把握函數(shù)圖象對稱本質(zhì) 提高解題效率

摘 要：函數(shù)圖象的對稱性是函數(shù)的重要性質(zhì)，是理解函數(shù)知識的關(guān)鍵，也是理解和感悟數(shù)學(xué)“對稱美”的載體，更是數(shù)學(xué)美的具體表現(xiàn)形式.近幾年高考數(shù)學(xué)試題中經(jīng)常出現(xiàn)靈活性、創(chuàng)新性、綜合性、區(qū)分性極強的函數(shù)圖象對稱題，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力要求較高.文章以2024年全國新課標Ⅰ卷和Ⅱ卷的函數(shù)大題為切入點，總結(jié)函數(shù)圖象對稱性的有關(guān)結(jié)論，并強化其在解決函數(shù)問題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：函數(shù)圖象對稱性；解題方法；高考數(shù)學(xué)

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0091-04

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：王秋雨（2001.6—），女，江蘇省泰州人，碩士研究生，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的主線之一，是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和重點，在高中數(shù)學(xué)課程中占據(jù)中心地位，研究函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)情況對了解高中生數(shù)學(xué)的整體水平具有十分重要的意義.函數(shù)圖象的對稱性作為函數(shù)性質(zhì)的重要部分，是函數(shù)奇偶性的推廣.函數(shù)圖象的對稱性包括一個函數(shù)圖象的對稱性，也包括兩個函數(shù)圖象或多個函數(shù)圖象之間的對稱性.本文主要研究一個函數(shù)圖象的對稱性，包括軸對稱性和中心對稱性.研究函數(shù)圖象對稱性的本質(zhì)其實就是研究點的對稱，所以在求證函數(shù)圖象的對稱性時，可以通過描點畫出函數(shù)的圖象判斷是否是對稱圖形，也可以通過計算函數(shù)相關(guān)數(shù)值之間的關(guān)系判斷是否為對稱圖形.

1 真題呈現(xiàn)

例1 （2024年全國新課標Ⅰ卷第18題（2））已知函數(shù)f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3.

證明：曲線y=f（x）是中心對稱圖形.

分析 本題考查函數(shù)圖象的中心對稱性，求證本題的關(guān)鍵就是要抓住中心對稱圖形的概念，即圖象上任意一點都關(guān)于對稱中心有對應(yīng)的對稱點.又由于本題有定義域的限制，可先取定義域中間段上的函數(shù)點為特殊點.第一種解決方法是通過計算發(fā)現(xiàn)滿足中心對稱的定義，從而得證該曲線是中心對稱圖形，并且得到此特殊點就是對稱中心點；第二種解決方法是取函數(shù)上某些特殊點，計算它們函數(shù)值之間的關(guān)系進行求證.

解法1 f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3的定義域為（0，2），不妨取函數(shù)上的一點M，考慮到定義域的對稱性，令x=1，可得f（1）=a，點M的坐標為（1，a）.

設(shè)P（m，n）為y=f（x）圖象上任意一點，P（m，n）關(guān)于點M的對稱點為Q（2-m，2a-n），因為

P（m，n）在y=f（x）圖象上，所以m，n滿足函數(shù)y=f（x）代數(shù)式，即n=lnm2-m+am+b（m-1）3.

而f（2-m）=ln2-mm+a（2-m）+b（2-m-1）3=-［lnm2-m+am+b（m-1）3］+2a=2a-n，

所以Q（2-m，2a-n）也在y=f（x）圖象上.

由于點P的任意性，可知y=f（x）圖象上任意一點都關(guān)于點M（1，a）中心對稱，即可知曲線y=

f（x）是中心對稱圖形，且對稱中心為（1，a）.

解法2

f（x）+f（2-x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3+ln2-xx+a（2-x）+b（1-x）3=2a=2f（1），

且定義域也關(guān)于x=1對稱，因此y=f（x）是以

（1，a）為對稱點的中心對稱圖形.

