沒有極限概念，如何理解導數(shù)的幾何意義

董海濤

安徽省阜陽市第三中學 (236006)

導數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，由于它是研究現(xiàn)代科學技術(shù)必不可少的工具，也是研究函數(shù)性質(zhì)的有效方法，同時它也是高等數(shù)學的內(nèi)容，所以在歷次教材改革中，變動既頻繁又較大，既體現(xiàn)了編者對它割舍不下的情懷又充滿了不知如何安排的迷茫.本文就北師大版《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-2》(以下簡稱“新課程教材”)中對這部分內(nèi)容的安排，提出教學中的困惑，并結(jié)合實踐，提出對策，供大家參考.

1.新課程教材安排ビ朐人教版《全日制普通高級中學教科書數(shù)學選修Ⅱ》(以下簡稱“舊課程教材”)相比，新 課程教材在教學內(nèi)容、教學要求上都有很大變化，其中與本文討論有關(guān)的是導數(shù)概念的引入，不講極限概念，而是注重通過實際背景創(chuàng)設(shè)豐富的情境，不惜篇幅引導學生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，從本質(zhì)上認識和理解導數(shù)概念，在給出導數(shù)定義后，又給出了三個具體例子，加深對導數(shù)的實際意義的認識，這些都是舊課程教材所沒有呈現(xiàn)的.

教材的具體安排是：§1《變化的快慢與變化率》，用了兩個實例分析和兩個例題，幫助學生實現(xiàn)“平均變化率”到“瞬時變化率”的質(zhì)的飛躍，為導數(shù)概念的引入做好扎實的鋪墊.§2《導數(shù)的概念及其幾何意義》，由于有了上一節(jié)大量生動的背景實例，至此，抽象出導數(shù)定義已是水到渠成.實際教學中，學生對“…在數(shù)學中，稱瞬時變化率即為函數(shù)y=f(x)在x0點的導數(shù)”是欣然接受的， 相對舊課程教材，導數(shù)定義的給出無疑是成功的，但我們的困惑是下列問題.

2.沒有極限的概念，如何理解導數(shù)的幾何意義バ驢緯探灘腦凇2中，專門安排了§2.2《導數(shù)的幾何意義》，教材在描述性地給出了“曲線的切線”定義后，緊接著就是“該切線的斜率就是函數(shù)y=f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)”.學生的困惑是：f′(x0)不是函數(shù)y=f(x)在點x0處的瞬時變化率嗎?它反映的不是割線AB在點x0處的變化快慢嗎?它怎么又是y=f(x)在點x0的切線斜率了呢?教師困惑的是：(1)本想弱化形式化的定義，降低學生理解導數(shù)的難度，但教材在導數(shù)定義后，又“通常用符號ゝ′(x0)表示，記作f′(x0)=┆玪im獂→x0f(x)- f(x0)x-x0=┆玪im△x→0f(x0+△x)-f(x0)△x”，這里還是出現(xiàn)了形式化的定義.(2)極限定義能回避得了嗎?導數(shù)定義中無法回避，這是不爭的事實，新課程教材在§3《計算導數(shù)》中，不僅出現(xiàn)了極限的符號，而且出現(xiàn)了極限的運算，與其在這里讓老師費盡口舌給一頭霧水的學生解釋半天(事實上學生仍無法理解)，既偏離了主題又沒有效果，不如干脆增加一節(jié)“極限的定義”.

3.我們的對策ノ沂∈2006年秋季進入新課改的，首輪教學中我們循規(guī)蹈矩地按教材進行教學，結(jié)果學生只能是生吞活剝地記下結(jié)論，由于不理解導數(shù)的幾何意義，在實際應用中，只能是照搬模仿，根本談不上靈活二字.在2007年開始的二輪教學中，我們對新課程教材作了大膽的嘗試，收到了理想的效果，具體地在兩處做了調(diào)整.

3.1 增加一節(jié)極限的定義ピ諮⌒2-2§2《變化率與導數(shù)》的§1《變化的快慢與變化率》之前，增加一節(jié)，課題是《極限的定義》，課時為一節(jié)課，主要介紹極限符號的引入和使用，初步滲透極限思想，具體內(nèi)容是：首先，通過列舉實例，給出“數(shù)列極限”的描述性定義：一般地，設(shè){a璶}是一個無窮數(shù)列，如果當n趨向于無窮大時，a璶無限地趨向于一個常數(shù)a，則稱a是數(shù)列{a璶}的極限.然后給出形式化的符號表示：即“當n→∞時，a璶→a”記作“┆玪im猲→∞a璶=a”.

