立體幾何中向量法求點的坐標(biāo)的解題策略

湖北 向正銀

立體幾何中向量法求點的坐標(biāo)的解題策略

湖北 向正銀

利用空間向量求角與距離是高考的一個高頻考點，關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，在沒有明顯建系條件的，先要找到兩兩垂直的三條線，在選擇合適的原點建系，有時個別點的坐標(biāo)不能直接寫出來，需要借助向量間的關(guān)系來轉(zhuǎn)化；題目已知數(shù)據(jù)太少無法寫坐標(biāo)，巧設(shè)多個參數(shù)求解；已知條件線段比中含參數(shù)不易寫坐標(biāo)，引入新的參數(shù)后再轉(zhuǎn)化.

一、建系后個別點的坐標(biāo)直接寫不出，利用向量間的關(guān)系來轉(zhuǎn)化

(Ⅰ)求證：平面BCD⊥平面AB1C；

(Ⅱ)若OC=OA，求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值.

所以△BAD∽△AA1B1，則∠AB1B=∠ABD,

∠BAB1+∠ABD=90°,∠BOA=90°,

即BD⊥AB1,又CO⊥平面ABB1A1，

所以CO⊥AB1,又BD∩CO=O,

所以AB1⊥平面BCD，AB1?平面AB1C，

所以平面BCD⊥平面AB1C.

(Ⅱ)以為O原點，分別以O(shè)D,OB1,OC所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)直線C1D與平面ABC所成的角為

二、題目已知數(shù)據(jù)太少無法寫坐標(biāo)，巧設(shè)多個參數(shù)求解

【例2】(2017·武漢市四月高三聯(lián)考試題)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，AB=BC=2，∠ACB=30°，∠C1CB=120°,BC1⊥A1C.E為AC中點，

(Ⅰ)求證：A1C⊥平面C1EB；

(Ⅱ)求二面角A1-AB-C的余弦值.

解：(Ⅰ)證明略.

又平面A1ACC1⊥平面ABC，AB=BC=2，

E為AC中點，

聯(lián)立①，②解方程組得

設(shè)平面A1AB的一個法向量m=(x,y,z)，

【點評】這道立體幾何是一道難題，當(dāng)時學(xué)生的正確率不到1%，因為建系后A1的縱坐標(biāo)，豎坐標(biāo)都不知道，標(biāo)準(zhǔn)答案是設(shè)|AA1|=t,∠A1AC=θ，通過條件列兩個方程，解出參數(shù)，寫出A1的坐標(biāo)，使問題解決，實際上直接設(shè)A1的坐標(biāo)，更容易思考和計算.

三、已知條件線段比中含參數(shù)不易寫坐標(biāo)，引入新的參數(shù)后再轉(zhuǎn)化

(Ⅰ)求證：平面DPC⊥平面BPC;

【解析】(Ⅰ)證明:如圖，取PB中點N，連接MN,AN．

∴四邊形ADMN為平行四邊形，

∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AN，

∴AN⊥MN，AP=AB，∴AN⊥PB，

∴AN⊥平面PBC．∵AN∥DM，

∴DM⊥平面PBC，即平面DPC⊥平面BPC.

(Ⅱ)存在符合條件的λ.以A為原點，AB方向為x軸的正方向，AD方向為y軸的正方向，AP方向為z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)平面PDE的法向量n1=(x,y,z)，

令y=2,則z=2,x=2-t,

取平面PDE的一個法向量為n1=(2-t,2,2)．

平面DEB即為xAy平面，

湖北省興山縣第一中學(xué))