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    求解直線問(wèn)題有竅門

    2018-03-06 17:50:10熊杰
    新高考·高一數(shù)學(xué) 2017年7期
    關(guān)鍵詞:對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)軸路程

    熊杰

    直線是解析幾何所研究的基本對(duì)象之一,我們就以與直線相關(guān)的問(wèn)題為例,談?wù)劷忸}中的注意點(diǎn)及方法選擇,助你掌握此類問(wèn)題的解題竅門.

    一、選哪種形式好

    直線方程有五種形式,各有各的特點(diǎn),在使用的時(shí)候要根據(jù)條件合理選擇,同時(shí)還不能忽略各種形式的適用范圍.

    例1 求過(guò)點(diǎn)A(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線.

    錯(cuò)解 由直線在兩坐標(biāo)軸上截距相等,設(shè)直線方程為想x/a+y/a=1,代人點(diǎn)A(l,2),得a=3,直線方程為y=-x+3.

    此處使用截距式看似簡(jiǎn)單直接,其實(shí)隱含了一個(gè)不能忽略的要點(diǎn),即直線方程的截距式在使用時(shí)是有限制的,它所表示的直線不能垂直于坐標(biāo)軸,也不能過(guò)原點(diǎn).因此本題在求解時(shí)應(yīng)該對(duì)這兩種情況進(jìn)行單獨(dú)討論.

    解答補(bǔ)充 當(dāng)截距為0時(shí),直線過(guò)原點(diǎn),滿足題意,直線方程為y=2x,

    所以直線方程為y=2x或y=-x+3.

    當(dāng)然本題還可以用另一類直線方程求解,因?yàn)樗笾本€上一點(diǎn)已經(jīng)明確,因此為了減少未知參數(shù),我們可以采用點(diǎn)斜式來(lái)求解.但在使用點(diǎn)斜式時(shí)要注意是否有直線斜率不存在的特殊情況.

    另解 由題意,直線斜率存在,設(shè)直線方程為y-2=k(x-1),

    當(dāng)x=0時(shí),y=2-k,當(dāng)y=0時(shí),x=1-2/k

    2-k=1-2/k,解得k=2或-1

    所以直線方程為V=2r或y=-x+3.

    此兩種方法均為代數(shù)法解答,即為設(shè)直線方程并求參數(shù)的基本方法,區(qū)別僅在于運(yùn)用了不同形式的直線方程進(jìn)行運(yùn)算,兩種方法各有特點(diǎn),同學(xué)們要仔細(xì)體會(huì),當(dāng)然,如果你看出了本題的幾何背景,那么也可以用幾何解法求解,

    變式 已知直線l過(guò)(0,1),且點(diǎn)A(-3,-4),B(6,3)到直線l的距離相等,求直線l的方程.

    鑒于幾何圖形的直觀特點(diǎn),本題很多同學(xué)想要用幾何的方法來(lái)解題,但同時(shí)也出現(xiàn)了很多問(wèn)題.

    幾何解法分析:

    如圖1,本題的直線l存在兩種情況,它既可以是一條平行于AB的直線,也可以是一條過(guò)AB中點(diǎn)的直線,在分析過(guò)程中,有一些同學(xué)出現(xiàn)了漏解的情況,有的只注意到平行于AB的直線,有的只想到過(guò)AB中點(diǎn)的直線,思考不全面讓他們失分.而直接用代數(shù)的方法求解則可避免這種失誤,也就是說(shuō)解析法可能更加適合這類問(wèn)題.二、不能忽略圖形

    例2 已知直線z經(jīng)過(guò)直線l1:2x+y5=0與l2:x-2y=O的交點(diǎn).

    (1)若點(diǎn)A(5,O)到l的距離為3,求l的方程;

    (2)求點(diǎn)A(5,O)到l的距離的最大值.

    ), 解 (1)由2x+y-5=0,x-2y=0解得交點(diǎn)P(2,1),

    當(dāng)直線斜率k不存在時(shí),直線l:x=2,此時(shí)l到點(diǎn)A距離為3;

    當(dāng)直線斜率k存在時(shí),設(shè)直線方程y

    (2)由交點(diǎn)P(2,1),如圖2,過(guò)P作任一直線l,設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離,則d≤PA(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立).

    例3 如圖3所示,已知兩點(diǎn)A(4,o),B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上,最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn),求光線所經(jīng)過(guò)的路程.

    本題若想分別計(jì)算三段光線的長(zhǎng)度顯然是不合理的,由光學(xué)作圖中的對(duì)稱性原理可知做出如下的圖形即可很便利地求解光線所經(jīng)過(guò)的路程,

    常見(jiàn)的作圖有如下兩種情況,

    如圖4所示,做P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)P1,再做p關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P2,P1P2長(zhǎng)度即為所求路程.

    如圖5所示,做P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)P1,再做P1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P3。,P3P長(zhǎng)度即為所求路程.

    兩種作圖方法均利用了圖形對(duì)稱性的原理將原本不在一條直線上的三段路程轉(zhuǎn)化到一條直線上求解,

    后續(xù)的問(wèn)題就只要求出相應(yīng)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)即可,首先我們利用線段P1P被直線AB垂直平分的特點(diǎn),先求出P1的坐標(biāo).

    解 設(shè)P1(x0,y0),lAB:y=-x+4,

    由直線AB垂直且平分線段PP1,得y0/x0-2)×(-1)=-1 y0/2=-(2+y0)/2+4解得P.(4,2),關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)很特殊,很快可得P2(-2,0),P。(-4,2).

    除了點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題我們還會(huì)碰到直線的對(duì)稱問(wèn)題,其實(shí)只要關(guān)注直線上的一些特殊點(diǎn),這種對(duì)稱問(wèn)題的本質(zhì)也可以轉(zhuǎn)化到點(diǎn)的對(duì)稱上來(lái)求解.

    笛卡兒曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“我想尋求一種新的,包含兩門學(xué)科的好處,而義沒(méi)有它們?nèi)秉c(diǎn)的方法.”解析幾何包含了兩門學(xué)科的優(yōu)點(diǎn),我們所要做的就是找出這些優(yōu)點(diǎn),讓它們?yōu)槲宜?endprint

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