幾何證明，謹防“預(yù)期理由”錯誤

楊俊林

江蘇省泰州師范高等專科學(xué)校數(shù)理科學(xué)系 (225300)

眾所周知，公理化方法的誕生是以《幾何原本》的問世為標志的.所謂公理化方法即從原始概念和公理出發(fā)，依靠嚴密的邏輯推理，將各種各樣的命題根據(jù)內(nèi)在的邏輯關(guān)系組織起來，使得對各種各樣的理論體系及它們的相互之間關(guān)系的研究成為可能.歐幾里得從古代的量地術(shù)和關(guān)于幾何形體的原始直觀中，用抽象分析方法提煉出一系列基本概念和公理.他總結(jié)概括出10個基本命題，其中有5個公設(shè)和5個公理.由此出發(fā)，他運用演繹方法將當時所知幾何學(xué)知識全部推導(dǎo)出來.但歐氏幾何的公理系統(tǒng)是不夠完善的，其主要不足可以概括為：(1)有些定義是不自足的，亦即往往使用一些未加定義的概念去對別的概念下定義；(2)有些定義是多余的，略去它們毫不影響后面的演繹和展開；(3)有些定理的證明過程往往依賴于圖形的直觀.即他所選擇的公理不完備，缺少表示點與點間順序關(guān)系的順序公理，關(guān)于合同圖形的運動公理，反映直線連續(xù)性的連續(xù)公理等.

考慮到現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教材中幾何部分的公理體系基本上雷同于歐幾里得公理體系，因而教師在教學(xué)過程中稍有不慎也會與學(xué)生一樣犯“預(yù)期理由”錯誤.所謂“預(yù)期理由”是指將“對圖形的直觀理解作為推理論證的理由”.當我們對感性、直觀過分依賴而導(dǎo)致一些論證錯誤時，這時我們稱之為“預(yù)期理由”錯誤.

德國數(shù)學(xué)家克萊因(F?Klein)在他的名著《以高等數(shù)學(xué)觀點看初等數(shù)學(xué)》里提出了一個后人常為傳誦的命題，用以說明在初等幾何證明中由于過分依賴直觀所犯的錯誤：可以證明，任何三角形皆等腰.他是這樣證明的：

證明：設(shè)△ABC是任一三角形，作BC的中垂線DO與∠BAC的內(nèi)角平分線AO相交于點O，過點O作垂線OE，OF分別垂直于直線AB，AC，連接OB和OC(如圖1)，則△AOE與△AOF全等，△ODB與△ODC全等，△OBE與△OCF全等.若DO與AO相交于△ABC內(nèi)(圖1(1))，便有AB=AE+BE=AF+CF=AC；若DO與AO相交于三角形ABC外(圖1(2))，便有AB=AE-BE=AF-CF=AC.可見無論是哪種情況，三角形都是等腰三角形.

上述證明的錯誤在于推理依據(jù)證明者自己所畫圖形“過∠BAC的內(nèi)角平分線與BC的中垂線的交點O作AB、AC的垂線，垂足或都在線段AB、AC上或都在AB，AC的延長線上”.仔細畫圖發(fā)現(xiàn)，對于非等腰三角形，過點O作AB、AC的垂線，垂足一個在線段上，另一個在線段的延長線上.

類似的錯誤還可以得出“直角等于鈍角”的荒謬結(jié)論：

如圖2所示，在矩形ABCD外作BE=BC，連接DE，分別作DE、AB的中垂線，由于AB不平行于DE，所以它們的中垂線必交于一點，設(shè)為點P.連接AP、BP、DP、EP，則有△DAP≌△EBP，因而有∠DAP=∠EBP.又因為∠BAP=∠ABP，所以∠DAB=∠EBA.

顯然，上述證明犯了“預(yù)期理由”錯誤.圖2中，∠PBE=∠PBA+∠ABC+∠CBE.事實上，如圖3，延長PM交DC于K，連接PC，則PK也是DC的中垂線，因而PD=PC.又因為PE=PD，所以PC=PE.考慮到BE=BC，因而直線PB就是線段CE的中垂線.直線PE，PC應(yīng)在直線PB的兩側(cè)，而不是像圖2那樣在直線PB的同側(cè)，故而∠PBE=360°-(∠PBA+∠ABC+∠CBE).

