建系
- 例談立體幾何綜合題中的建系策略
要求。因此,如何建系成為同學(xué)們成功解決立體幾何綜合問題必須邁過的一道坎。為幫助同學(xué)們徹底解決這個(gè)問題,本文探究并總結(jié)出建系的四種常見策略,以期對同學(xué)們學(xué)習(xí)有所幫助,從而達(dá)到提高大家的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力的目的。一、借助三條兩兩垂直的直線建系例1(福建省部分地市2023 屆高三第一次質(zhì)量檢測)如圖1,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|AC|=,AB⊥BC,E,F分 別 為BB1,CA1的 中 點(diǎn),且EF⊥平面AA1C1C。圖1(1)求|AB|的長;(2)若|AA
- 上海音樂學(xué)院音樂學(xué)系建系40 周年
5周年，音樂學(xué)系建系40周年。1982年，上海音樂學(xué)院音樂學(xué)系正式建立，次年獲得全國第二批高校學(xué)科博士點(diǎn)授權(quán)，由此掀開上海音樂學(xué)院音樂學(xué)學(xué)科專業(yè)教學(xué)與科研新篇章。建系之初，音樂學(xué)系設(shè)立西方音樂史、中國傳統(tǒng)音樂理論、中國音樂史3個(gè)教研室，教師一共9人，分別來自上海音樂學(xué)院音樂研究所、民族音樂理論和作曲技術(shù)理論教研室，他們是錢仁康、夏野、譚冰若、李民雄、陳聆群、沈旋、劉明瀾、孫維權(quán)、錢亦平。建系40年來，歷任系主任為：錢仁康、譚冰若、沈旋、錢亦平、楊燕迪、韓鍾
- 立體幾何中向量方法及其應(yīng)用
系的建立，不同的建系對運(yùn)算結(jié)果會(huì)產(chǎn)生不同程度的影響，因此如何選擇建系的方法是解題的關(guān)鍵，從近三年的全國高考卷中可以發(fā)現(xiàn)立體幾何問題主要考查二面角的正余弦值、二面角的大小以及線面成角，點(diǎn)面距等，具體考點(diǎn)見表1：表1從表1中可以發(fā)現(xiàn)，以空間幾何體作為載體考查空間角的相關(guān)問題是高考命題的重點(diǎn)，而二面角的求解則成為高考的熱點(diǎn)，對學(xué)生來說解決這類問題的關(guān)鍵就是建系方法的選擇以及計(jì)算，恰當(dāng)?shù)?span id="j5i0abt0b" class="hl">建系對于簡化運(yùn)算有著良好的促進(jìn)作用.1 向量法的使用前提——建立空間直角坐標(biāo)系
數(shù)理化解題研究 2023年4期2023-03-18
- 增加代數(shù)推理 強(qiáng)化幾何直觀*
——以“建系”方法解決平面幾何問題為例
題代數(shù)化.這種“建系”方法既增加了代數(shù)推理，又增強(qiáng)了幾何直觀，達(dá)到數(shù)與形的完美統(tǒng)一.一、“建系”題目呈現(xiàn)及解法分析例1如圖1矩形ABCD，AD=2，BC=10，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且AE=AB，點(diǎn)F從點(diǎn)E出發(fā)，向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，以BF為斜邊在BF上方作等腰直角?BFG，以BG，BF為鄰邊作BFHG,連結(jié)AG.設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)試說明:?ABG∽?EBF;(2)當(dāng)點(diǎn)H落在直線CD上時(shí)，求t的值；(3)點(diǎn)F從E運(yùn)動(dòng)到D的過程中，直接寫出
初中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2022年18期2022-12-02
- “雙等腰模型”讓建系法如虎添翼
的空間立體感；而建系法解立體幾何題“只要建系成功，一旦點(diǎn)坐標(biāo)到位，后面就不是問題”.因此，建系法深受教師和學(xué)生的喜愛.除了傳統(tǒng)建系、“暴力”建系外，筆者結(jié)合平時(shí)教學(xué)，推薦一種模型輔助建系，不妨稱為“雙等腰模型”.1 模型及性質(zhì)如圖1，兩個(gè)等腰△ABC和△DBC，△ABC沿著BC翻折成三棱錐P-BCD.如圖2，O為BC的中點(diǎn)，PB=PC，DB=DC，記OP=r，∠POD=θ，OA=OE，且點(diǎn)P在面BCD的上方，則有如下3個(gè)性質(zhì)：圖1 圖21)BC⊥OP,BC
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2022年11期2022-11-22
- 讓深度學(xué)習(xí)走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂
——以“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)為例
.師：很好，合理建系往往可以達(dá)到簡化運(yùn)算的效果.在解決問題時(shí)不要急于求成，應(yīng)該注意觀察、認(rèn)真分析.師：觀察圖2，誰來說一說這步想要做什么？為什么要抹去部分等式呢？（教師繼續(xù)展示學(xué)生的化簡過程）圖2生2：這步想通過兩邊平方去掉根式，可能發(fā)現(xiàn)直接平方比較復(fù)雜，所以放棄了.師：觀察圖3，這樣做的目的是什么？你認(rèn)可這一做法嗎？（教師繼續(xù)出示圖3）圖3生3：圖3最終的目的也是為了去掉根式，但在平方前先移項(xiàng)了，這樣等式的左右各有一個(gè)根式，平方后左側(cè)根式可以直接消除，然
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊 2022年30期2022-11-09
- 錯(cuò)在哪里
