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    注重數(shù)學思維訓練 培養(yǎng)良好的數(shù)學思維方式

    2008-01-05 06:39張麗娟
    中學數(shù)學研究 2008年12期
    關鍵詞:直覺形象思維函數(shù)

    張麗娟

    江蘇省無錫高等師范學校 (214001)

    “數(shù)學是思維的體操”,數(shù)學思維是人腦和數(shù)學對象交互作用,并按照一般思維規(guī)律認識數(shù)學內(nèi)容的內(nèi)在理性活動.

    由于創(chuàng)造性思維并非是單一的思維形式,因此,注重數(shù)學思維訓練,必須充分重視形象思維,發(fā)散思維和直覺思維的培養(yǎng),并注意各種思維方式的辨證運用,培養(yǎng)良好的數(shù)學思維方式.并通過具體的解決數(shù)學問題的獨立探索和鉆研,領會數(shù)學思維的規(guī)律和方法,發(fā)展學生敏銳的觀察力和豐富的想象力,從而提高學生的數(shù)學思維.

    人們在探求未知知識的過程中,由于目的的不同以及思維形態(tài)的差異,在由已知條件過渡到結論的思維活動方式方面也往往具有多樣性.根據(jù)數(shù)學認識過程的特點,本文從以下三個方面來探討這個問題.

    一、形象思維是培養(yǎng)良好數(shù)學思維的基礎

    形象思維,是一種借助于具體的形象來展開的思維過程.數(shù)學中的形象思維不同于其他形象思維形式(如藝術的形象思維、文學的形象思維),它是以表象、直感和想象為基本形式,以觀察實驗、聯(lián)想類比等形象方法為基本形式的思維方法.

    形象思維接通媒介的橋梁是形與象,它有自己專門的活動領域.把數(shù)學文字用圖形刻畫出來,將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題,平面幾何中輔助線的添加,立體幾何中借助圖形和形象進行的推理,變換角度觀察圖形都是形象思維的具體體現(xiàn).

    在培養(yǎng)形象思維時,經(jīng)常是由形與象經(jīng)過思維形成概念,再 由概念聯(lián)系形與象進行推理,形與象抽象形成的概念與形象之間多次反復地聯(lián)絡、交換信息,從而使形象思維深刻化.

    例1 已知a,b分別是方程x+玪g玿=10與x+10瑇=10的解,求證:a+b=10.

    分析:通過形象思維,借助直觀,根據(jù)題意可把一元方程的解看成兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標,再利用函數(shù)的性質(zhì)進行證明.

    證明:如圖1,∵x+玪g玿=10,x+10瑇=10,∴玪g玿=10-x;10瑇=10-x.于是a,b分別為函數(shù)y=玪g玿與y=10瑇的圖像與直線y=10-x交點的橫坐標,設兩交點分別為A(a,10-a),B(b,10-b),由于函數(shù)y=玪g玿與y=10瑇互為反函數(shù),且直線y=10-x與y=x相互垂直,所以點A與B關于直線y=x對稱,所以a=10-b即a+b=10.

    例2 已知:正數(shù)x、y、z滿足方程x2+y2+xy=1,

    y2+z2+yz=3,

    z2+x2+zx=4,求x+y+z的值.

    分析:此題看起來是一個解方程的問題,但如果利用代數(shù)的方法,通過解方程來求解,解題過程會非常的繁雜,為了直觀、清楚、快捷地解決問題,我們可根據(jù)三個方程的數(shù)式特征,構造三個有相同頂點且頂角為120°的三角形,再利用三角形的面積公式,便能順利的求解.

    解:如圖2,構造三個有相同頂點且頂角為120°的三角形,設OB=x,OA=y,OC=z,由余弦定理:x2+y2+xy=1=AB2,y2+z2+yz=3=AC2,z2=x2+zx=4=BC2,∴AB2+AC2=BC2,故△ABC為直角三角形,∠A=90°,且S△ABC=S△OAC+S△OCB+S△OBA=32,即12xy玸in120°+12yz玸in120°+12zx玸in120°=32,∴34(xy+yz+zx)=32,∴xy+yz+zx=2,又∵(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=12[8-(xy+yz+zx)]+4=7,∴x+y+z=7.

    利用直觀想象,借助形象思維是解決數(shù)學問題的關鍵,是培養(yǎng)和形成良好思維方式的基礎.

