探求解題策略 提升運(yùn)算素養(yǎng)

摘 要：在圓錐曲線教學(xué)中，引入多元解題策略可以激活學(xué)生思維，讓學(xué)生從多角度觀察問題，促進(jìn)深層知識的建構(gòu)，從而推動學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的提升.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題策略；運(yùn)算素養(yǎng)

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0055-03

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：張銀霞（1996.10—），女，四川省成都人，碩士，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

邵利，女，四川省成都人，副教授，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究.

圓錐曲線的運(yùn)算常給人一種復(fù)雜煩瑣的印象，使許多學(xué)生在面對此類問題時(shí)心生畏懼，不僅缺乏勇氣去嘗試計(jì)算，也未能掌握有效的運(yùn)算技巧和方法，導(dǎo)致計(jì)算過程常常中斷，從而影響了他們在圓錐曲線題目上的得分[1].因此，很有必要在日常訓(xùn)練中加強(qiáng)對圓錐曲線問題的解法歸類和深度反思，特別是在提升運(yùn)算素養(yǎng)方面，應(yīng)加大投入，因?yàn)檫@不僅是解答問題的基石，更是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展、培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范化解題思維的關(guān)鍵所在.

在此，本文以2024年全國甲卷的一道高考題為例，對其解法進(jìn)行探究，淺談圓錐曲線中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng).

1 題目呈現(xiàn)與評析

題目 設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（1，32）在C上，且MF⊥x軸.

（1）求C的方程；

（2）過P（4，0）的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，N為線段FP的中點(diǎn)，直線NB交直線MF于點(diǎn)Q，證明：AQ⊥y軸.

此題考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系的拓展，考查學(xué)生多思路分析、多角度求解問題的能力.第（1）問橢圓方程的解法比較常規(guī)，通過解方程組的方法可以解決，最終的答案為x24+y23=1.本文主要分析第（2）問.

2 解法探究

第（2）問的證明本質(zhì)上就是運(yùn)算問題，可以從韋達(dá)定理或三點(diǎn)共線切入，相同的切入點(diǎn)也可以有不同的解題策略，而運(yùn)算的難易程度與解題策略的選擇密切相關(guān).

切入點(diǎn)1 韋達(dá)定理.

算法1 設(shè)直線AB為x=my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線AB和橢圓C的方程得到x24+y23=1，x=my+4，消去變量x，得

（3m2+4）y2+24my+36=0.

再根據(jù)韋達(dá)定理，得

y1+y2=-24m3m2+4，y1y2=363m2+4.

設(shè)Q（1，yQ），由已知得到N（52，0）.

根據(jù)點(diǎn)斜式得到直線NB的方程

y=y2x2-5/2（x-52），

由此得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)

yQ=y2x2-5/2（1-52）=3y25-2x2.

要證AQ⊥y軸，只需要證明yQ=y1.

因?yàn)閥Q-y1=3y25-2x2-y1=3y25-2（my2+4）-y1=3y2+2my1y2+3y15-2（my2+4）=2my1y2+3（y1+y2）5-2（my2+4），

將韋達(dá)定理的結(jié)論代入上式，得

yQ-y1=72m/（3m2+4）-72m/（3m2+4）5-2（my2+4）=0.

所以得證.

點(diǎn)評 本解法屬于常規(guī)思路，先設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到一元二次方程，然后由韋達(dá)定理，證明點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)相等.以上過程都屬于通性通法，思路很自然，只不過對學(xué)生的計(jì)算能力要求比較髙.其中，直線方程的設(shè)法對后續(xù)運(yùn)算的影響很大，在處理橢圓問題時(shí)，要想更快地求得運(yùn)算結(jié)果，必須學(xué)會選擇最優(yōu)的運(yùn)算方法.而最優(yōu)解法的辨析離不開平時(shí)對多種解題策略的歸納及深度思考.

算法2 依據(jù)算法1的韋達(dá)定理的結(jié)論，過點(diǎn)A作AQ′⊥MF于點(diǎn)Q′，下面證明點(diǎn)Q′在直線NB上，即證明kNQ′=kNB.

由已知得N（52，0），根據(jù)AQ′⊥MF可以得到點(diǎn)Q′（1，y1）.

所以kNQ′-kNB=y1-01-5/2-y2-0x2-5/2

=-23y1-

y2x2-

5/2

=-2my1y2/3-（y1+y2）x2-5/2.

將韋達(dá)定理的結(jié)論代入上式，得

kNQ′-kNB=-（2m/3）［36/（3m2+4）］+24m/（3m2+4）x2-5/2=0.

根據(jù)同一性可知點(diǎn)Q與Q′重合，所以AQ⊥y軸.

