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    一元一次方程在解實際問題中的應用

    2024-06-15 16:35:36王明強
    數(shù)理天地(初中版) 2024年11期
    關鍵詞:一元一次方程解題技巧初中數(shù)學

    王明強

    【摘要】列一元一次方程解應用題是初中代數(shù)的重要問題,通過建立一元一次方程,可以利用數(shù)學方法解決各種實際問題,如行程與工程問題、銷售與儲蓄問題等,涉及時間與距離的關系、售價與利潤的關系等.然后通過代數(shù)的運算和方程的變形,求解未知數(shù)的值,從而得出實際問題的答案.本文分析一元一次方程在解實際問題中的應用,并舉例解析,以期幫助學生對利用一元一次方程解決實際問題有更全面的掌握.

    【關鍵詞】一元一次方程;初中數(shù)學;解題技巧

    1 行程(工程)問題

    解決有關行程(工程)的問題,通常利用圖示法表示題目中各量之間的關系.將題目已知量和待求未知量標在圖上,以揭示潛在的條件,使問題更加清晰明了,然后列出方程解決問題.

    以行程問題為例,其基本關系為“路程=速度×時間”,常用等量關系為:(1)相遇問題,快車行駛路程+慢車行駛路程=原距離;(2)追及問題,快車行駛路程-慢車行駛路程=原距離;(3)航行問題,順水速度=靜水速度+水流速度;逆水速度=靜水速度-水流速度.

    例1 小明和小紅兩人的家相距2200m,星期天兩人相約見面然后一起去市圖書館,已知小明每分鐘走70m,小紅每分鐘走60m,小紅從家里出發(fā)2min后小明也從家里出發(fā)了,請問小明出發(fā)多久后兩人相遇?

    思路分析 小明、小紅兩人的相遇情況如圖1所示.

    解 設小明出發(fā)x分鐘后兩人相遇,

    根據題意有70x+60(x+2)=2200,

    化簡得130x=2080,

    解得x=16.即小明出發(fā)16分鐘后兩人相遇.

    點評 行程問題在各種題型中都有涉及,且難度差別較大,這是因為行程問題涉及起點、終點、方向及交通方式等多個條件,任何條件的改變都有可能造成解題方法的不同.行程問題中最基本的等量關系是“路程=速度×時間”,需要熟練掌握并靈活應用.

    2 配套問題

    如果一個物件由A,B兩種零件構成,用m個A種零件和n個B種零件構成該物件,求如何安排生產零件的工人,才能使所生產的全部零件都能配套成整物件,這類問題就是配套問題,常用的等量關系為:A產品的數(shù)量×n=B產品的數(shù)量×m.

    例2 某家具廠新進5立方米木料,準備制作一批桌椅,已知1張桌子配4把椅子,1立方米的木料可制作5張桌子,或制作30把椅子,現(xiàn)要使制作出的桌子、椅子恰好配套,請問制作桌子和椅子的木料應分別為多少?

    解 設用x立方米的木料制作桌子,則剩下(5-x)立方米的木料制作椅子,則可以制作5x張桌子,30(5-x)把椅子,要使制作出的桌子、椅子恰好配套,必須有使得“椅子數(shù)=4×桌子數(shù)”,

    所以30(5-x)=4×5x,解得x=3,

    則5-x=5-3=2.故制作桌子的木料為3立方米,制作椅子的木料為2立方米.

    點評 配套問題常見的是“1∶n”型,即1個甲種零件和n個乙種零件配成一個物件,但也有“n∶m”型(n,m均不為1),后者在尋找相等關系、列方程時更容易出錯,需要更加謹慎.

    3 銷售問題

    銷售問題就是銷售中的利潤問題、打折問題,一般涉及進價、原價、售價、利潤、利潤率等基本量及其關系.銷售問題的基本關系:利潤=售價-進價(成本價),利潤率=利潤÷進價×100%;常用等量關系:利潤或利潤率與其他量之間的關系.

    例3 某服裝店為了減少庫存積壓,將兩款不同型號的夾克上衣以120元/件的價格進行出售,其中一件虧損20%,另一件盈利20%,請問這種售賣方式服裝店是盈利還是虧損?請求出盈利或者虧損額.

    解 設盈利20%的那件衣服的進價為x元,則利潤是20%x元,根據進價與利潤的關系,列方程得x+20%x=120,解得x=100.

