公理是什么

彭翕成+張景中

兩千多年間，數(shù)學家對公理的看法有了巨大變化.

從前，公理被認為是自明之理.自明之理是哪里來的呢？唯心論者認為是人的先天洞察，上帝給人的啟示，人對理念的認識，等等；唯物論者認為公理來自人對客觀世界規(guī)律性的認識，是經驗的總結與升華；二元論者認為公理是人用先天的感知能力對經驗總結的結果.雖然這些觀點千差萬別，但有一點是共同的：公理是真理，是相對真理或絕對真理，是不必再加以證明的命題.

受上述各種哲學觀點的支配，數(shù)學家也傾向于認為公理應當是自明之理，是真理.只有從真理出發(fā)，才能得到真理.

現(xiàn)在，數(shù)學家看法變了，沒有什么自明之理.即使有，也不必要求數(shù)學公理是真理.數(shù)學公理是對數(shù)學對象的性質的約定.什么是直線，直線就是滿足我的這幾條公理的某種東西.滿足歐幾里得公理，叫歐氏直線；滿足羅巴切夫斯基公理，叫羅氏直線；等等.

公理對不對，這問題對數(shù)學家是沒有意義的.數(shù)學家只說：如果某一些對象適合于這些公理，它一定也適合于從公理推出的定理.在這個意義上，數(shù)學定理總是對的，就如同中國象棋中“單車難破士象全”總是對的一樣.它依賴于下棋的規(guī)則，

非歐幾何的創(chuàng)立，標志著數(shù)學真理性的終結.數(shù)學家可以探索任何可能的問題，建構任何可能的公理體系，理論數(shù)學從此得到空前的發(fā)展，數(shù)學經歷了一個自由的新生，它不再被束縛于直接從現(xiàn)實世界抽象而得的概念，而有了探索人類心智的創(chuàng)造的自由.

不過，也不是隨便幾條命題湊起來便可作為公理.首先，公理不能自相矛盾，也不能推出自相矛盾的東西.這叫做公理的相容性或協(xié)調性.其次，從精練的角度來說，任一條公理都應不能從別的公理推出來.能推出來，就作為定理算了，何必算作公理呢？這叫做公理的相互獨立性.還有一條完全性，就是在這個系統(tǒng)中，一切命題的真假都是可以確定的.一般說來，有了前兩條，也就可以了.有人甚至認為獨立性也不重要，最重要的是相容性，

對公理看法的這種進步，大大解放了數(shù)學家的思想.現(xiàn)代數(shù)學中各種公理系統(tǒng)層出不窮，誰也不能說誰的公理不對.然而，有些公理系統(tǒng)很有用，很受歡迎.有些公理系統(tǒng)沒什么用，“束之高閣，并不實行”，建立之后漸漸被人們忘了，甚至沒有人注意它.

數(shù)學家也是人，也要吃飯、穿衣，要靠社會供養(yǎng)，他自然希望自己的研究于人類有用.盡管他在邏輯上有建立任何能夠自圓其說的公理系統(tǒng)的權利，但是他總還會想到“有什么用”的問題.這樣，實際上被數(shù)學家重視的公理系統(tǒng)中的公理，總是在一定程度土反映了人們在社會實踐中的經驗，或代表了人類向某一未知領域探索的愿望，在這個意義上，公理也就不完全是人們任意的約定了.

最后，用棋類游戲為喻結束本章.

石桌面上刻著縱橫相錯的網格，旁邊擺放著黑白兩種顏色的棋子.你認為這一定是為下圍棋準備的么？未必，可以下圍棋，還可以下五子棋.

圍棋和五子棋最大的區(qū)別并不在于棋具，而是走棋的規(guī)則.同樣的棋具，人們可以根據(jù)自己的興趣愛好選擇規(guī)則，進入完全不同的棋類世界.

人人都可以發(fā)明創(chuàng)造新的棋類游戲，規(guī)則的制定，當然可以由你說了算.但你發(fā)明的新游戲，是否吸引人，有人愿意玩，這可得由社會實踐來檢驗了.endprint