法）沒有問題，“建系”、“設(shè)點(diǎn)”與“建模”也都沒有問題，錯(cuò)就錯(cuò)在了重要的“定義域”——點(diǎn)M橫坐標(biāo)x的取值范圍.雖然他們也注意到了點(diǎn)M是側(cè)面BCC1B1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），直接得到x∈[0,2]，但稍加推敲，再細(xì)心作圖，不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)范圍太大了. 其實(shí)，方程2x+z-2=0(0 ≤x≤2)對應(yīng)的曲線是線段C1F（如圖2，其中E是棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是C1E與B1B的延長線的交點(diǎn)），這條線段不全在側(cè)面BCC1B1上. 因此，x的取值范圍應(yīng)是[0,1].正確解法正
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2022年5期2022-11-09
- 用向量法解決立體幾何問題時(shí)的建系策略
突破四個(gè)大關(guān)，即建系關(guān)、求坐標(biāo)關(guān)、求法向量關(guān)、應(yīng)用公式關(guān)。而在四關(guān)中建系是入門關(guān)，這個(gè)人門關(guān)入得好，則接下來的解答才能順利地開展，因此，如何建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系是解決立體幾何問題的關(guān)鍵。下面就用向量法解決立體幾何問題時(shí)的建系策略做一些探究。策略一：用“墻角”——利用共頂點(diǎn)互相垂直的三條棱建系23AA1D49-635F-42E1-BCAB-17FF3645FC3F
中學(xué)生數(shù)理化·高三版 2022年2期2022-03-30
- 建系有法可依 立幾有章可循
——向量建系法在立體幾何問題中的應(yīng)用
受師生們的青睞，建系已經(jīng)成為解決立體幾何問題的一種常用方法[1]．但在日常教學(xué)中，很多教師往往更多關(guān)注于各種求證與求值公式的運(yùn)用，而忽略了問題的第一步：建系、設(shè)點(diǎn)．事實(shí)上，在很多試卷中出現(xiàn)了不易建系的題目，讓學(xué)生措手不及．學(xué)生把各解題公式背得滾瓜爛熟，哪知第一步建系都建不對．答案中的第一步“如圖，建系設(shè)點(diǎn)……”真的是顯然嗎？可以說，建系設(shè)點(diǎn)是向量法解決立體幾何問題中蘊(yùn)涵幾何味的關(guān)鍵所在，也是學(xué)生運(yùn)用向量法的難點(diǎn)．與平面坐標(biāo)系相比，空間坐標(biāo)系將二維平面推廣到
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2022年3期2022-03-22
- 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的三種常用方法
的常用方法.一、建系法動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程通常是用關(guān)于x、y的方程表示出來的.而有些求動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題中并未給出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，此時(shí)，我們需采用建系法來解題：根據(jù)圖形的位置、性質(zhì)建立合適的直角坐標(biāo)系，設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系式或方程.在建立直角坐標(biāo)系時(shí)，要充分關(guān)注垂直、平行關(guān)系以及圖形的對稱性，這樣能簡化計(jì)算以及解題的過程.例1.已知A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，||AB =3，∠PBA= 2∠PAB，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)、射線AB為x軸的正半軸
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版上旬 2022年1期2022-03-07
- 巧攻點(diǎn)P
向量與立體幾何;建系;關(guān)鍵點(diǎn)P;點(diǎn)坐標(biāo)空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角（“立體幾何初步”側(cè)重于定性研究，本章則側(cè)重于定量研究）。空間向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個(gè)十分有效的工具。明白其教育價(jià)值所在的同時(shí)，也很高興能夠有機(jī)會(huì)參加這次市調(diào)研課，使我在其中成長了許多也收獲了許多。現(xiàn)在還能夠回想起第一次講公開課的場景，還能夠想起與師傅一起探討研究題目的情景，即使都很累了，晚上還要利用她的休息時(shí)間幫我去理清課的思路和設(shè)計(jì)課上的
高考·上 2021年4期2021-09-10
- 空間直角坐標(biāo)系的建系策略
空間直角坐標(biāo)系的建系策略.關(guān)鍵詞：空間;直角坐標(biāo)系;建系;策略中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0070-03坐標(biāo)法是解決立體幾何問題的重要方法，借助坐標(biāo)法可以將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，既可以降低幾何問題的抽象性，同時(shí)也為解決實(shí)際問題開辟了一條新的途徑.用坐標(biāo)法解決空間幾何問題，首先需要合理建立空間直角坐標(biāo)系.建立空間直角坐標(biāo)系的過程就是根據(jù)問題給定的空間幾何關(guān)系在幾何圖形中尋找三條兩兩互相垂直的直線，通過
