分類討論還是參變分離?
——淺議不等式恒成立問題的解法

河北 劉立剛

分類討論還是參變分離?
——淺議不等式恒成立問題的解法

河北 劉立剛

函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題中不等式恒成立問題一直倍受命題人的青睞，也一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的疑點(diǎn)和高考的熱點(diǎn).由于其中既含有參數(shù)又含有變量，能有效考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

解決此類問題的常見方法一是不等式變形，使不等式一側(cè)為具體常數(shù)(常常是實(shí)數(shù)0)，將另一側(cè)構(gòu)造為關(guān)于變量x的函數(shù)，把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的函數(shù)求最值，f(x)gt;0(f(x)lt;0)恒成立?[f(x)]mingt;0([f(x)]maxlt;0)，簡稱“函數(shù)法”；二是等價(jià)變形將變量x和參數(shù)a分別置于不等號兩側(cè)，f(x)gt;g(a)恒成立?g(a)lt;[f(x)]min(f(x)lt;g(a)恒成立?g(a)gt;[f(x)]max)，簡稱“參變分離法”.

兩種方法都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，在解決過程中各有利弊：“函數(shù)法”通過分類討論將函數(shù)求最值分為不同情況，把復(fù)雜問題簡單化，但函數(shù)中含參數(shù)，導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)符號的不確定性，大部分學(xué)生對于帶參數(shù)的求導(dǎo)結(jié)果的討論會知難而退；而“參變分離法”通過對字母的分離使恒成立問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的給定函數(shù)的最值，避開了對含參因式的分辨以及主次變量的討論，其弊端是分離后有可能使給定函數(shù)形式過于復(fù)雜，最值不易求.

同學(xué)們在解決此類問題時(shí)總有這樣的糾結(jié)：到底用“函數(shù)法”分類討論，還是用“參變分離法”化給定函數(shù)？尤其是做壓軸題時(shí)，一旦所確定的方法不合適，不光耗時(shí)耗力，而且想重新改正時(shí)發(fā)現(xiàn)時(shí)間已來不及.那么涉及具體問題時(shí)，我們?nèi)绾巍耙蝾}制宜”的解決，下面筆者以三個(gè)例題加以說明：

1 例題分析

例1已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+1)，若對于任意的x∈(-1,0]，總有f(x)≥ax2，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析設(shè)g(x)=f(x)-ax2=x-ln(x+1)-ax2，

則g(x)≥0在(-1,0]上恒成立，

若a=0，則g′(x)≤0在(-1,0]上恒成立，

即g(x)在(-1,0]上單調(diào)遞減，

g(x)min=g(0)=0，g(x)≥0符合題意；

g′(x)≤0在(-1,0]上恒成立，

即g(x)在(-1,0]上單調(diào)遞減，

g(x)min=g(0)=0，g(x)≥0符合題意；

g′(x)≤0在(-1,0]上恒成立，

g(x)在(-1,0]上單調(diào)遞減，

所以g(x)min=g(0)=0，g(x)≥0符合題意；

因此g(x)minlt;g(0)=0，不符題意.

2 例題再思考

上面兩個(gè)例題通過分析所給不等式的結(jié)構(gòu)得出比較容易解決問題的通法.波利亞對解題過程有著精辟的論述：不斷地變換你的問題，我們必須一再地變化它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止.其實(shí)解決不等式恒成立問題中有的只能用或更適合用某一種，而有的兩種都可以.比如以上兩個(gè)例題，其實(shí)兩種方法都可以，只不過采取方法不同，導(dǎo)致難易程度有區(qū)別.

顯然，此法難點(diǎn)在于部分截取構(gòu)造函數(shù)二次求導(dǎo)以及洛必塔法則的使用.

此例若用“函數(shù)法”難度增大不小，尤其是不等式的處理，不是解出關(guān)于k的不等式，而是通過換元得出其小于0恒成立，避免解“超越不等式”，但技巧性強(qiáng)，學(xué)生不易想到.

3 拓展延伸

“死板地硬套所選擇的模型乃是愚笨的，這是思維惰性的一種表現(xiàn)”.法無定法，掌握基本方法的基礎(chǔ)上靈活變通地分析問題、解決問題是我們的方向.一個(gè)知識、一種方法的學(xué)習(xí)更重要的意義在于思想的滲透，思維的訓(xùn)練.

例3(2012·全國高考21題改編)已知a,b∈R，且ex+1≥ax+b對x∈R恒成立，則ab的最大值是

( )

解析1由已知條件得b≤ex+1-ax.

(ⅰ)若alt;0，則x→-∞時(shí)，ex+1-ax→-∞，不等式不恒成立；

(ⅱ)若a=0，則ab=0；

(ⅲ)若agt;0，由b≤ex+1-ax得ab≤aex+1-a2x，

設(shè)f(x)=aex+1-a2x，f′(x)=aex+1-a2=a(ex+1-a)，令f′(x)=0，得x=lna-1，當(dāng)x∈(-∞,lna-1)時(shí)，f′(x)lt;0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(lna-1,+∞)時(shí)，f′(x)gt;0，f(x)單調(diào)遞增，則f(x)min=f(lna-1)=2a2-a2lna.

點(diǎn)評本題的求解最值問題涉及雙參數(shù)，而且兩個(gè)參數(shù)都沒有一些明顯的限制條件，針對雙參數(shù)一方面是配湊分離出所要求的ab這個(gè)整體的不等關(guān)系；另一方面是對參數(shù)的分類討論.

解析2考慮本題是選擇題的特點(diǎn)，遵循“小題小做，小題巧做”的原則，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，將不等式兩側(cè)變形為初等函數(shù)，畫初等函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合的思想解題.我們不妨稱為“部分參變分離法”.

如圖，作f(x)=ex+1和g(x)=ax+b的圖象，由圖可知，要使不等式恒成立，則a≥0.

若a=0，則g(x)=b，原不等式恒成立?b≤0，此時(shí)ab=0.

若agt;0，如圖，求ab的最大值分兩步，第一步假定a的值不變，g(x)是隨著b的變化而變化的平行直線系.

點(diǎn)評“部分參變分離”，將代數(shù)問題幾何化，數(shù)形結(jié)合，利用初等函數(shù)的圖象變化直觀判斷解決問題，節(jié)省時(shí)間，提高能力.

4 小結(jié)

“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面，使得通過問題的解決，好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”解決不等式恒成立問題到底是進(jìn)行分類討論還是參變分離，需要在觀察和分析的基礎(chǔ)上獲得，當(dāng)然也要有解題經(jīng)驗(yàn)的積累.

本文中解不等式恒成立問題在方法的選取上要注意，“函數(shù)法”重點(diǎn)是求導(dǎo)以后對參數(shù)的分類討論，參數(shù)的不同取值范圍對于導(dǎo)數(shù)的正負(fù)要容易判斷；“參變分離法”一是盡量使參變分離容易，要避免討論，二是分離以后所得的給定函數(shù)的最值能相對容易地求出來.

河北省定州中學(xué))