關(guān)于數(shù)學(xué)課后習(xí)題作業(yè)的初步探討

熊雪景

江西省九江市同文中學(xué) (332000)

引言

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的教學(xué)活動中，學(xué)生完成一定數(shù)量的課后作業(yè)是學(xué)好數(shù)學(xué)知識極其重要環(huán)節(jié).不少學(xué)生投入相當(dāng)大的精力和時間，用于習(xí)題作業(yè)，但是效果并不理想.其中一個重要的原因是對課后習(xí)題作業(yè)的功能作用缺乏足夠的認(rèn)識和理解，完成作業(yè)的方法不夠科學(xué)和有效.

本文試圖就上述問題作一初步探討.首先，分析數(shù)學(xué)教科書中為什么要設(shè)置相當(dāng)數(shù)量的習(xí)題，從而闡述習(xí)題作業(yè)的功能、目的；并在此基礎(chǔ)上探討學(xué)生進(jìn)行課后習(xí)題作業(yè)的基本方法，即在做題中應(yīng)當(dāng)注意的事項(xiàng)；最后，探討習(xí)題作業(yè)中“精練”與“多練”的關(guān)系.

一、習(xí)題作業(yè)的功能與目的

在所有的數(shù)學(xué)教科書中，每一章節(jié)或每一單元都配有習(xí)題，老師講完每章節(jié)或每單元都會布置相應(yīng)的習(xí)題作業(yè).這是為什么?功能是什么?要達(dá)到什么目的?

要回答這一問題，需從數(shù)學(xué)知識的特點(diǎn)以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的目的要求談起.數(shù)學(xué)知識一般包括概念、定義、性質(zhì)、定理、公理、公式、基本法則、計算方法等基礎(chǔ)知識和基本技能.這些數(shù)學(xué)知識用數(shù)學(xué)符號表示或用文字表述并不復(fù)雜，特別是在中學(xué)階段所涉及的數(shù)學(xué)知識更是如此，一般都很簡明，對于具有一定的閱讀理解能力的人來講從字面上一般都能讀懂.但是，如果學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識只是停留在符號形式或文字表述層面上，是不可能真正學(xué)會數(shù)學(xué)知識的，更不可能達(dá)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的目的和要求.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的在于運(yùn)用所學(xué)知識和思想方法解決各種實(shí)際問題，而且要求能熟練運(yùn)用.為此，必須深刻理解和掌握數(shù)學(xué)知識.

數(shù)學(xué)來源于實(shí)際.各種數(shù)學(xué)知識都是對大量的或一系列的相關(guān)特殊問題進(jìn)行觀察、實(shí)踐、推理，運(yùn)用抽象、歸納的方法去掉表面現(xiàn)象，抓住共有的特征，從特殊到一般而形成的，具有很強(qiáng)的普適性.如果我們只停留在符號形式或文字表述的層面上而不深入到它的實(shí)質(zhì)、本質(zhì)和可能應(yīng)用去理解，就不可能真正理解數(shù)學(xué)知識，從而也談不上熟練運(yùn)用，甚至連一般運(yùn)用也不可能.比如八年級第一章勾股定理，文字表述為在直角三角形中，兩條直線邊(a、b)的平方和等于斜邊(c)的平方，數(shù)學(xué)符號表示為a2+b2=c2.這一定理是反映自然基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起著重要作用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，在現(xiàn)實(shí)生活中也有廣泛應(yīng)用.如果學(xué)習(xí)勾股定理只停留在這一論述上，那么就不可能真正理解和掌握勾股定理.

正是基于上述情況，教科書也好，老師講課也好，都是通過設(shè)置或選定一些特定的實(shí)際情景或具體問題來介紹和講解有關(guān)數(shù)學(xué)知識.那么，通過這樣的介紹和講解，是不是就達(dá)到了深入理解、充分掌握和熟練運(yùn)用的目的要求呢?一般來說，還是不可能的.許多在課堂上似乎聽懂了、理解了，但是仍然不會或者不能熟練運(yùn)用課堂所學(xué)的知識來解決相關(guān)具體問題.

