基于難度模型的近兩年新高考Ⅰ卷解幾試題分析及教學(xué)啟示

摘要：文章根據(jù)五維難度模型，對(duì)2023年與2024年新高考Ⅰ卷的解析幾何試題從背景材料、知識(shí)含量、設(shè)問(wèn)方式、推理水平、認(rèn)知水平五個(gè)方面進(jìn)行分析，最后給出教學(xué)啟示.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)新高考；難度模型；解析幾何試題分析；教學(xué)啟示

1 五維難度模型

我國(guó)學(xué)者鮑建生參照我國(guó)數(shù)學(xué)課程的特性，確定了以“背景材料、知識(shí)含量、設(shè)問(wèn)方式、推理水平、認(rèn)知水平”為影響因素的數(shù)學(xué)試題綜合難度模型[1]（如圖1）.

背景材料的選擇直接影響學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解和情境的構(gòu)建.它為試題提供了實(shí)際情境，使學(xué)生能夠在真實(shí)的情境中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)了試題的現(xiàn)實(shí)性和可理解性.知識(shí)含量是試題內(nèi)容的核心，反映了所考查的數(shù)學(xué)知識(shí)的深度和廣度.高知識(shí)含量的試題要求學(xué)生具備更扎實(shí)的基礎(chǔ)和更廣泛的知識(shí)面，直接提升了試題的難度.設(shè)問(wèn)方式?jīng)Q定了試題的表述形式和邏輯結(jié)構(gòu)，直接影響學(xué)生的解題思維和方法選擇.復(fù)雜的設(shè)問(wèn)方式通常要求學(xué)生具備更高的分析能力和綜合思維，增加了試題的挑戰(zhàn)性.推理水平涉及學(xué)生在解題過(guò)程中所需的邏輯推理和思維能力.試題要求學(xué)生進(jìn)行深入的分析、比較和推導(dǎo)時(shí)，其難度相應(yīng)提高，因此推理水平是影響試題難度的重要因素.認(rèn)知水平反映了學(xué)生在解題過(guò)程中所需的思維深度和靈活性.較高的認(rèn)知水平要求學(xué)生能夠運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行創(chuàng)新性解決，進(jìn)一步提高了試題的綜合難度.

這五個(gè)要素相互關(guān)聯(lián)共同構(gòu)成了數(shù)學(xué)試題的綜合難度模型.背景材料和知識(shí)含量為試題提供了基礎(chǔ)，而設(shè)問(wèn)方式則通過(guò)特定的邏輯引導(dǎo)學(xué)生的思考.推理水平和認(rèn)知水平則在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步挑戰(zhàn)學(xué)生的能力，形成了一個(gè)多層次、全面的難度評(píng)估體系.通過(guò)對(duì)這些要素的綜合分析，能夠更好地理解和設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)試題，以適應(yīng)不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.

2 真題分析及對(duì)比

2023及2024年新高考I卷中的所有解析幾何試題如表1所示.

2.1 背景材料對(duì)比分析

2023年試題圍繞經(jīng)典的橢圓、圓、雙曲線等幾何圖形展開，注重基礎(chǔ)性質(zhì)的考查和常規(guī)解法的應(yīng)用.問(wèn)題設(shè)計(jì)通常較為直接，通過(guò)橢圓的離心率、圓與直線的關(guān)系等基本概念考查學(xué)生對(duì)定義和公式的掌握.相比之下，2024年試題在背景材料的設(shè)定上較為靈活，設(shè)計(jì)了如絲帶曲線、橢圓的面積問(wèn)題等具有一定創(chuàng)造性的問(wèn)題，旨在考查學(xué)生的綜合能力和對(duì)幾何圖形性質(zhì)的深度理解.例如，第11題中曲線C的定義和條件設(shè)定較為特殊，考查了曲線與幾何圖形結(jié)合的問(wèn)題，而第16題則融入了與面積計(jì)算和幾何對(duì)稱相關(guān)的內(nèi)容，體現(xiàn)了更復(fù)雜的推理過(guò)程.