例2 （2024年全國新課標Ⅱ卷第11題）設(shè)函數(shù)f（x）=2x3-3ax2+1，則（" ）.

A.當a＞1時，f（x）有三個零點

B.當a＜0時，x=0是f（x）的極大值點

C.存在a，b，使得x=b為曲線y=f（x）的對稱軸

D.存在a，使得點（1，f（1））為曲線y=f（x）的對稱中心

分析 本道題中C，D選項考查對函數(shù)圖象對稱性的研究，C選項考查函數(shù)圖象的軸對稱性，D選項考查函數(shù)圖象的中心對稱性，兩選項均可以通過求函數(shù)特殊點的函數(shù)值之間的關(guān)系求解正確結(jié)論.除此之外，由于本題中的函數(shù)是三次函數(shù)，也可以利用拐點結(jié)論解決D選項中函數(shù)圖象中心對稱性的問題.

解析 針對C選項：假設(shè)存在這樣的a，b，使得x=b為曲線y=f（x）的對稱軸，即存在這樣的a，b，使得f（x）=f（2b-x）.

即2x3-3ax2+1=2（2b-x）3-3a（2b-x）2+1.

由于此式子中有三次項，直接計算會加大學(xué)生的計算量，可通過二項式定理進行簡便求解.根據(jù)二項式結(jié)論，等式右邊（2b-x）3展開式含有x3的項為2C33（2b）0（-x）3=-2x3，可見等式左右兩邊x3的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的a，b，使得x=b為曲線y=f（x）的對稱軸，C選項錯誤.

針對D選項：

解法1 利用對稱中心的表達式化簡.

令x=1，可得f（1）=3-3a.

若存在這樣的a，使得（1，3-3a）為f（x）的對稱中心，則f（x）+f（2-x）=6-6a.

但事實上，f（x）+f（2-x）=2x3-3ax2+1+

2（2-x）3-3a（2-x）2+1=（12-6a）x2+（12a-24）x+18-12a，于是就有6-6a=（12-6a）x2+（12a-24）x+18-12a.

即12-6a=0，12a-24=0，18-12a=6-6a，解得a=2.

即存在a=2，使得（1，3-3a）為f（x）的對稱中心，D選項正確.

解法2 利用拐點定理求解.

任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導(dǎo)數(shù)的零點，對原式f（x）=2x3-3ax2+1進行求導(dǎo)得到，f ′（x）=6x2-6ax，f ″（x）=12x-6a.

由f ″（x）=0x=a2，于是該三次函數(shù)的對稱中心為（a2，f（a2））.

由題意（1，f（1））也是對稱中心，故a2=1a=2，即存在a=2，使得（1，3-3a）為f（x）的對稱中心，D選項正確.

2 關(guān)于函數(shù)圖象對稱性的相關(guān)結(jié)論

結(jié)論1 如果對于函數(shù)f（x），滿足對任意x∈A，都有f（a-x）=f（a+x），那么函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱；

如果對于函數(shù)f（x），滿足對任意x∈A，都有

f（a-x）=-f（a+x），那么函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a，0）中心對稱.

結(jié)論2 如果對于函數(shù)f（x），滿足對任意x∈A，都有f（x）=f（2a-x），那么函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱；如果對于函數(shù)f（x），滿足對任意x∈A，都有f（x）=-f（2a-x），那么函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a，0）中心對稱；

如果對于函數(shù)

f（x），滿足對任意x∈A，都有f（x）=-f（2a-x）+2f（a），那么函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a，f（a））中心對稱.

結(jié)論3 如果對于函數(shù)f（x），滿足對任意x∈A，都有f（a-x）=f（b+x），那么函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=a+b2對稱；

如果對于函數(shù)f（x），滿足對任意x∈A，都有f（a-x）=-f（b+x），那么函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a+b2，0）中心對稱；

如果對于函數(shù)

f（x），滿足對任意x∈A，都有f（a-x）=-f（b+x）+c，那么函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a+b2，c2）中心對稱[1].