其主因就是因?yàn)槿狈邮謱?shí)踐加強(qiáng)理解這一重要環(huán)節(jié).無論是閱讀教科書還是聽老師講課，實(shí)際上學(xué)生是在接受編者或者老師根據(jù)他們自身的學(xué)習(xí)和實(shí)踐所獲得的對這些知識的認(rèn)知理解.但是，學(xué)生沒有自身的實(shí)踐體驗(yàn)，理解這些知識不可能象編者或老師理解得那樣深刻，掌握得那樣充分.也就是說，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識過程中，要深入理解、充分掌握和熟練運(yùn)用所學(xué)知識，有一個不可或缺的環(huán)節(jié)，就是親自實(shí)踐.教科書配置的相關(guān)習(xí)題，就是為學(xué)生動手實(shí)踐創(chuàng)造一個實(shí)際情境，老師講課之后布置習(xí)題作業(yè)就是為學(xué)生動手實(shí)踐提供一個平臺，通過相關(guān)習(xí)題作業(yè)的實(shí)踐活動，進(jìn)一步加深對所學(xué)知識的理解，充分掌握和熟練運(yùn)用所學(xué)知識.這也就是教科書中設(shè)置習(xí)題的主要功能，老師布置習(xí)題作業(yè)的主要目的.

二、習(xí)題作業(yè)的基本方法

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識中，不少學(xué)生投入了許多精力和時間，做了大量的習(xí)題，但是并非每個人都達(dá)到了預(yù)期效果.究其原因，主要是對上節(jié)所述的課后習(xí)題作業(yè)的功能、作用缺乏應(yīng)有的認(rèn)識，從而對在進(jìn)行習(xí)題作業(yè)時所應(yīng)采取的基本方法，所應(yīng)注意的事項(xiàng)，心中無數(shù).在某種程度上，做題就是一切，目的并不清楚，有點(diǎn)為做題而做題，這樣的結(jié)果事倍功半.

為了達(dá)到上節(jié)所述的習(xí)題作業(yè)的功能、目的，應(yīng)該怎樣進(jìn)行習(xí)題作業(yè)呢?或者說，在課后習(xí)題作業(yè)的學(xué)習(xí)活動中，方法上應(yīng)該注意什么呢?

第一，在做作業(yè)之前，必須認(rèn)真進(jìn)行復(fù)習(xí)，掌握所學(xué)知識

我們知道，每節(jié)課后教師都是針對所授的知識布置課后習(xí)題作業(yè).課本中每一章、節(jié)之后的習(xí)題都是針對這一章、節(jié)的知識點(diǎn)而設(shè)置的.如果作業(yè)之前，沒有復(fù)習(xí)或復(fù)習(xí)了但并未掌握所學(xué)知識點(diǎn)，在這種情況下開始做題，達(dá)不到通過做題加深對所學(xué)知識和方法的理解、熟悉、鞏固的目的.結(jié)果很可能是不知怎樣解題或花去很多時間，但做題質(zhì)量不高，效果不理想，事倍功半.

第二，在動手解題之前，必須認(rèn)真審題，分析題意，形成正確的解題思路

編者設(shè)計或者老師布置一個習(xí)題，都是有一定的針對性.學(xué)生做題時，首先要認(rèn)真分析所做習(xí)題屬于哪一類型的數(shù)學(xué)問題，涉及哪些方面知識點(diǎn)，應(yīng)該采用什么方法，運(yùn)用什么公式等，形成一個正確或基本正確的解題思路.

比如，某次足球聯(lián)賽中采用循環(huán)賽制，參賽的隊(duì)伍總共有14支，那么總共要進(jìn)行多少場比賽?

首先分析題意，所謂循環(huán)賽制，就是所有參賽的隊(duì)伍中，每兩個隊(duì)伍之間都要進(jìn)行一場比賽.如果讓參賽隊(duì)的隊(duì)長站在同一直線上，把每個隊(duì)長看作是直線上的點(diǎn)，每兩隊(duì)交一次手實(shí)際上就構(gòu)成一條線段，那么有多少條線段就進(jìn)行了多少場比賽.所以此題實(shí)際上就是數(shù)線段的數(shù)學(xué)問題，采用的數(shù)學(xué)計算公式為T=n(n-1)2.(T為線段總條數(shù)，n為直線上點(diǎn)的個數(shù))

通過以上分析，理清了解題思路，接下來的解題過程就變得容易了.但是，有些學(xué)生在做題時，拿起題目就做，做得不對或做不下去了又從頭來過.這樣做題，即使最終做出來了，效果也不大，因?yàn)檫@對提高運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力幫助不大.只有通過解題實(shí)踐掌握了解決這類問題的基本規(guī)律和方法，那么再遇到類似的問題時就會迎刃而解.現(xiàn)實(shí)學(xué)習(xí)活動中，有的學(xué)生在課后習(xí)題中做過類似的問題，但是當(dāng)這一類問題稍作變化時，就不會做了.究其原因，就是不太注意認(rèn)真分析問題，形成正確的解題思路，并未從中獲得或掌握這類題的基本規(guī)律和方法.