數(shù)理化解題研究·高中版 2021年4期2021-09-10
- 淺談平面向量數(shù)量積中的一題多解教學(xué)
;數(shù)量積;圖形;建系題干：在四邊形ABCD中，AD//BC，，AD=5，∠A=30°，點(diǎn)E在線段CB的延長線上，且AE=BE，則_____________.關(guān)于本題教學(xué)過程如下：問題1：數(shù)量積求值的方法有哪些？生1：定義法 投影法生2：特值法生3：向量分解法生4：坐標(biāo)法生5：利用極化恒等式問題2：這道題不適宜用哪些方法？說明理由生6：不適用定義法，因?yàn)槟繕?biāo)向量模長夾角均不清楚生7：也不適用投影法，目標(biāo)向量關(guān)系太模糊，投影不容易看出來生8：亦不適用極化恒等式
學(xué)習(xí)與科普 2021年11期2021-09-10
- 利用建系解決多邊形與向量有關(guān)的平面問題
及到坐標(biāo)就必然和建系相關(guān).一說到建系，我們首先想到的就是立體幾何中利用建系求面面角，線面角等；另外，我們在學(xué)函數(shù)模型的建立和檢驗(yàn)時(shí)也用到了建系；在求曲線方程時(shí)也用到了建系，比如橢圓，雙曲線，拋物線方程的建立等.當(dāng)然，還有其他的建系方法.本文將對多邊形與向量有關(guān)的且可以利用建系來處理的一類題型做一個(gè)簡單分析.一、較簡單的與向量有關(guān)的建系解法1利用基底。解法2利用建系.C.4 D.-1二、較綜合的與向量有關(guān)的建系故選B.涉及到多邊形與向量融合的問題，建系相對簡
數(shù)理化解題研究 2021年19期2021-08-05
- 淺談初中數(shù)學(xué)利用建系法巧解幾何題
63000)一、建系法建系法作為函數(shù)的開端，也有一定的難度.不會(huì)建系，坐標(biāo)寫不清楚，中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)距離公式不會(huì)應(yīng)用等等的問題，都會(huì)使得一部分學(xué)生對建系法望而卻步.然而仍然不能否認(rèn)建系法對解題的幫助.因此，本文挑選一些幾何題，對比幾何法解題和建系法解題，能更直觀的理解幾何法與建系法.從而加深對建系法的理解，學(xué)會(huì)使用建系法巧解幾何題.解題過程中可能會(huì)用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)坐標(biāo)公式，在此先作補(bǔ)充：二、例題講解例1如圖1，正方形ABCD與正方形CGEF的邊長分
數(shù)理化解題研究 2021年20期2021-08-05
- 空間直角坐標(biāo)系的建系策略
三條互相垂直的棱建系例1如圖1，四面體ABCD中，AB，BC，BD兩兩垂直，且AB=BC=BD=4，E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點(diǎn).(1)求異面直線AB與EF所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)E到平面ACD的距離；(3)求EF與平面ACD所成角的正弦值.解析如圖2，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC，BD，BA所在直線為x，y，z軸建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則依題意得，B(0,0,0)，A(0,0,4)，C(4,0,0)，D(0,4,0)，E(2,0,0)，F(xiàn)(0,
數(shù)理化解題研究 2021年10期2021-08-05
- 不一樣的拋物線？
形式不同只是因?yàn)?span id="j5i0abt0b" class="hl">建系的方法不同師：大家基本上都認(rèn)為兩次學(xué)習(xí)的拋物線是不一樣的，分別從開口方向、對稱軸方程、頂點(diǎn)、表達(dá)形式等角度闡述了它們之間的區(qū)別．但也有人認(rèn)為它們是一樣的，請看作業(yè)圖示(1)．師：這些表達(dá)式是想說明什么？有請當(dāng)事人．師：那么開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)位置彼此不同，又如何解釋呢？生1：這些也都是由不同的建系方法造成的，只要調(diào)整建系方法，它們可以都開口向上，以y軸為對稱軸，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)．師：也就是說，只要建系方法一樣，拋物線與坐標(biāo)系相對位置一樣，
中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2021年5期2021-05-17
- 空間向量應(yīng)用的誤區(qū)提醒
解題時(shí)，常會(huì)由于建系不合理、混淆有關(guān)概念、過程不規(guī)范等原因，造成錯(cuò)誤。本文總結(jié)了幾類典型的易錯(cuò)點(diǎn)，給予提醒。一、建系不合理或盲目建系建立空間直角坐標(biāo)系是應(yīng)用空間向量解題的“起點(diǎn)”，通過恰當(dāng)建系、準(zhǔn)確求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再表示出相應(yīng)向量，進(jìn)而利用向量的關(guān)系求解空間幾何問題。但要注意的是解題時(shí)要避免盲目建系，小題大做（證明平行、垂直一般不需要建系;求解距離時(shí)很少建系;在易作平行線求異面直線所成的角、易作平面的垂線求線面角、易作交線的垂線求二面角時(shí)可不用建系）。誤區(qū)提