    二、發(fā)散思維是培養(yǎng)良好數(shù)學思維的重要環(huán)節(jié)

    發(fā)散思維是對已知信息進行多角度的思考,不局限于既定的理解,從而提出新問題,探索新知識或發(fā)現(xiàn)多種解法或多種效果的思維方式,它的特點是思路廣闊,尋求變異,對已知信息通過轉(zhuǎn)換或改造進行擴散,派生以形成各種新信息,發(fā)散思維在思維方式上是逆向的、側(cè)向的和多向的,在思維內(nèi)容上是變通的和開放的,它對推廣原問題、引申舊知識、發(fā)現(xiàn)新方法等具有積極的開拓作用.

    發(fā)散思維有思路開闊的特點,并能向不同方向發(fā)展,很少受目標的限制,它往往能推翻成見,自由地探索新知的領域,以尋求更多更新的解決問題的方法、途徑和思路.在解決數(shù)學問題時,一題多解是發(fā)散性思維能力的最好體現(xiàn).

    例3 已知數(shù)列{a璶}是首項為1的正項數(shù)列,且(n+1)a﹏+1-na2璶+a﹏+1猘璶=0(n=1,2,3,…),求它的通項公式.

    解法一:當n=1時有2a22+a2-1=0,解出正數(shù)a2=12;當n=2時有3a23-2a22+a3a2=0,即6a23+a3-1=0解出正數(shù)a3=13;同理可求出a4=14…;由此猜想通項公式為:a璶=1n(n∈N),然后再用數(shù)學歸納法證明.

    解法二:∵(n+1)a2﹏+1-na2璶+a﹏+1猘璶=0,∴[(n+1)a﹏+1-na璶](a﹏+1+a璶)=0,又

    ∵a﹏+1+a璶>0,從而(n+1)a﹏+1=na璶,利用遞推代換na璶=(n-1)a﹏-1=(n-2)a﹏-2=…=a1=1,∴a璶=1n.

    解法三:∵(n+1)a2﹏+1-na2璶+a﹏+1猘璶=0,兩邊同時除以a2璶得(n+1)(a﹏+1猘璶)2+a﹏+1猘璶-n=0,由求根公式得正根a﹏+1猘璶=1+4n(n+1)-12(n+1)=nn+1,∴a璶=a1?a2a1?a3a2?…?a璶a﹏-1=1?12?23?…?n-1n=1n.

    例4 求函數(shù)y=玸in玿+1玞os玿+2的最大、最小值.

    此題既可以用代數(shù)的方法,也可以用幾何的方法來解決,引導學生利用不同的方法和途徑思考問題,能讓學生的思維發(fā)散,思路活躍,思維敏捷,辦法多而新穎.

    解法一:由萬能公式轉(zhuǎn)化為關于玹an玿2的一元二次函數(shù),然后根據(jù)玹an玿2∈R,用判別式求解.設玹an玿2=t,則y=1+2t1+t22+1-t21+t2=t2+2t+1t2+3,即yt2+3y=t2+2t+1,∴t2(y-1)-2t+(3y-1)=0,當y≠1時,t=玹an玿2∈R,∴△=4-4(y-1)(3y-1)=-12y2+16y≥0,∴0≤y≤43,即函數(shù)的最小值為0,最大值為43.

    解法二:將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為a玸in玿+b玞os玿的形式,引入輔助角φ,化為r玞os(x+φ),然后由正、余弦函數(shù)的有界性求解.

    ∵y=玸in玿+1玞os玿+2,從而2y+y玞os玿=1+玸in玿,即y玞os玿-玸in玿=1-2y,∴y1+y2?玞os玿-11+y2?玸in玿=1-2y1+y2,設玹anφ=1y,則玸inφ=11+y2,玞osφ=y1+y2,∴玞os(x+φ)=1-2y1+y2,又|玞os(x+φ)|≤1,從而|1-2y1+y2|≤1,∴(1-2y)2≤y2+1,∴3y2-4y≤0,即0≤y≤43,所以函數(shù)的最小值為0,最大值為43.

    解法三:把“玸in玿+1”看成“玸in玿-(-1)”,同理把“玞os玿+2”看成“玞os玿-(-2)”,再聯(lián)想到由兩點所確定直線的斜率公式,f(x)就可看成過兩點P(-2,-1)和Q(玞os玿,玸in玿)的直線的斜率,這里P是定點,Q點坐標滿足:x2+y2=玞os2x+玸in2x=1,即點Q是單位圓上的動點,于是,要求f(x)的最大、最小值,只要構造以下的輔助圖形,當點Q在單價圓上運動時,動直線PQ斜率的最大、最小值就是所求.