然后，將數(shù)列極限的初步認識正遷移到“函數(shù)極限”，仍然通過實例列舉，只介紹“當x→x0時，函數(shù)f(x)的極限”，并給出形式化的符號表示“當x→x0時f(x)→a，記作┆玪im獂→x0ゝ(x)=a”，以實現(xiàn)數(shù)列極限的順應和同化.這里不介紹“當x→∞時，函數(shù)f(x)的極限”，也不介紹“函數(shù)的左、右極限”，以免增加學生理解上的困難，更主要的是避免沖淡主題——我們這里只是介紹極限的形式化表示和極限思想，并不涉及極限的完整定義.事實上，在舊課程教材選修Ⅱ中，學生對“x→x0時，函數(shù)f(x)的極限”的理解要比“函數(shù)的左、右極限”容易得多.

最后，為了加深對極限符號的認識，我們設(shè)計了一組練習：

1、請用語言描述下列極限符號的含義(有的教師根據(jù)班級學生情況，要求學生探究符合要求的數(shù)列{a璶}或函數(shù)f(x)的解析式)：

(1)┆玪im猲→∞a璶=1;(2)┆玪im獂→1f(x)=-2;

(3)┆玪im獂→0f(x)=13;(4)┆玪im獂→-1f(x)=4.

2、正三棱錐S-ABC相鄰兩個側(cè)面所成的二面角為α，則α的取值范圍是().

A.(0，π) B.(π6,π)

C.(π3,π)D.(π3,π2)

3.2 調(diào)整一段敘述ビ辛思限的符號表示，在§1 節(jié)例1和例2中，均可以用極限符號表示“小球在t=5s時刻的瞬時速度”和“合金棒在x=2處的線密度”了，而且將§2.2《導數(shù)的幾何意義》的敘述調(diào)整為：

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［x0,x0+△x］的平均變化率為△y△x，如圖2-3所示，它是過A(x0,f(x0))和B(x0+△x,f(x0+△x))兩點的直線的斜率，直線AB稱為曲線y=f(x)在A處的一條割線.

如圖2-4所示，設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像是一條光滑的曲線，從圖像上可以看出：當點B(x0+△x,f(x0+△x))沿著曲線逐漸向點A(x0,f(x0))靠近時，割線AB將繞著點A逐漸移動，當點B沿著曲線無限接近點A(即△x→0)時，割線AB也無限地逼近一個極限位置——直線AC，直線AC和曲線y=f(x)在點A處給我們“相切”的感覺，稱直線AC為曲線y=f(x)在點A處的切線.

由于割線AB和切線AC都過點A，所以割線AB無限地趨近切線AC也即是k〢B無限地趨近k〢C.將上述變化過程表示如下：

當△x→0時，k〢B→k〢C，由極限的定義，

即k〢C=┆玪im△x→0k〢B=┆玪im△x→0△y△x

=┆玪im△x→0f(x0+△x)-f(x0)△x=f′(x0).

所以函數(shù)y=f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)就是曲線在點A(x0,y0)處的切線斜率，這就是導數(shù)的幾何意義.

4.幾點反思(1)何謂“適度”的形式化?“數(shù)學教學不能只限于形式的表達，要強調(diào)對數(shù)學本質(zhì)的認識.否則會將生動活潑的數(shù)學思想活動淹沒在形式化的海洋里”，“強調(diào)本質(zhì)，注重適度的形式化”(新課標十大基本理念之一)無疑是十分正確的.但“形式化是數(shù)學的基本特征之一，在數(shù)學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求”.具體地，導數(shù)定義能離開形式化的表達嗎?離開形式化的表達，只能讓學生死記導數(shù)的幾何意義，這與新課標理念背道而弛吧.事實上，高二學生理解極限、導數(shù)的形式化表達并沒有什

么障礙.

(2)增加一節(jié)極限的定義，是否增加了課時?新課標實施的陣地在課堂，增加一節(jié)極限定義，是增加了一個課時，看看以高考為目的的普通高中的課時安排吧，有幾個學校的數(shù)學課時是每周四節(jié)?搞理論可以走得極端一些，但實踐還是以尊重客觀實際的好，以我校兩個年級的實際教學效果看，增加一節(jié)極限定義，無疑是必要的.

(3)新課標要求實踐于一線的廣大教師，不僅是教材的執(zhí)行者，還應是教材完善的參與者和建議者，教材是實現(xiàn)課程目標、實施課堂教學的重要資源，既然是資源就可以開發(fā)、利用，一線教師完全可以教學實際與需要，對教材做出合理的整合.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準(實驗)［M］.北京：人民教育出版社.2003，4.

［2］嚴士健、王尚志.普通高中課程標準實驗教科書?數(shù)學(選修2-2)［M］.北京：北京師范大學出版社.2008，6.