中學(xué)生數(shù)理化·高三版 2021年2期2021-03-01
- 用空間向量解決立體幾何問題的建系策略
四關(guān)”：第一關(guān)，建系;第二關(guān)，求點(diǎn)的坐標(biāo);第三關(guān)，求法向量;第四關(guān)，應(yīng)用公式。然而如何建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并求出點(diǎn)的坐標(biāo)是用空間向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵所在。下面以典型的幾何體：棱柱、棱錐、多面體為載體，以典型的問題情境設(shè)計(jì)：求線面角、求二面角、探索性問題、翻折問題為背景，剖析建立空間直角坐標(biāo)系的常用途徑。途徑一、利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系分析：（1）幾何體中有三條直線兩兩垂直，直接建系。（2）空間向量非常適合于解決立體幾何中的探
中學(xué)生數(shù)理化·高三版 2021年2期2021-03-01
- 立體幾何中的探索性問題
題的原則是建模、建系。建模即需要將問題轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距離等的計(jì)算模型;建系是依托于題中的垂直條件，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量求解。探索性問題的類型較多，但一般都是需要探索某邊上是否存在某點(diǎn)且滿足某種關(guān)系，可采用先假設(shè)存在某點(diǎn)，再利用對應(yīng)關(guān)系求解的辦法解決問題。常見的考查類型如下：考向一：探索位置問題立體幾何這部分內(nèi)容在高考中的考查情況總體上比較穩(wěn)定，因此，復(fù)習(xí)備考時(shí)往往有“綱”可循，有“題”可依。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，要加強(qiáng)
中學(xué)生數(shù)理化·高三版 2021年2期2021-03-01
- 用空間向量解決立體幾何問題的建系策略
四關(guān)”：第一關(guān)，建系；第二關(guān)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；第三關(guān)，求法向量；第四關(guān)，應(yīng)用公式。然而如何建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并求出點(diǎn)的坐標(biāo)是用空間向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵所在。下面以典型的幾何體：棱柱、棱錐、多面體為載體，以典型的問題情境設(shè)計(jì)：求線面角、求二面角、探索性問題、翻折問題為背景，剖析建立空間直角坐標(biāo)系的常用途徑。途徑一、利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系例1如圖1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，AA
- 空間向量應(yīng)用的誤區(qū)提醒
解題時(shí)，常會(huì)由于建系不合理、混淆有關(guān)概念、過程不規(guī)范等原因，造成錯(cuò)誤。本文總結(jié)了幾類典型的易錯(cuò)點(diǎn)，給予提醒。一、建系不合理或盲目建系建立空間直角坐標(biāo)系是應(yīng)用空間向量解題的“起點(diǎn)”，通過恰當(dāng)建系、準(zhǔn)確求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再表示出相應(yīng)向量，進(jìn)而利用向量的關(guān)系求解空間幾何問題。但要注意的是解題時(shí)要避免盲目建系，小題大做（證明平行、垂直一般不需要建系；求解距離時(shí)很少建系；在易作平行線求異面直線所成的角、易作平面的垂線求線面角、易作交線的垂線求二面角時(shí)可不用建系）。例1（
- 為什么點(diǎn)那么難“描”
362000)建系法是解決高中理科立體幾何問題的一種有效方法，模式化也比較明顯，在完成建系和描點(diǎn)后，套入公式一般都可以解決問題，這類問題有較為明顯的“套路解法”，照理學(xué)生的得分率要很高，但實(shí)踐過程中筆者卻發(fā)現(xiàn)情況截然相反。究其原因，其中一個(gè)主要的問題是學(xué)生不會(huì)描點(diǎn)，為什么點(diǎn)那么難描？可能是一些描點(diǎn)的“技巧”沒有掌握好。1.選擇合適的空間直角坐標(biāo)系例題1:如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BAD=45°,PD=2,若平面PDC
讀與寫 2020年4期2020-12-24
- 一道立體幾何高考題的多種解法
的參考答案，通過建系，利用空間向量關(guān)系求解，解法自然常規(guī)，但運(yùn)算量較大.圖3評注：解法二是利用向量的數(shù)量積的定義求解.相對解法一更加簡化，無需建系求坐標(biāo)，但用到向量的加減運(yùn)算和數(shù)乘以及二面角平面角的定義，這些也是教材中的基礎(chǔ)內(nèi)容.圖4評注：解法三直接利用余弦定理，無需建系求坐標(biāo)，也不需要用到向量的加減運(yùn)算和數(shù)乘，但要求在空間圖形中尋找到二面角相應(yīng)的平面角，這正是回歸立體幾何教學(xué)的本位，更凸觀立體幾何教學(xué)的核心素養(yǎng)目標(biāo).