    如圖3,過P(-2,-1)作單位圓x2+y2=1的切線PA、PB,A、B為切點,設∠APB=2α,則∠APO=∠OPB=α,所以PB∥Ox,∴k㏄B=0,玹anα=12,∴k㏄A=玹an2α=2玹anα1-玹an2α=43,所以函數(shù)的最小值為0,最大值為43.

    發(fā)散性思維是一種開放性思維,培養(yǎng)和訓練發(fā)散思維,要力求通過類比、聯(lián)想等思維方式,使思維向各個方向擴散,實現(xiàn)開放式的、多元化的思維模式,以達到知識的融會貫通.

    三、直覺思維是培養(yǎng)良好數(shù)學思維的有效途徑

    直覺思維是指對一個問題未經(jīng)逐步分析,僅依據(jù)內(nèi)因的感知迅速地對問題答案作出判斷、猜想、設想,或者在對疑難百思不得其解之中,突然對問題有“靈感”和“頓悟”,甚至對未來事物的結果有“預感”“預言”等都是直覺思維.

    數(shù)學直覺思維是人腦對數(shù)學對象及其結構、規(guī)律在整體上的直接領悟和觀察把握,即在觀察想象的基礎上調(diào)動個體原有的經(jīng)驗,根據(jù)一定的意向,通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設、猜想或判斷,并跳過若干中間步驟或放過個別細節(jié)而直接把握研究對象的本質(zhì)和聯(lián)系,它不受固定的邏輯約束,并以潛邏輯的形式進行,以高度省略、簡化和濃縮的方式洞察數(shù)學關系,能在一瞬間迅速解決有關數(shù)學問題.

    “跟著感覺走”是我們經(jīng)常講的一句話,其實這句話里已蘊涵著直覺思維的萌芽,只不過沒有把它上升為一種思維觀念,在教學中教師應該把直覺思維在課堂教學中明確提出,并制定相應的活動策略,從整體上分析問題的特征,重視數(shù)學思維方法的教學.

    例5 已知abc=1,則aab+a+1+bbc+b+1+cca+c+1的值是().

    (A)1 (B)0 (C)-1 (D)2

    分析:此題的條件少不易入手,根據(jù)直覺,結合條件“abc=1”令a、b、c的值都為1,則aab+a+1+bbc+b+1+cca+c+1=13+13+13=1,故選(A).

    例6 已知x、y、z∈R+,且x+y+z=1,求函數(shù)f(x,y,z)=(x+1x)2+(y+1y)2+(z+1z)2的最大值.

    分析:對于本題,若試圖直接求最大值,無從下手,觀察變量x、y、z可知,它們在條件中地位“平等”,在函數(shù)f(x,y,z)中具有對稱性.由直覺可以預測,當x=y=z=13時,函數(shù)取得最大值,此時,函數(shù)f(x,y,z)的值為(3+13)2+(3+13)2+(3+13)2=1003,預測(x+1x)2+(y+1y)2+(z+1z)2≥1003,故只需進一步檢驗預測結果的正確性.將無目標的最值求解題轉(zhuǎn)化為有目標的證明題,降低了原問題的難度.將不等式的左邊展開得f(x,y,z)=(x2+y2+z2)+(1x2+1y2+1z2)+6,當x=y=z=13時,x2+y2+z2=13,1x2+1y2+1z2=27,又13+27+6=1003,直覺告訴我們只需證明:x2+y2+z2≥13(1),1x2+1y2+1z2≥27(2),對于不等式(1),不難通過不等式3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2證得;對于不等式(2),可由不等式x+y+z≥33xyz,1x2+1y2+1z2≥

    33(1xyz)2證得.

    在解決問題的過程中,直覺可以觸發(fā)靈感的到來,但直覺中難免混有假象,必須通過邏輯推理來檢驗驗證,在揚棄的過程中得到正確的結論,因此我們在教學過程中要安排一定的直覺階段,給學生留下直覺思維的空間,使學生在實踐和訓練中,通過在整體觀察和局部觀察的結合中發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律,猜想、判斷、論證.

    參考文獻

    [1][JP3]任樟輝.數(shù)學思維論.廣西教育出版社,1996年12月.

    [JP][2]郭思樂,喻緯.數(shù)學思維教育論.上海教育出版社,1997年2月.

    [3]熊萍.數(shù)學思維與數(shù)學方法論.四川教育出版社,1992年.

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