點(diǎn)評 本解法沒有直接算出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，而是采用間接證法，使得整個(gè)運(yùn)算量變小，正確率相應(yīng)提高.該法并不是直接解題，而是借助過渡工具，因此學(xué)生難以想到.雖然這種方法在解題過程中顯得不那么直觀，但它所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維方法和技巧卻對學(xué)生有著深遠(yuǎn)的影響.只有在選擇和比較方法的過程中不斷地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，才能養(yǎng)成更全面、深刻的思考習(xí)慣，進(jìn)而在新情境中采取新對策，提高分析和獨(dú)立解決問題的能力，最終促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

切入點(diǎn)2 A，B，P三點(diǎn)共線.

算法3 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓C的方程，得

3x21+4y21=12，①

3x22+4y22=12.②

設(shè)AP=λPB，則4-x1=λx2-4λ，-y1=λy2.

由①-②×λ2，得

3x21-3（λx2）2+4y21-4（λy2）2=12-12λ2.

將其化簡后，得

3（x1-λx2）（x1+λx2）（1+λ）（1-λ）+4（y1-λy2）（y1+λy2）（1+λ）（1-λ）=12.

再把4-x1=λx2-4λ，-y1=λy2代入上式，得

5λ-2λx2+3=0.③

將③代入yQ，得

yQ=3y25-2x2=3λy25λ-2λx2=y1.

算法4 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓C的方程，得

3x21+4y21=12，①

3x22+4y22=12.②

由A，B，P三點(diǎn)共線可知y1x1-4=y2x2-4.

即x1y2-x2y1=4（y2-y1）.④

所以將①②代入，得

（x1y2-x2y1）（x1y2+x2y1）

=x21y22-x22y21

=（4+4y213）y22-（4+4y223）y21

=4（y2+y1）（y2-y1）.

把④代入可得

2x2y1+3y2-5y1=0.⑤

將⑤代入yQ，得

yQ=3y25-2x2=3y1y25y1-2y1x2=y1.

點(diǎn)評 算法3利用向量的方法描述共線關(guān)系，這種方式直觀且易于學(xué)生理解，但實(shí)際操作中涉及的計(jì)算步驟相對煩瑣，容易使學(xué)生陷入冗長的計(jì)算之中.相比之下，算法4選擇了斜率這一視角，簡潔明了地表達(dá)了共線的數(shù)學(xué)條件，盡管計(jì)算過程更為簡便，卻鮮有學(xué)生主動采用這一思路，這背后反映出的是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的把握不夠深入，導(dǎo)致在解題時(shí)難以靈活運(yùn)用所學(xué)知識.

數(shù)學(xué)思維的提升，并不僅僅在于掌握解題技巧，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生從不同角度審視問題、在不同層次上進(jìn)行深度思考的能力[2].當(dāng)面對新的數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠迅速識別問題的本質(zhì)，依據(jù)新的條件選擇最合適的解題方法，并探索出解決問題的最優(yōu)方案.而要達(dá)到這一境界，學(xué)生不僅需要有完整的數(shù)學(xué)知識體系作為基礎(chǔ)，更需要深入理解每個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，掌握其背后的邏輯和規(guī)律.只有這樣，學(xué)生才能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上不斷前行，提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力.

3 結(jié)束語

眾所周知，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的一項(xiàng)核心素養(yǎng)，它的提升需要教師的指導(dǎo)和學(xué)生的主動參與.從教師的角度來說，在解析幾何的教學(xué)中，教師應(yīng)注重與學(xué)生共同深入剖析題目，探求多樣化的解題策略，并細(xì)致探討其運(yùn)算量.其中包括理解運(yùn)算路徑的設(shè)計(jì)、節(jié)點(diǎn)的把握以及過程的監(jiān)控等核心要素.教師需清晰闡述每一步運(yùn)算的邏輯，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算中的關(guān)鍵細(xì)節(jié)，并教授學(xué)生有效的代數(shù)變換方法和實(shí)用的運(yùn)算技巧.這樣的教學(xué)方式旨在讓學(xué)生理解運(yùn)算的動機(jī)，分析各種解法的利弊，以及運(yùn)算的復(fù)雜程度，從而培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算思維和成就感，最終提升他們的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).從學(xué)生的角度來說，面對同一題目的不同解法，應(yīng)該學(xué)會主動思考，比較各種解法的運(yùn)算成本，以及各自的關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，然后通過不斷實(shí)踐、優(yōu)化和反思，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 姬彩生.高考數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧研究[J].數(shù)理化解題研究，2022（10）：18-20.

［2］ 王昌林，紀(jì)定春.對2021年高考數(shù)學(xué)甲卷圓錐曲線壓軸題的探究[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2021（10）：40-44.

［責(zé)任編輯：李 璟］