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2020年12期2020-12-15
- 三招破解以三角形為背景的多元變量最值問題
內(nèi)在關(guān)系.方法3建系設(shè)點(diǎn)∵2sin2A+sin2B=2sin2C,∴2a2+b2=2c2,∴AD=3CD,即3tanA=tanC.以下解法同法一.點(diǎn)評通過建系設(shè)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合思想確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，將三角問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值問題是解決這類題目的一個(gè)新視角，其難點(diǎn)在于如何建系，尋找哪個(gè)點(diǎn)的軌跡作為突破口.例2在△ABC中，A,B,C所對的邊分別是a,b,c，已知sinA+sinB+μsinAsinB=0，且a+b=2c，則實(shí)數(shù)μ的取值范圍是____.方法一邊角互化∵
數(shù)理化解題研究 2020年25期2020-10-11
- 妙用坐標(biāo)系確定球心位置
面的直線上.利用建系及外接球的幾何性質(zhì),準(zhǔn)確假設(shè)并求出球心坐標(biāo).建立空間直角坐標(biāo)系E—xyz，如圖2,則A(1,0,1),C(0,2,0).因?yàn)锽C2+BD2=16=CD2，所以?BCD是直角三角形,點(diǎn)E為?BCD的外心.設(shè)三棱錐的球心為O，則OE⊥平面BCD.可設(shè)O(0,0,z)，球的半徑為R,則 由R=|OA|=|OC|,可得(0-1)2+(0-0)2+(z-1)2=(0-0)2+(0-2)2+(z-0)2,解得z=-1.S=4πR2=20π.評注當(dāng)萬
高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2020年15期2020-09-04
- 活用解析法處理解三角形問題
：該解法的關(guān)鍵是建系、設(shè)元、構(gòu)建關(guān)于x,y的方程組(即獲得由①②兩式構(gòu)成的方程組)，以便利用方程思想輕松獲解.圖5評注：該解法與方法二的切入點(diǎn)相同，均是建系、設(shè)元，且最終均是通過解方程獲解，區(qū)別在于兩點(diǎn)：一是具體建系的方式不同；二是后續(xù)過程不同，其中方法一側(cè)重利用了三角恒等變形，而方法二側(cè)重借助消元以及除法運(yùn)算實(shí)施適當(dāng)變形.類型四、借助二次方程有實(shí)數(shù)根，巧求邊長的最小值圖6綜上，活用“解析法”可迅速求解一些看似較難的解三角形問題，其解題關(guān)鍵在于——靈活建系
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2020年6期2020-07-03
- 為什么點(diǎn)那么難“描”
-0178-01建系法是解決高中理科立體幾何問題的一種有效方法，模式化也比較明顯，在完成建系和描點(diǎn)后，套入公式一般都可以解決問題，這類問題有較為明顯的“套路解法”，照理學(xué)生的得分率要很高，但實(shí)踐過程中筆者卻發(fā)現(xiàn)情況截然相反。究其原因，其中一個(gè)主要的問題是學(xué)生不會(huì)描點(diǎn)，為什么點(diǎn)那么難描？可能是一些描點(diǎn)的“技巧”沒有掌握好。1.選擇合適的空間直角坐標(biāo)系例題1：如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BAD=45°，PD=2，若平面PDC
讀與寫·上旬刊 2020年2期2020-01-10
- 厘清數(shù)學(xué)教學(xué)中的四個(gè)基本問題*
——以蘇科版八上“5.2 平面直角坐標(biāo)系（3）”為例
可見，本課內(nèi)容“建系”是前面兩課時(shí)知識(shí)的延續(xù)，也可以看成是前面知識(shí)的運(yùn)用和應(yīng)用。有了上面的知識(shí)內(nèi)容認(rèn)識(shí)，就可以解決部分教師賽課中暴露的第一個(gè)問題，那就是如何溫故？部分青年教師只知道把前面兩課的核心內(nèi)容在課堂伊始進(jìn)行回顧，卻不知溫故的目的在于知新。從上述知識(shí)發(fā)展線分析可以看出，只有服務(wù)于本課學(xué)習(xí)所需的學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（含知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)）與生活現(xiàn)實(shí)（含實(shí)際問題情境認(rèn)識(shí)），才是最需要溫故的內(nèi)容。還可以解決部分教師賽課中暴露的另一個(gè)問題，那就是拋開前面兩課時(shí)的知識(shí)、
江蘇教育 2020年43期2020-01-02
- 坐標(biāo)法求立體幾何題“四步曲”
環(huán)節(jié)構(gòu)成：（1）建系：建立合適的空間直角坐標(biāo)系；（2）求坐標(biāo)：求出相關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)；（3）向量運(yùn)算：利用有關(guān)公式進(jìn)行論證、計(jì)算；（4）結(jié)論：將上述運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．這個(gè)解題“四步曲”易被同學(xué)們接受，但具體到每個(gè)環(huán)節(jié)，似乎都有些要說的話．話題1：如何建立空間坐標(biāo)系？當(dāng)確定使用空間向量來解題時(shí)，建系就是解決問題的關(guān)鍵所在．建立空間直角坐標(biāo)系的常用方法有：利用共頂點(diǎn)且相互垂直的三條棱建系、利用線面垂直建系、利用面面垂直建系、利用圖形中的對稱關(guān)系建系．不管