    設虧損20%的那件衣服的進價為y元,則虧損20%y元,列方程得y-20%y=120,解得y=150,

    則兩件衣服的利潤為120+120-100-150=-10(元).

    故這種售賣方式服裝店虧損了,虧損了10元.

    點評 要判斷盈虧,需計算實際售價與進價的差,若差為正數(shù),則盈利;若差為負數(shù),則虧損.另外利潤問題中有些數(shù)量關系比較隱蔽,在掌握其基本等量關系的基礎上,要深層挖掘題目中能反映問題總體意義的等量關系,據此列出方程.

    4 儲蓄問題

    解答儲蓄方面的實際問題時,首先要弄清本金、利息、本息和、期數(shù)和利率的概念.其基本關系為:利率=利息÷本金,利息=本金×利率×期數(shù),這是解決儲蓄問題常用的等量關系.

    例4 小張同時儲蓄了兩筆錢,第一筆錢的年利率為3.7%,第二筆錢的年利率為2.25%,一年后共得到15.6元的利息,兩筆錢的總額為500元,請問小張的這兩筆錢數(shù)分別是多少?

    解 設以第一筆儲蓄的錢數(shù)為x元,則第二筆儲蓄的錢數(shù)為(500-x)元,

    根據題意有3.7%x+2.25%(500-x)=15.6,解得x=300,

    則500-x=500-300=200.

    所以小張以這兩種形式儲蓄的錢數(shù)分別為300元和200元.

    5 比賽積分問題

    比賽分為單循環(huán)賽制(參加比賽的隊每兩隊之間只進行一場比賽)和雙循環(huán)賽制(參加比賽的隊每兩隊之間只進行兩場比賽),一般都會規(guī)定勝、負、平一場各積幾分.比賽中的積分問題常用等量關系為:比賽總場數(shù)=勝場總數(shù)+平場總數(shù)+負場總數(shù);比賽總積分=勝場總積分+平場總積分+負場總積分.

    例5 某縣城舉辦中學生足球比賽,共賽8輪,每隊均需賽8場,勝一場得3分,平一場得1分,負一場得0分,已知在這次足球比賽中,實驗中學隊最后得17分,其中打平的場數(shù)是負場數(shù)的2倍,請問實驗中學隊勝了幾場?

    解 設負的場數(shù)為x,則打平的場數(shù)為2x,

    則勝的場數(shù)為8-x-2x,

    由題意得3(8-x-2x)+2x=17,

    解得x=1,

    所以8-x-2x=5.故該隊勝了5場.

    點評 涉及比賽的關鍵詞有比賽場數(shù)、勝場數(shù)、平場數(shù)、負場數(shù)、勝場積分、平場積分、負場積分、總積分等,根據積分規(guī)則,運用正確等量關系式即可解答問題.

    6 等積變形問題

    解決等積變形問題解的關鍵是準確牢記體積面積、周長公式.抓住兩個等量關系:①形變體積不變;②有時形變引起體積變化,但質量不變.常用公式:長方體體積=長×寬×高;圓柱體體積=πr2h(h為高,r為底面圓半徑).

    例6 桌面上有A,B兩圓柱形的水杯,水杯A的底面積為80cm2,水杯B的底面積為100cm2,已知水杯B是空的,水杯A裝滿了水,若將水杯A中的水全部倒入水杯B中,則水杯B中的水位高度比原先水杯A的水位高度低了8cm,求水杯A的容積.

    解 設水杯A的高度為xcm,則水杯B中水位高度為(x-8)cm,根據兩水杯中水的體積不變可得80x=100(x-8),解得x=40.故水杯A的容積為80×40=3200,即3200cm3.

    7 結語

    一元一次方程是代數(shù)學中的基本概念,在解決實際問題時具有重要的應用價值.列一元一次方程解實際問題的關鍵是設出合適的未知數(shù),找準等量關系,如果問題中的等量關系不明顯,無法直接得出時,則需要借助一些特殊的方法將等量關系顯現(xiàn)出來,如列表法、圖解法等.掌握一元一次方程的解法對于解決實際問題具有重要意義.

    參考文獻:

    [1]余臻秀.初中數(shù)學一元一次方程之行程問題教學例談[J].基礎教育論壇,2023(18):81-83.

    [2]王博睿.培養(yǎng)初中生模型觀念的教學研究[D].北京:中央民族大學,2023.

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