2.2 知識(shí)含量對(duì)比分析

2023年和2024年新高考Ⅰ卷解析幾何試題的知識(shí)含量有所不同，主要體現(xiàn)在試題涉及的知識(shí)點(diǎn)廣度和難度、深度上.2023年試題主要涉及基礎(chǔ)的解析幾何概念和性質(zhì)，如橢圓的離心率、直線與圓的關(guān)系、雙曲線的焦點(diǎn)性質(zhì)等，考查的核心內(nèi)容是學(xué)生對(duì)基本幾何定理和公式的理解和應(yīng)用.問(wèn)題設(shè)置較為傳統(tǒng)，重點(diǎn)考查橢圓、圓和雙曲線等幾何圖形的基本性質(zhì)和簡(jiǎn)單的公式應(yīng)用.然而，2024年試題涉及的知識(shí)點(diǎn)則更加多樣化，并且增加了問(wèn)題的深度.例如，第11題涉及曲線與直線的關(guān)系，要求學(xué)生不僅理解解析幾何的基本公式，還需要利用導(dǎo)數(shù)等方法進(jìn)行深入分析；第12題則要求學(xué)生解答與雙曲線離心率相關(guān)的問(wèn)題，并結(jié)合給定條件進(jìn)行推理，知識(shí)面和思維深度都有所拓展.

2.3 設(shè)問(wèn)方式對(duì)比分析

2023年試題的設(shè)問(wèn)較為直接，通常給定條件后要求計(jì)算或證明相關(guān)結(jié)論.例如，第5題、第6題、第16題都通過(guò)明確的數(shù)值關(guān)系和幾何圖形的條件設(shè)置，要求學(xué)生運(yùn)用常規(guī)公式進(jìn)行計(jì)算，問(wèn)題的設(shè)問(wèn)相對(duì)清晰簡(jiǎn)單，難度主要體現(xiàn)在計(jì)算精度和公式應(yīng)用的正確性上.而2024年試題則在設(shè)問(wèn)方式上更為靈活，特別是在第11題和第16題中，設(shè)計(jì)了如“絲帶曲線”這樣的復(fù)雜背景，考查學(xué)生在幾何圖形建模、推理和函數(shù)分析等方面的能力.例如，第11題不僅涉及曲線方程，還要求通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷和分析單調(diào)性，設(shè)問(wèn)更加注重學(xué)生的綜合分析和推理能力.第16題則通過(guò)幾何對(duì)稱性、面積計(jì)算等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合，要求學(xué)生展示更強(qiáng)的綜合解題能力.

2.4 推理水平對(duì)比分析

2023年試題主要依賴學(xué)生對(duì)基本幾何定理的掌握，推理過(guò)程通常較為直觀，解題步驟清晰，主要考查學(xué)生對(duì)公式的熟練應(yīng)用和對(duì)幾何圖形基本性質(zhì)的理解.比如第5題中的離心率計(jì)算、第6題中的切線夾角計(jì)算，推理過(guò)程較為簡(jiǎn)單，重點(diǎn)是通過(guò)代數(shù)運(yùn)算得出正確答案.而2024年試題的推理水平則明顯提高，特別是在第11題和第16題中，問(wèn)題的推理層次和思維深度都較為復(fù)雜.例如，第11題的曲線問(wèn)題需要結(jié)合多個(gè)幾何知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理，涉及的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和單調(diào)性分析要求學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力.第16題則不僅需要計(jì)算橢圓的離心率，還要求學(xué)生運(yùn)用幾何對(duì)稱性和面積計(jì)算公式進(jìn)行綜合推理，推理過(guò)程涉及的知識(shí)點(diǎn)和技巧較為豐富.因此，2024年試題在推理層次和解題技巧的要求上明顯提升.

