢”等，較好地體現(xiàn)了教師的“教”能致力于“導(dǎo)”，服務(wù)于“學(xué)”，有效做到“引領(lǐng)到位、但又不越位”。整個(gè)教學(xué)流程為學(xué)生自主探索、自主發(fā)現(xiàn)創(chuàng)設(shè)了廣闊的探索空間，留出了足夠的余地，孩子們?cè)诔浞值膶?shí)際感知、遷移類推中建構(gòu)了清晰的圓周長的概念；在親歷“猜想——驗(yàn)證”“探索——發(fā)現(xiàn)”中總結(jié)歸納出了圓周長的計(jì)算公式。在此不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的主體地位得到應(yīng)有的凸顯，孩子們自主探究的“學(xué)”得到有效落實(shí)，學(xué)生真正成為探索知識(shí)和駕馭知識(shí)的主人。這樣的課堂自然是生動(dòng)的、鮮活的。