第三，做題中遇到不會的題目要認(rèn)真閱讀書本，理解有關(guān)內(nèi)容，從書中找到解題鑰匙

一般來說，課堂聽懂了，課后又認(rèn)真復(fù)習(xí)消化，真正掌握了所學(xué)的知識和方法，那么完成相關(guān)習(xí)題作業(yè)不會有什么困難.反之，在習(xí)題作業(yè)中，有的題目不會做，或者做不下去，這說明對題目所涉及的知識和方法學(xué)得不夠深透，沒有真正掌握.所以，這時不是急于怎么把題目做出來，而是應(yīng)該帶著這個問題有針對性地再去認(rèn)真研讀有關(guān)知識的章節(jié)，重新消化理解.只要真正消化理解了，就能找到解題的鑰匙，問題就迎刃而解.

第四，做完作業(yè)后，應(yīng)該認(rèn)真回顧與總結(jié)

通過一定的課后習(xí)題作業(yè)，達(dá)到鞏固和熟悉新知識，加深對相關(guān)知識和方法的理解的目的.那么怎樣達(dá)到這個目的呢?其中一個重要的環(huán)節(jié)就是做完習(xí)題作業(yè)之后，要認(rèn)真回顧和總結(jié).

首先，對一些典型題目，認(rèn)真回顧一下解題的過程，哪些做題步驟正確，哪些方面走了彎路，從而可以提高運(yùn)用所學(xué)知識解決具體問題的能力.其次，對于一些比較典型的題目，總結(jié)一下這類題目解題的基本思路和方法.最后，在做題過程中，必然要涉及到一些知識點(diǎn)和有關(guān)方法，做完之后重溫一下以達(dá)到熟悉和鞏固的目的.此外，還應(yīng)注意思考，對這些知識點(diǎn)或方法增加了哪些新的認(rèn)識和理解，從而達(dá)到加深對相關(guān)知識和方法的理解.

七年級上冊習(xí)題3.7中有這樣的一道題：用火柴棒按下圖方式搭三角形，搭n個這樣的三角形需要多少根火柴棒?

下面簡要總結(jié)一下解題思路：

1.這道題屬于探索圖形構(gòu)成規(guī)律的類型問題.

2.探索規(guī)律涉及的基本方法是按圖形(三角形)構(gòu)成要素，通過觀察圖形來歸納圖形構(gòu)成的規(guī)律，然后用代數(shù)式表示.在此題中，從前往后觀察，搭第一個三角形用三根，以后每多搭一個就要加兩根，所以搭n個即需要3+2(n-1)=2n+1根.

3.考慮問題拓展：實(shí)際可以從多個角度來探索規(guī)律.

玦.從三角形構(gòu)成的整體來分析，每個三角形只要兩根，最后一個加一根封口，n個需2n+1根；

玦i.若按每一個圖形組成火柴棒的數(shù)量組成數(shù)列：3、5、7、9…進(jìn)行歸納可得第一個數(shù)為3，以后每一個數(shù)加2，第n個圖形對應(yīng)的數(shù)字為3+2(n-1)=2n+1.

這一例子較為簡單，用它來說明習(xí)題完成之后如何梳理總結(jié)解題過程思路這一問題時，更能突出問題的本質(zhì).

上述四點(diǎn)，既是做好作業(yè)應(yīng)遵循的方法，也是一種良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

三、習(xí)題作業(yè)中的“精練”與“多練”

如上所述，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只靠認(rèn)真聽課和閱讀課本是不夠的，必須動手實(shí)踐——做題，并且還要多做題、多演練.大多數(shù)學(xué)生也是這樣做的，很重視課后習(xí)題作業(yè)，希望通過做題來提高解題能力.但是，有些同學(xué)并未達(dá)到最佳效果.為什么會這樣呢?主要是做題時演練的方式不當(dāng).要達(dá)到深入理解、充分掌握和熟練運(yùn)用所學(xué)知識這種狀態(tài)，需要經(jīng)歷一個從“精練”到“多練”的習(xí)題演練過程，也就是說要采取“精練”與“多練”兩種方式進(jìn)行習(xí)題演練.

什么是“精練”，就是剛剛學(xué)習(xí)新內(nèi)容、接觸新知識和方法時，采取的一種習(xí)題演練方式.剛剛學(xué)習(xí)新知識，此時最為需要的是及時熟悉、鞏固所學(xué)新內(nèi)容，加深對相關(guān)知識和方法的理解.其中一個重要的途徑，就是通過習(xí)題演練達(dá)到這一目的要求.為此，在習(xí)題演練時，應(yīng)該“一步一步、有根有據(jù)”地進(jìn)行，這就是精.