新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考) 2019年12期2019-12-20
- 基底建系是通法，向量策略“三板斧”
——2019年江蘇卷第12題
關(guān)問題時(shí)考慮通過建系法，利用平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)運(yùn)算來處理；而在一般問題中，經(jīng)常借助特殊圖形加以一般性來解決，又極化恒等式法是一個(gè)出現(xiàn)頻率較高的基本方法，采用這兩種方法，往往可以達(dá)到省時(shí)省力、提高解題效益的目的.一、真題在線【高考真題】（2019 年江蘇卷12）如圖1，在△ABC中，D 是BC 的中點(diǎn)，E 在邊AB 上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn)O.若，則的值是______.圖1本題以三角形為問題背景，利用中點(diǎn)、定比分點(diǎn)來設(shè)置條件，結(jié)合平面向量的數(shù)量
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年21期2019-11-14
- 通過“底圖”突破立體幾何的建系難點(diǎn)
問題，而如何選擇建系的原點(diǎn)是一大難點(diǎn).通過對“底圖”的分析，能為學(xué)生建系提供思考的方向.[關(guān)鍵詞]底圖;建系;立體幾何[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）23-0024-02解決立體幾何問題有幾何法和空間向量法.幾何法涉及輔助線的添加及空間關(guān)系的理解.與幾何法相比，向量法的思維量小，所以向量法成為更多學(xué)生的首選.運(yùn)用向量法的一大難點(diǎn)在于坐標(biāo)系的建立.本文
中學(xué)教學(xué)參考·理科版 2019年8期2019-10-03
- 從向量的坐標(biāo)化策略談起
向量坐標(biāo)化策略;建系;轉(zhuǎn)化與劃歸平面向量，作為有向線段而言，涉及到的問題主要還是幾何圖形中的線段長度、夾角大小、圖形面積等問題。所以，向量問題的解決策略之一還在于基底化向量。整個(gè)高中知識(shí)中，與坐標(biāo)相關(guān)的除了解析幾何方面，還有空間向量。這兩個(gè)方面，對于建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系與坐標(biāo)運(yùn)算都有一定的要求。設(shè)計(jì)一節(jié)習(xí)題課，讓學(xué)生初識(shí)坐標(biāo)法，體會(huì)解決問題的幾個(gè)過程。而通過數(shù)學(xué)建模，把向量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，求解其中的最值，又是讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模過程的一個(gè)很好的經(jīng)歷。這節(jié)課，
贏未來 2019年3期2019-07-30
- 對2019年廣州一模理科數(shù)學(xué)第18 題的探究
求解，而本題直接建系也較為困難.接下來，本文從傳統(tǒng)幾何法及空間向量法對該問題進(jìn)行求解，并對其命制背景進(jìn)行了深入的探究，發(fā)現(xiàn)該問題可視為2018年全國2 卷立體幾何解答題的變形形式.一、題目如圖1，在三棱錐A-BCD中， △ABC 是等邊三角形，∠BAD =∠BCD =90°，點(diǎn)P 是AC 的中點(diǎn)，連接BP,DP.圖1(1)證明： 平面ACD⊥平面BDP;分析本題屬于逆向求解問題，已知線段長及二面角，求線面角的大小.本題有兩種解題思路進(jìn)行求解： 傳統(tǒng)幾何法以
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2019年11期2019-07-12
- 兵馬未動(dòng)，建系先行
——談如何建立空間直角坐標(biāo)系
坐標(biāo)系。一、直接建系當(dāng)圖形中有明顯互相垂直且相交于一點(diǎn)的三條直線時(shí),可以利用這三條直線直接建系,一般地,豎起方向的直線為z軸,x,y,z軸逆時(shí)針方向設(shè)置。例1如圖1,棱長為3的正方體的頂點(diǎn)A在平面α上,三條棱A B,A C,A D都在平面α的同側(cè),若頂點(diǎn)B,C到平面α的距離分別為1,2,則頂點(diǎn)D到平面α的距離是___。圖1分析:本題條件正規(guī),但位置不正規(guī)。涉及的知識(shí)雖然只有線面距離和線面角,但難以下手。出路何在?考慮到正方體這一模型的特殊性,直接建立“傾斜
- 挖掘試題背景，眼界略勝一籌
現(xiàn)兩兩垂直則易于建系，對于平行六面體則不易直接建系，或者說即便建系也不易寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，此時(shí)就得回歸到傳統(tǒng)的向量分解、向量的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，但如若知道本題的一個(gè)三余弦定理背景，依然可以建系快速求解.5 結(jié)束語學(xué)生解題時(shí)經(jīng)常碰到“卡殼”，不知道從何入手，對考題解答不知所措的原因在于基礎(chǔ)知識(shí)掌握不扎實(shí)，另一方面是對波利亞解題表提供的解題過程不了解，抑或是信息不對稱造成的解題障礙，出題者在明處，學(xué)生在暗處，不能清楚地明白命題者的命制意圖，所
福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2018年6期2018-12-24
- 合理建系，解題事半功倍