2.5 認(rèn)知水平對(duì)比分析

在認(rèn)知水平上，2023年和2024年試題的差異也較為顯著.2023年試題注重考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解與運(yùn)用，認(rèn)知要求主要集中在基本公式的掌握和簡(jiǎn)單的推理應(yīng)用上，題目設(shè)置較為直白，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)幾何圖形特性的理解與代數(shù)運(yùn)算能力.例如，第5題考查橢圓的離心率，第6題涉及直線與圓的切線關(guān)系，第16題考查雙曲線的性質(zhì)等，題目的認(rèn)知難度相對(duì)較低.

然而，2024年試題則更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生的綜合分析和深度思考能力，認(rèn)知水平的要求較高.例如，第11題涉及曲線形狀、位置關(guān)系等多方面的綜合分析，要求學(xué)生不僅能理解幾何圖形的性質(zhì)，還需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析等技巧進(jìn)行解題.第16題則結(jié)合了幾何對(duì)稱性和面積計(jì)算，不僅考查學(xué)生的基礎(chǔ)幾何能力，還需要學(xué)生有較強(qiáng)的推理與綜合應(yīng)用能力.總體來(lái)看，2024年試題對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平要求更高，旨在考查學(xué)生的綜合能力和對(duì)問(wèn)題的深度理解.

綜上所述：2023年和2024年新高考Ⅰ卷解析幾何試題在背景材料、知識(shí)含量、設(shè)問(wèn)方式、推理水平和認(rèn)知水平方面存在明顯差異.2023年試題主要側(cè)重基礎(chǔ)幾何知識(shí)的考查，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基本概念、公式和計(jì)算的掌握，推理過(guò)程較為直接，認(rèn)知水平要求相對(duì)較低.而2024年試題則更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生的綜合能力和深度思考，題目設(shè)計(jì)更加靈活多樣，推理層次較深，認(rèn)知要求較高，特別是在幾何圖形的建模、函數(shù)分析等方面的應(yīng)用上，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生綜合分析和推理能力的更高要求.整體來(lái)看，2024年試題的難度有所提升，更注重對(duì)學(xué)生綜合能力的全面考查.

3 教學(xué)啟示

基于上述分析，可以得出以下關(guān)鍵的教學(xué)啟示.首先，強(qiáng)調(diào)試題的知識(shí)深度和應(yīng)用能力，尤其是在解答解析幾何問(wèn)題時(shí)，學(xué)生不僅要掌握基礎(chǔ)的幾何定義和公式，還需具備靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)工具的能力.這意味著在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)著重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解，尤其是離心率、軌跡方程、“焦點(diǎn)定理”等核心概念的應(yīng)用能力.在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要求學(xué)生能夠在常見的幾何公式和定理框架下進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換，這不僅涉及代數(shù)運(yùn)算的精確性，也需要學(xué)生對(duì)幾何圖形的空間感知能力.因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)注重通過(guò)多樣化的練習(xí)和應(yīng)用問(wèn)題，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，提高學(xué)生在多維度問(wèn)題情境中的應(yīng)對(duì)能力.

其次，2023年與2024年試題在設(shè)問(wèn)方式和推理難度上有所提升，尤其是對(duì)學(xué)生高階思維能力的考查.不僅要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還需要學(xué)生具備較高的推理能力和綜合分析能力.這提示教師在教學(xué)中應(yīng)增加學(xué)生在復(fù)雜情境中的解題訓(xùn)練，逐步引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析題目中的多重條件，提出合理的解題策略.教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)更注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和問(wèn)題拆解能力，使學(xué)生能夠從多角度思考和分析問(wèn)題，提升綜合解決問(wèn)題的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]尹正波，文帥，徐鳳旺.基于綜合難度模型的高考數(shù)學(xué)試題分析——以2021～2023年新高考Ⅰ卷為例[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（6）：2731.