結(jié)論4 定義在A上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f（x），滿足對任意x∈A，都有函數(shù)f（x）關(guān)于x=a軸對稱，則其導(dǎo)函數(shù)f ′（x）關(guān)于（a，0）中心對稱；

定義在A上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f（x），滿足對任意x∈A，都有函數(shù)f（x）關(guān)于（a，c）中心對稱，則其導(dǎo)函數(shù)f ′（x）關(guān)于x=a軸對稱.

結(jié)論5 若函數(shù)y=f（x）的圖象同時關(guān)于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個周期；

若函數(shù)y=f（x）的圖象同時關(guān)于x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且

2|a-b|是其一個周期；

若函數(shù)y=f（x）的圖象同時關(guān)于點A（a，c）成中心對稱和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個周期.

3 拓展應(yīng)用

例3 （2018年全國文科新課標Ⅲ卷第7題）下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=lnx的圖象關(guān)于直線x=1對稱的是（" ）.

A.y=ln（1-x）"" B.y=ln（2-x）

C.y=ln（1+x）D.y=ln（2+x）

分析 此題考查的是函數(shù)圖象的軸對稱性問題，第一種解決方法是利用函數(shù)圖象的平移和對稱變換求出結(jié)果；第二種解決方法是根據(jù)軸對稱性得到函數(shù)特殊點之間的關(guān)系，從而得到函數(shù)式之間的結(jié)論；第三種解決方法是根據(jù)函數(shù)圖象軸對稱的有關(guān)結(jié)論求解出函數(shù)值關(guān)系.

解法1 函數(shù)y=lnx關(guān)于直線x=1對稱的函數(shù)圖象可以通過兩步畫出，首先畫出函數(shù)y=lnx關(guān)于y軸對稱的圖象，再將圖象向右平移兩個單位即可得出.已知函數(shù)y=lnx的圖象與函數(shù)y=ln（-x）的圖象是關(guān)于y軸對稱，且所求函數(shù)的圖象需要與y=lnx的圖象關(guān)于x=1對稱，因此把函數(shù)y=ln（-x）的圖象向右平移兩個單位可得y=ln（2-x）的圖象，故選B.

解法2 設(shè)Q（x，y）是所求函數(shù)圖象上的任意一點，則關(guān)于直線x=1的對稱點P（2-x，y）在函數(shù)y=lnx上，將點代入函數(shù)即可得y=ln（2-x），所以選B.

解法3 利用結(jié)論2中的軸對稱結(jié)論：如果對于函數(shù)f（x），滿足對任意x∈A，都有f（x）=f（2a-x），那么函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱.從而有a=1，也就得到函數(shù)式之間的關(guān)系f（x）=f（2-x），即y=ln（2-x），故選B.

例4 （2021年全國新課標Ⅱ卷第8題）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x+2）為偶函數(shù)，f（2x+1）為奇函數(shù)，則（" ）.

A.f（-12）=0" B.f（-1）=0

C.f（2）=0D.f（4）=0

解析 由f（x+2）為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的定義可得f（2+x）=f（2-x）.

再由結(jié)論1可知函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=2軸對稱.

由f（2x+1）為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義可得f（2x+1）=-f（-2x+1）.

再由結(jié)論1可知函數(shù)f（x）關(guān)于點（1，0）中心對稱.

令x=0，可得f（1）=0.

由結(jié)論5可知，函數(shù)f（x）的周期T=4×|2-1|=4.

所以f（-1）=f（3）.

再根據(jù)函數(shù)的軸對稱性可得f（3）=f（1）.

從而有f（-1）=f（3）=f（1）=0.

故選B.

例5 （2022年全國新課標Ⅰ卷第12題）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的定義域為R，記g（x）=f ′（x），若f（32-2x），g（2+x）均為偶函數(shù)，則（" ）.

