錯(cuò)中悟道：系統(tǒng)掌握概念 全面解決問題

張春風(fēng)

許多同學(xué)對(duì)直線的傾斜角、斜率、直線和圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系的一些概念和性質(zhì)掌握不全面，易導(dǎo)致錯(cuò)誤，下面筆者將舉例說明.

一、忽視斜率公式的限制條件

1.已知兩點(diǎn)A（-1，2），B（m，3），（1）求直線AB的斜率k；

反思 在求解直線的斜率與傾斜角問題時(shí)，一定得抓住概念核心，斜率是傾斜角在[o，π/2）u（π/2，π）上的正切函數(shù).傾斜角為號(hào)時(shí)，斜率不存在，所以當(dāng)遇到含參問題時(shí)一定得對(duì)特殊情形分類討論，避免出錯(cuò).

二、忽視對(duì)直線方程所設(shè)形式的限制

錯(cuò)因分析 弦長(zhǎng)不為直徑時(shí)直線總有兩條，忽視了斜率不存在的情形是造成漏解的原因，在設(shè)斜率時(shí)應(yīng)先考慮斜率不存在的情形，進(jìn)行分類討論.

反思 根據(jù)已知條件求解直線方程時(shí)都應(yīng)注意運(yùn)用的限制條件，否則一定會(huì)漏解.點(diǎn)斜式或斜截式是典型的易漏解情形，斜率不存在的特殊情形優(yōu)先考慮顯得尤為重要.

一、對(duì)隱含的條件挖掘不到位導(dǎo)致錯(cuò)誤

3.已知圓的方程為x²+y²+（λ-2）y+5=0，并且定點(diǎn)P（2，3）在圓外，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為

錯(cuò)解 點(diǎn)P（2，3）在圓外，所以4+9+2λ+（λ-2）×3+5>o，λ>-12/5.

錯(cuò)因分析 表面看起來是忽略二元二次方程表示圓的條件，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.實(shí)際上是解決問題的層次不分明，首先應(yīng)該考慮的是方程能表示圓，其次才是點(diǎn)與網(wǎng)的位置關(guān)系.

正解 點(diǎn)P（2，3）在圓外，所以4+9+2λ+（λ-2）×3+5>o，λ>-12/5.

在圓的方程中λ2+（λ-2）2 4×5>0，所以λ>4或λ<-2.

所以實(shí)數(shù)A的取值范圍為 （-12/5，-2）U（4，+∞）.

變式 已知圓C的方程為x²+（y-4）²=4，點(diǎn)0是坐標(biāo)原點(diǎn).直線l：y=kx與圓C交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)Q（m，n）是線段MN上的點(diǎn)，且2/OQ²≥1/OM²+1/ON².請(qǐng)將n表示為m的

錯(cuò)因分析 本題忽視了建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)得考慮定義域.究其原因?qū)嶋H是忽視了直線l：y=kx與網(wǎng)C交于M，N兩點(diǎn)的前提條件，將幾何關(guān)系代數(shù)化，轉(zhuǎn)化為直線與網(wǎng)的方程組有解即利用判別式大于O；或者利用圓心到直線的距離d

反思 對(duì)于范圍的求解一直都是一個(gè)難點(diǎn)，這兩題之所以出錯(cuò)關(guān)鍵還是在于解決問題時(shí)層次不分明，要充分挖掘限制條件，這就需要精細(xì)化分析并全面理解掌握網(wǎng)的方程、直線與網(wǎng)位置關(guān)系的相關(guān)概念.比如點(diǎn)在圓外，同學(xué)們只想到位置關(guān)系的代數(shù)化，而忽略了圓的方程本身的限制；而第二題也是典型的錯(cuò)誤類型，我們的重心往往放置在求解關(guān)系上而忽略了直線與圓相交的前提.

相關(guān)練習(xí)

1.已知圓0：x²+y²=4，則過點(diǎn)P（2，4）與圓O相切的切線方程為

2.已知直線l過點(diǎn)A（5，2），直線l在x軸上截距是y軸上截距的2倍，求直線l的方程.

直線與網(wǎng)相關(guān)概念性質(zhì)的掌握至關(guān)重要.一是注重概念理解的全面精準(zhǔn)，在學(xué)習(xí)過程中能把握概念的核心要素解決問題；二是注重解決問題時(shí)層次分明，充分挖掘題目中的隱含條件.這樣我們就能解決直線與網(wǎng)中那些“會(huì)做但不能全對(duì)”的易錯(cuò)題.

參考答案

1. 3x-4y+10=0或x=2. 2.2x-5y=0或x+2y-9=0.