為什么點(diǎn)那么難“描”

阮萍揚(yáng)

中圖分類號(hào)：G633.6?????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B????文章編號(hào)：1672-1578（2020）04-0178-01

建系法是解決高中理科立體幾何問題的一種有效方法，模式化也比較明顯，在完成建系和描點(diǎn)后，套入公式一般都可以解決問題，這類問題有較為明顯的“套路解法”，照理學(xué)生的得分率要很高，但實(shí)踐過程中筆者卻發(fā)現(xiàn)情況截然相反。究其原因，其中一個(gè)主要的問題是學(xué)生不會(huì)描點(diǎn)，為什么點(diǎn)那么難描？可能是一些描點(diǎn)的“技巧”沒有掌握好。

1.選擇合適的空間直角坐標(biāo)系

例題1：如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BAD=45°，PD=2，若平面PDC⊥底面ABCD，且PD⊥DC，求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值。

解析：很多同學(xué)發(fā)現(xiàn)底面ABCD是菱形，對(duì)角線互相平分且垂直，因此將原點(diǎn)設(shè)在菱形對(duì)角線的交點(diǎn)O處，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，如圖2所示，建立空間直角坐標(biāo)系。這個(gè)建系方法表面上看非常合理，卻存在致命缺陷，因?yàn)锳BCD是菱形且∠BAD=45°導(dǎo)致求底面四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)需要用sin45°2或sin135°2來計(jì)算。系是好建了，但點(diǎn)卻不好描。這就給我們一個(gè)提醒，直角坐標(biāo)系并不是隨意去建立的，要選擇一個(gè)合理的坐標(biāo)系才能方便的描繪出所有點(diǎn)坐標(biāo)。此題，應(yīng)過點(diǎn)D做DE⊥AB，以D為原點(diǎn)，DA和DA分別為x和y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3所示，這樣一來，點(diǎn)的描繪就容易多了，即：B（1-22，22），C（-22，22）如圖4。因此，點(diǎn)不好描時(shí)，考慮下，是不是換個(gè)角度去建系。

2.從空間向量角度進(jìn)行描點(diǎn)

例題2：（2014課標(biāo)1）如圖5，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C。（1）證明：AC=AB1;（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值。

解析：如圖6所示建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)BC=2，這里最不好求的點(diǎn)是A1的坐標(biāo)，它的坐標(biāo)要怎么求？一般的處理方法是將A1投影到xoy平面求解，這當(dāng)然可以。不過，我們也可以直接利用空間向量的一些公式求解。比如：AA1=BB1或B1A1=BA等等，就可以直接求出點(diǎn)A1的坐標(biāo)。速度準(zhǔn)確，并且減少了很多平面幾何的運(yùn)算和思考。同樣的情況還有下面這個(gè)例題。

例題3：（2017課標(biāo)2）如圖7，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M-AB-D的余弦值。

解析：取AD中點(diǎn)O，如圖8建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)PA=2，這里最難的是點(diǎn)M坐標(biāo)如何假設(shè)？有兩個(gè)方案解決：一是利用向量的共線關(guān)系PM=tPC，由PC=（0，1，-3）

PM=（xM，yM，zM-3）

，易得xM=0，yM=t，zM=3-3t，即M=（0，t，3-3t）;二是利用空間直線方程公式，可知直線PC的方程是：x=0

y1=z-3-3，點(diǎn)M在直線PC上，所以可以假設(shè)M=（0，t，3-3t）。得到了點(diǎn)M的坐標(biāo)，后面的求解就容易很多。值得總結(jié)歸納的是，若點(diǎn)M是落在面PDC上時(shí)，我們會(huì)利用“基底”來假設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，例如，CM=αCD+βCP，當(dāng)然，基底的選擇還可以是DC和DP等，選擇是多種的。我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系，描繪點(diǎn)坐標(biāo)的時(shí)候，會(huì)自然的用到中點(diǎn)公式，會(huì)注意到定比分點(diǎn)公式，也會(huì)用平行垂直等等結(jié)論來描點(diǎn)。同樣的道理，到了空間直角坐標(biāo)系，我們也是有很多公式的，可以用向量，可以用共線，垂直平行，甚至可以用到空間直線和平面公式等等來描點(diǎn)坐標(biāo)。所以，描點(diǎn)遇到困難時(shí)候，可以考慮，是否有空間向量的結(jié)論可以利用。

3.題目中核心信息遺漏

例題4：（2018課標(biāo)1）如圖9，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把△DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF⊥BF。（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD;（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值。

解析：過點(diǎn)P做EF的垂線，交EF于點(diǎn)O，即PO⊥面ABCD。如圖10建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，瞬間發(fā)現(xiàn)，所有的坐標(biāo)都很難求。這是因?yàn)橛幸粋€(gè)核心信息遺漏了！遺漏了什么信息呢？遺漏了PF⊥面PED，就有PF⊥PE！這里△EPF是直角三角形！有了這個(gè)信息，那么描點(diǎn)就非常容易了！這樣的命題手法非常高明，對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)挑戰(zhàn)，如果沒有對(duì)信息進(jìn)行再挖掘，僅僅通過表象信息去解決問題，往往無功而返耗時(shí)耗力。這給了我們一個(gè)提示，描點(diǎn)遇到障礙時(shí)，認(rèn)真細(xì)讀題目給出的信息，對(duì)信息進(jìn)行二次挖掘，把隱藏的結(jié)論揭示出來，問題便迎刃而解。

總結(jié)

建系、描點(diǎn)、套公式，這是立體幾何建系法的三步驟。描點(diǎn)成為最關(guān)鍵的一步。除了傳統(tǒng)的將點(diǎn)投影到坐標(biāo)平面或投影到坐標(biāo)軸外，其實(shí)，我們還有一些“小技巧”、“補(bǔ)充結(jié)論”和“解題經(jīng)驗(yàn)”來幫助建系和描點(diǎn)。