用圖形中的對稱性建系分析 本題是實(shí)際應(yīng)用問題，涉及與直線和圓有關(guān)的最短距離，充分利用圖形中的對稱性建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合幾何圖形規(guī)律，可以很快獲解.點(diǎn)評 利用圓的對稱性建系，圓O的方程最為簡捷;同時(shí)，B在正東方向，C在正北方向，兩點(diǎn)位置實(shí)際上也存在著某種對稱性，即關(guān)于直線y=x對稱，分別以直線OB、OC為x軸、y軸建系，直線BC的方程可以用截距式，也是最簡捷的方式，這樣，運(yùn)算過程中，由于圓與直線方程的形式的簡捷，運(yùn)算就得到了簡化.3.合理性——利用圖形中
新高考·高一數(shù)學(xué) 2018年7期2018-12-03
- 多種角度齊切入，平面向量巧求解
——一道模擬題的多解剖析
思路分析5：一般建系法解法5：如圖3，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)C（x1，y1），D（x2，圖3將②式展開，把①和③式代入整理可得=x1x2-x1+y1y2=10.故填答案：10.思路分析6：特殊建系法解法6：取特殊情況∠ABC=90°，建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系，可知B（0，0），A（0，1），C（4，0），此時(shí)設(shè)點(diǎn)D（m，n）為⊙A與⊙C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn).圖4而⊙A：x2+（y-1）2=9，⊙C：（x-4）2+y2
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年11期2018-06-25
- 近幾年江蘇高考向量填空題的一種巧妙解法
起.如果本題采用建系的方法是否可以解答呢？答案是肯定的，以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x，軸建立空間直角坐標(biāo)系xOy，并設(shè)D(x，y)，通過第二種解法，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)建系的方法也能解決非正規(guī)圖形.那么2016和2017年的高考向量題是不是也能用建系的方法解答呢？下面對這兩道高考題嘗試了一下.我們不妨以D為原點(diǎn),BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，根據(jù)題意設(shè)C(m，0)，B(-m，0)，F(xiàn)(a,b)，則E(2a,2b)，A(3a,3b)解得m+n=3.從這
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2018年1期2018-02-26
- 坐標(biāo)為器 幾何為核*—高考向量二輪專題教學(xué)設(shè)計(jì)的思考
：一是對于向量的建系法作出合理選擇,屬于高級規(guī)則的學(xué)習(xí);二是向量中數(shù)形結(jié)合思想的思想方法和動(dòng)點(diǎn)軌跡意識(shí)的自動(dòng)生成,屬于認(rèn)知策略的學(xué)習(xí),學(xué)生雖然在一輪復(fù)習(xí)涉及,但是意識(shí)不強(qiáng),需要更強(qiáng)的示例,強(qiáng)化認(rèn)知.二、教學(xué)的基本過程二輪教學(xué)離不開解題,但是題目是問題的開始,也是引發(fā)學(xué)生深入思考的起始.第一步：從一輪復(fù)習(xí)作業(yè)中找到矛盾的焦點(diǎn),引起學(xué)生的注意.作業(yè)1(2013安徽高考理科第9題) 在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),兩點(diǎn)A,B滿足：,則點(diǎn)集,|λ|+|μ|≤ 1
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2017年24期2018-01-18
- 立體幾何中向量法求點(diǎn)的坐標(biāo)的解題策略
標(biāo)系，在沒有明顯建系條件的，先要找到兩兩垂直的三條線，在選擇合適的原點(diǎn)建系，有時(shí)個(gè)別點(diǎn)的坐標(biāo)不能直接寫出來，需要借助向量間的關(guān)系來轉(zhuǎn)化；題目已知數(shù)據(jù)太少無法寫坐標(biāo)，巧設(shè)多個(gè)參數(shù)求解；已知條件線段比中含參數(shù)不易寫坐標(biāo)，引入新的參數(shù)后再轉(zhuǎn)化.一、建系后個(gè)別點(diǎn)的坐標(biāo)直接寫不出，利用向量間的關(guān)系來轉(zhuǎn)化(Ⅰ)求證：平面BCD⊥平面AB1C；(Ⅱ)若OC=OA，求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值.所以△BAD∽△AA1B1，則∠AB1B=∠ABD,∠BAB1+∠A
教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2017年5期2017-12-14
- 小題大做，別有洞天
——解決向量問題需要強(qiáng)化的五種意識(shí)
由①②得意識(shí)五：建系【思路】建系設(shè)點(diǎn)，通過將向量坐標(biāo)化解決.【點(diǎn)評】方法五的建系思想是常見且具有通用性的，在沒有靈感的時(shí)候，只要建系建對，設(shè)點(diǎn)設(shè)好，理論上用建系的方法一定能解出來，在解決很多數(shù)量積的最值問題時(shí)，建系是一個(gè)不錯(cuò)的選擇.【變式5-1】同【變式4-2】.【解析】如圖，建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，∴過點(diǎn)B1,B2作一個(gè)半徑為1的單位圓，圓心為O(a,b).設(shè)B1(0,y),B2(x,0)，得(x-a)2+b2=1,a2+(y-b)2=1，兩式相