A.f（0）=0"""" B.g（-12）=0

C.f（-1）=f（4）D.g（-1）=g（2）

解析 因為f（32-2x），g（2+x）均為偶函數(shù)，

根據(jù)偶函數(shù)的定義可得

f（32-2x）=f（32+2x），g（2+x）=g（2-x）.

由結(jié)論1可知函數(shù)f（x），g（x）的圖象分別關(guān)于直線x=32，x=2對稱.

又g（x）=f ′（x），由結(jié)論4可知函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于（32，0）中心對稱.

故由結(jié)論5可知函數(shù)g（x）的周期

T=4×|32-2|=2.

由中心對稱性得f（-1）=f（4）.

由函數(shù)g（x）的周期性可得

g（-12）=g（32）=0，g（-1）=-g（2）.

故選B，C[2].

4 鞏固練習(xí)

練習(xí)1 （2021年全國高考理科數(shù)學(xué)甲卷第12題）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x+1）為奇函數(shù)，

f（x+2）為偶函數(shù)，當x∈［1，2］時，f（x）=ax2+b.若f（0）+f（3）=6，則f（92）=（" ）.

A.-94 B.-32 C.74 D.52

練習(xí)2 （2018年全國新課標Ⅱ卷第11題）已知f（x）是定義域為（-∞，+∞）的奇函數(shù)，滿足f（1-x）=f（1+x）.若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（" ）.

A.-50"" B.0"" C.2"" D.50

5 結(jié)束語學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識與學(xué)生頭腦中數(shù)學(xué)知識的生長、自身數(shù)學(xué)能力的發(fā)展以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成都有著密不可分的關(guān)系[3].在教學(xué)過程中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生掌握解決問題的方法，更要培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力.在《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》的命題原則中要求“應(yīng)包括開放性問題和探究性問題，重點考查學(xué)生的思維過程、實踐能力和創(chuàng)新意識”.所以，對于一些較為抽象、不易理解的知識點，教師應(yīng)該深挖數(shù)學(xué)內(nèi)涵，從本質(zhì)出發(fā)，講清知識來源，讓學(xué)生明白知識間緊密的關(guān)聯(lián)性，通過學(xué)生自己的理解轉(zhuǎn)化為知識結(jié)構(gòu)框架[4].這樣在具體的解題過程中，學(xué)生可以從題目的條件和求證結(jié)論入手，提取出相應(yīng)的知識點，利用大量的解題經(jīng)驗形成基本的解題思路，再配合相對應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)論進行求解，大大地提高了解題的質(zhì)量和效率[5].教師更要鼓勵學(xué)生嘗試一題多解，比如在本篇文章的例題中，除了可以通過計算特殊函數(shù)值之間的關(guān)系，還可以通過二項式定理或者拐點定理等去求解問題，從不同角度去探究數(shù)學(xué)的本質(zhì)，拓寬解題思路，實現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.

參考文獻：

［1］ 張俊.從函數(shù)的奇偶性到函數(shù)圖象的對稱性[J].新世紀智能，2023（77）：9-11.

［2］ 徐蘭，徐倩.抽像函數(shù)對稱性的高三復(fù)習(xí)教學(xué)建議[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2023（09）：13-16.

［3］ 袁濤，陸婭君，張和平.探求函數(shù)對稱性質(zhì) 厘清函數(shù)解題思路：由一道高考題引發(fā)的“函數(shù)對稱性問題”的思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2023（06）：78-80.

［4］ 龐敏，肖睿，陳維杰.追根溯源 把握本質(zhì)：再探函數(shù)的對稱性與周期性[J].高中數(shù)理化，2023（19）：19-22.

［5］ 徐小琴，肖涵臏.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)把握好的三個基本維度：以“函數(shù)的對稱性”的復(fù)習(xí)課為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2024（06）：11-14.

［責任編輯：李 璟］