比如，學(xué)習(xí)解一元一次方程中，解題分五個步驟：1.去分母，2.去括號，3.移項(xiàng)，4.合并同類項(xiàng)，5.系數(shù)化為1.剛剛學(xué)完新課，應(yīng)照著這五步依次進(jìn)行，并且每步要有根有據(jù)，即依據(jù)什么性質(zhì)、運(yùn)算法則等來解題的，這些都要做到清楚明白.這種“一步一步，有理有據(jù)”的習(xí)題演練，就是習(xí)題“精練”，有利于對所學(xué)概念、法則深入理解.

什么是“多練”?就是通過“精練”對所學(xué)知識有了深入理解后而進(jìn)行的一種習(xí)題演練方式.“多練”從直觀意義上理解就是多做題，多進(jìn)行習(xí)題演練.

為什么在“精練”之后還要多做題呢?如前所述因?yàn)閷W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識最根本目的在于充分掌握和熟練運(yùn)用.在“精練”基礎(chǔ)上，進(jìn)行多練，就可以在更大的范圍內(nèi)，選取更多、更為復(fù)雜的問題來演練，這有利于提高運(yùn)用知識的水平.

比如，數(shù)幾何圖形，基本原則是不遺漏、不重復(fù).依據(jù)這個原則，一般采取兩種方法：一是根據(jù)圖形組成復(fù)合圖形來數(shù)；二是根據(jù)幾何圖形構(gòu)成的要素或特點(diǎn)來數(shù).

例1 如下圖，數(shù)出直線a上的線段條數(shù).

解：基本線段：AB、BC、CD三條；兩條基本線段構(gòu)成的復(fù)合線段：AC、BD二條；三條基本線段構(gòu)成的復(fù)合線段：AD一條.∴線段共有3+2+1=6條.

以上是通過基本線段構(gòu)成復(fù)合線段來解的，通過這樣的精練，就可加深對基本圖形構(gòu)成的復(fù)合圖形這一類數(shù)圖形個數(shù)方法的理解.

在“多練”中，我們可以選取更多、更為復(fù)雜的圖形來演練.

例2 如圖，數(shù)出圖中矩形的個數(shù).解：矩形個數(shù)可由矩形中任意相鄰兩邊為一組合來確定，有多少個這樣組合，就有多少個長方形.

橫向分析：線段條數(shù)為4+3+2+1=10條；縱向分析：線段條數(shù)為2+1=3條；因?yàn)橛梢粰M一縱兩條線段就可得到一個子矩形，所以矩形個數(shù)為10×3=30個.

不難看出，上題直接運(yùn)用了例1中數(shù)線段的方法，這就是通過“精練”中獲得的結(jié)果運(yùn)用到“多練”中去求解題目.所以“多練”側(cè)重知識運(yùn)用，而不是練習(xí)基本知識本身.這樣的訓(xùn)練越多，就越能提高運(yùn)用知識解題的能力，為了達(dá)到熟練運(yùn)用，必須要多做題即“多練”.

通過上述說明，不難理解，“精練”側(cè)重于對所學(xué)知識和方法的理解，因此要求“一步一步，有理有據(jù)”進(jìn)行.“多練”側(cè)重于提高運(yùn)用知識的能力，不要求一步一步、遵循基本步驟，可以直接運(yùn)用基本知識或基本結(jié)果.

那么在實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，怎樣處理好“精練”與“多練”之間的關(guān)系呢?

首先，以教科書中的習(xí)題及老師課后布置的作業(yè)為對象進(jìn)行“精練”.因?yàn)檫@些題目都是針對書中所介紹的或是老師上課所講解的知識精心編寫或布置的.目的是通過對這些習(xí)題的練習(xí)，達(dá)到熟悉和鞏固基本內(nèi)容，加深對相關(guān)知識和方法的理解.所以必須抓住這些習(xí)題，投入較多時間，進(jìn)行“精練”來達(dá)到目的.其次，在精練基礎(chǔ)上，選取一些質(zhì)量好、針對性強(qiáng)的“名題”、“名卷”作為課外輔助習(xí) 題，進(jìn)行多練.因?yàn)?，如前所述，要能將所學(xué)知識充分掌握、熟練運(yùn)用，靠一、二次“精練”是達(dá)不到目的的，應(yīng)該通過“多練”來達(dá)到這一要求.

當(dāng)然，“精練”與“多練”都是相對而言，而非絕對的.精練側(cè)重知識的理解，同樣有助于運(yùn)用知識能力的提高，“多練”側(cè)重知識的運(yùn)用與拓展，同樣也有助于對知識的理解.實(shí)際上“精練”是“多練”的基礎(chǔ)，“多練”是“精練”的深化，學(xué)生應(yīng)在實(shí)踐中結(jié)合自己的實(shí)際情況處理好“精練”與“多練”的關(guān)系.