教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2017年1期2017-03-28
- 巧選方法求解數(shù)量積
(坐標(biāo)法)如圖建系,即x2-8x+y2=2 …①.通過對上面兩題的理解，會(huì)發(fā)現(xiàn)定義法從純幾何的角度出發(fā)，對學(xué)生思維層次要求比較高，碰到此類問題時(shí)我們借助坐標(biāo)法可以降低問題的難度.但是有時(shí)會(huì)遇到建系時(shí)，各點(diǎn)坐標(biāo)表示不太方便，此時(shí)利用基本的向量運(yùn)算會(huì)降低問題的難度.解 此題由于C點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，建系不易表示出C點(diǎn)坐標(biāo)，可以利用向量的基本運(yùn)算，巧設(shè)未知數(shù)λ，通過建立與λ有關(guān)的函數(shù)式求出最值.∴最小值為-9/2.G632B1008-0333(2016)22-0020-
數(shù)理化解題研究 2016年22期2016-12-16
- 坐標(biāo)法
——輕松攻克向量問題
松攻克向量問題.建系；坐標(biāo)法；代數(shù)運(yùn)算；回歸平面向量問題對學(xué)生的平面幾何推理與向量邏輯思維能力要求較高，在處理平面向量問題時(shí)，經(jīng)常要對研究的復(fù)雜向量表達(dá)式拆分重組、配湊，盡可能靠攏已知量，依靠幾何意義，尋找突破口，一旦切入不當(dāng)，就會(huì)陷入復(fù)雜的運(yùn)算甚至循環(huán)論證.若恰當(dāng)使用向量坐標(biāo)法就會(huì)避免此類麻煩的產(chǎn)生.而向量問題又是高考命題的熱點(diǎn)，尋求其簡易解法，顯得尤為重要.本文通過具體高考題，從如何建系、確定點(diǎn)的坐標(biāo)、運(yùn)算、回歸等方面，介紹向量坐標(biāo)法在解決平面向量問題
數(shù)理化解題研究 2016年22期2016-12-16
- 萬變考題 課本尋根
——談一道平面向量題的改編
同解法1.評注 建系后把向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，達(dá)到“化抽象為具體、化陌生為熟悉”的目的，一般出現(xiàn)直角的圖形建議建系處理.改編層次4 以平行四邊形(菱形)為背景圖5( )A.20 B.15 C.9 D.6(2015年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題)故選C.解法2 假設(shè)AB⊥AD，以AB為x軸、AD為y軸建立直角坐標(biāo)系.易知M(6，3),N(4，4),從而故選C.評注 特殊化建系解決客觀題還是蠻容易的.( )(2015年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)解法1 由菱形ABCD
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2016年1期2016-12-02
- 靈活建系 妙用基底*
1015)?靈活建系妙用基底*●傅鮮兵(金華市外國語學(xué)校高中部浙江金華321015)摘要:向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著豐富的實(shí)際背景．在高中階段，向量有著舉足輕重的作用，并不斷在高考中得以體現(xiàn)．“建系”與“用基底”是用向量解決幾何問題的2個(gè)妙招．關(guān)鍵詞:向量;建系;用基底筆者2015年又教高三，一文一理，做題甚多，卻無特別大的成就感．近日，被一學(xué)生的問題點(diǎn)醒，靈感乍現(xiàn)，十分激動(dòng)，提筆成文．1 緣起生
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2016年4期2016-05-10
- 教學(xué)中有價(jià)值問題的探究
目總是思考看能否建系，不能建系，則一般都是從要求的結(jié)果出發(fā)，把向量進(jìn)行一步一步代換表示，最終求解，但是例1卻要從條件出發(fā)進(jìn)而分析代換求解.一部分學(xué)生為什么會(huì)在短時(shí)間內(nèi)無法求解呢？歸根結(jié)底，還是我們在教學(xué)中對學(xué)生的思維訓(xùn)練欠缺靈活性和發(fā)散性，學(xué)生一旦用平時(shí)經(jīng)常訓(xùn)練的方法解決遇到門檻時(shí)，就不能很快調(diào)節(jié)情緒，轉(zhuǎn)換思維，導(dǎo)致無法解決問題，然而即使從結(jié)果出發(fā)處理發(fā)現(xiàn)無法解決，迫使我們另尋思路，但是很多學(xué)生這一能力很難訓(xùn)練起來.我們再來看一道題目：解：分析會(huì)發(fā)現(xiàn)例1，
考試周刊 2015年22期2015-09-10
- 一道試題的分析與思考
-2x，為了增加建系的難度，特意將O點(diǎn)改為A點(diǎn)，看看學(xué)生是否會(huì)選A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).三、參考答案解：如圖2，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.…2分因?yàn)閠anα=-2，故直線AN的方程是y=-2x.設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）.因?yàn)辄c(diǎn)P到AM的距離為3，故y0=3.圖2所以點(diǎn)P（1，3）.…4分顯然直線BC的斜率存在.設(shè)直線BC的方程為y-3= k（x-1），k∈（-2，0）.從而S有最小值15.答：當(dāng)AB=5km時(shí)，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年7期2015-05-05