劉衛(wèi)東
本文將通過一系列與三角形相關的解析幾何問題,來展現(xiàn)直線方程的性質(zhì)與選擇,兩直線平行和垂直的性質(zhì)等內(nèi)容.希望能拓展同學們解這類題型的思路,掌握這類題型的解題方法,
一、直線過定點與坐標軸圍成
三角形
1.已知三角形的形狀,求解直線方程
這樣的問題可以根據(jù)三角形的形狀選擇合適的直線方程來解決,其中用到了待定系數(shù)法求直線的方程.
例1 求經(jīng)過A(3,4)且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形的直線方程.
分析 該直線與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形,即該直線的斜率為±1.
解 方法一:由題意可知,所求直線的斜率為±1,義所求直線過A(3,4),由點斜式得V-4=±(x-3),
所求直線的方程為x-y+l=0或x+y-7=0.
方法二:由所求直線與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形可得,該直線的截距存在,分截距相等和截距互為相反數(shù)兩種情況.
設直線為x/a+y/a=l或x/a+y/(-a)=l,
又因為直線過點A(3,4),代人方程三+y/a=l和x/a十y/(-a)=1得a=7及a=-1,
所求直線的方程為x-y+l=O或x+y-7=0.
點評 本題考查了五種直線選擇,所求直線與坐標軸圍成等腰直角三角形,故選擇截距式或點斜式有利于快速解決.
2.已知三角形的面積,求解直線方程
這樣的問題可利用直線在兩坐標軸上的截距,再將截距轉化為距離,從而得到三角形的面積來解決,
例2 求經(jīng)過點A(3,4)與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形的面積為25的直線方程.
分析 直線過點,所求直線可以用點斜式或截距式求解.
解 方法一:設所求直線方程為x/a+y/b=1,則a>o,b>0.
由直線過A(3,4)且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為25可得
3/a+4/b=1,
a=5,
a=15/2
1/2ab=25,
b=10,
b=20/3
所求直線的方程為x/5+y/10=1或2x/15+3y/20=1即2x+y-l0=0或8x+9y-60=0.
方法二:由題意設直線為y-4=k(x3),k<0,
令x=0得縱截距y=4-3k,令y=0得橫截距x=(3k-4)/k,
由直線過A(3,4)且面積為25可得S=1/2/4-3k/×/(3k-4)/k/=25
由k<0,解之得k=-2或k=-8/9,
所求直線的方程為2r+y-10=O或8r+9y-60=0.
二、三角形中的特殊線段所在直線方程
三角形中有很多特殊線段,如中線、高線、角平分線、中位線等.其中,三角形中的高線、中位線所在直線方程的求法體現(xiàn)了兩直線垂直和平行的相關性質(zhì).
例3 已知A(-1,1),B(3,1),c(1,3),求
(1)△ABC的BC邊上的高所在直線的方程;
(2)若D,E分別是AB,AC的中點,求DE所在直線的方程,
分析 (1)本題體現(xiàn)兩直線垂直,斜率之積等于 1.(2)由題意知DE是三角形的中線,與BC平行,兩直線平行,斜率相等.
解 (1)邊BC所在直線的斜率是kBC(3-1)/(1-3)=-1
根據(jù)BC邊上高線的斜率與BC邊所在直線的斜率之積等于1,可知BC邊上的高線的斜率k=l,
義因為BC邊上的高線經(jīng)過點A(-l,1),
所以BC邊上的高線方程為y-1=x+1,即x-y+2—0.
(2)因為D,E分別是AB,AC的中點,
所以DE∥BC,
所以kDE=kBC=(3-1)/(1-3).
因為D是AB的中點,其中A(-1,1),B(3,1),所以D(l,1).
又因為DE過D(l,1),所以DE所在直線的方程為y-1=-(x-1),即x+y2=0.
三、直線與圓相交構成三角形
此類問題涉及點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系的應用,如已知三角形的面積,則可利用點到直線的距離來轉化問題.
例4 已知兩點A(O,-3),B(4,o),若點P是圓x2+y2-2y=0上的動點,求△ABP的面積的最小值.
分析 △ABP的邊AB的長度為5,要使△ABP的面積最小,底邊為AB,只需要高最小,最小的高為圓心到直線AB的距離減去半徑,
解 由兩點A(O,-3),B(4,0)得直線AB的方程為x/4+y3=1,化為一般式即為3x-4-12=0.
三角形是平面幾何中最簡單的平面幾何體之一,通過它來學習探究解析幾何的知識,可以幫助我們熟悉數(shù)形結合、轉化與化歸等數(shù)學思想,從而加深對解析幾何的理解,希望本文例題的展示能對同學們學習解析幾何初步的內(nèi)容有所幫助.endprint