以上所列舉的一些例子在說明本話題時是比較生動的，但由于結(jié)論的荒謬我們在認識上首先確信推理過程一定有問題，從而將注意點放在找推理中出現(xiàn)的問題上.在平時教學(xué)過程中，有些問題的結(jié)論正確與否不明顯，而在論證過程中不經(jīng)意間又將直觀圖形當作了推理的依據(jù)，這時錯誤就顯得比較隱蔽，不易被發(fā)現(xiàn)，如下面的例子：

例1 四邊形ABCD中，AB>CD,BC>AD，則是否一定有∠D>∠B?

這是一道初中數(shù)學(xué)考試題中一選擇題的選擇支，不少教師給出了肯定的結(jié)論，其中一位教師還給出了如下證明：

如圖4，以線段AC的中垂線為對稱軸，作B點的對稱點B′，則B′A=BC,B′C=AB,∠ABC=∠AB′C.在△AB′D中，AB′>AD，所以∠ADB′>∠AB′D.同理可證∠CDB′>∠CB′D.所以∠CDA>∠AB′C=∠ABC.

事實上，題目的結(jié)論是不正確的，這可以通過下面的反例加以說明.如圖5，在四邊形ABCD中，AB=AC=1,CD=12,AB⊥AC，∠DCA=120°,∠B=45°.顯然有AB>CD且AD=74<2=BC，但玸in∠D=37<12=玸in∠B.由于∠B，∠D皆為銳角，所以∠D<∠B.

回過頭來看看該教師的證明不難發(fā)現(xiàn)，他的證明依賴了圖形的特殊性，根據(jù)自己畫出的圖形作出了“線段DB′在∠ADC內(nèi)”的假定，如果我們在圖5中以AC的中垂線為對稱軸作出點B的對稱點B′，再連接DB′，我們會發(fā)現(xiàn)DB′就不在∠ADC內(nèi).

例2 AM是△ABC的中線，∠AMB與∠AMC的平分線分別交AB、AC于E、F，連接EF.求證：EF

對于本題學(xué)生中的普遍做法如下：

證明：如圖6，在AM上取一點K，使MK=BM=MC，連接EK，F(xiàn)K，則有△BME≌△KME，△KMF≌△CMF.所以，BE=KE,CF=KF.因為EF

顯然，上述證明問題在于點K的位置，根據(jù)圖6，點K在EF的上方，但點K為什么不會在線段EF上或線段EF下方呢?這就需要另作證明，否則證明不完備.下面的證法就做到這一點：

證明：如圖7，延長FM到G，使MG=MF，連接BG，EG.因為BM=MC,FM=GM,∠FMC=∠GMB，所以△FMC≌△GMB，F(xiàn)C=BG.因為EM，F(xiàn)M分別為∠AMB與∠AMC的平分線，所以EM⊥GF.又因為FM=GM,所以EM垂直平分GF，因而EG=EF.由于EG

由于歐氏幾何公理系統(tǒng)先天性的缺陷，在實際教學(xué)中證明一些幾何題時還必須依賴于圖形，或者說依賴圖形證明一些幾何題未必都會犯“預(yù)期理由”錯誤，如下題：

例3 如圖8，在銳角三角形中，AB>AC,AM為中線，P為△AMC內(nèi)一點，證明:PB>PC.

證明：過點M作直線垂直于BC，交PB于點K，連接KC，則直線KM為BC的垂直平分線，故而有BK=KC.因為KC+KP>PC，所以有：BP>PC.

顯然，上述證明運用了“直線BP為連續(xù)直線，因為與直線KM不平行，所以與直線KM必相交”這一結(jié)論.從教學(xué)過程的角度看，這是可行的.當然，也有一些教師引導(dǎo)學(xué)生避開使用這一結(jié)論，采用了下面的證法：

證明：如圖9，在△ABM與△ACM中，AM是公共邊，BM=CM,AB>AC,則∠AMB>∠AMC，所以∠AMC<90°.過點P作PH⊥BC，垂足為H，則H在線段MC上，BH>BM=MC>HC，于是PB>PC.(這里運用了結(jié)論：在△ABC與△A′B′C′中，AB=〢′B′,狝C=A′C′，則∠A>∠A′贐C>B′C′)

總之，由于歐氏幾何公理系統(tǒng)的先天性不足，我們在進行平面幾何證題教學(xué)過程中，適當依賴直觀是必須的，但作為數(shù)學(xué)教師必須做到心中有數(shù)，要把握好分寸，避免因過多依賴圖形直觀而犯“預(yù)期理由”錯誤.

參考文獻

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