例談一元一次方程應(yīng)用題的解題技巧

謝雄鳳

摘 要：方程是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，一元一次方程應(yīng)用題就是運(yùn)用方程知識(shí)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，主要考查學(xué)生的實(shí)際運(yùn)用能力。在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，很多學(xué)生對(duì)這種類型題目的解題技巧掌握不好，以至于在做題過(guò)程中常出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要“授之漁”，多為學(xué)生傳授一些解答這種題型的方法技巧，為提升學(xué)生的做題效率和準(zhǔn)確率奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：一元一次方程；應(yīng)用題；等量關(guān)系

一元一次方程應(yīng)用題是建模思想的具體運(yùn)用，就是把應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系建立成方程模型，運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)解答這種類型的題目有助于培養(yǎng)自身的綜合運(yùn)用能力。由于受列式計(jì)算的影響，很多學(xué)生缺乏建模觀念，面對(duì)實(shí)際問(wèn)題感覺(jué)無(wú)從下手，不能靈活運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題。教師在實(shí)際教學(xué)中要為學(xué)生灌輸建模思想，并積極傳授一些方法和技巧，不斷提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。本文結(jié)合筆者多年教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和具體教學(xué)實(shí)例，簡(jiǎn)要闡述了解決一元一次方程應(yīng)用題的方法技巧。

一、仔細(xì)審題，找出關(guān)鍵

審題是解決問(wèn)題的前提，在解答一元一次方程應(yīng)用題時(shí)，有很多學(xué)生在審題時(shí)不能夠深入題目，對(duì)題目?jī)?nèi)容理解得模棱兩可或者不到位，找不到解決問(wèn)題的關(guān)鍵，這種不夠深的審題導(dǎo)致很多學(xué)生無(wú)法找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，常常會(huì)使問(wèn)題陷入僵局，究其原因，是因?yàn)閷W(xué)生在解答這種類型的題目時(shí)缺乏必要的審題方法與技巧，從而影響到學(xué)生的審題效果，導(dǎo)致學(xué)生在做題時(shí)出現(xiàn)不應(yīng)有的失誤。因此，在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，教師必須給學(xué)生傳授一些審題方面的技巧，讓學(xué)生明白審題并不是單純意義上的閱讀，而是要通過(guò)閱讀找到題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵句，只有抓住這些關(guān)鍵之處，才能為順利解決問(wèn)題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

如，“假期到了，小華和表哥小明約好去騎車旅行，他們計(jì)劃各自從自己的家出發(fā)碰面，已知小明騎車的速度是每小時(shí)50公里，小華騎車的速度是每小時(shí)40公里，并且兩家在相距150公里的直線上。如果兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，則經(jīng)過(guò)多少小時(shí)兩人車相距30公里？”這是一道非常普通的行程類應(yīng)用題，學(xué)生在閱讀時(shí)對(duì)于題目中的數(shù)量非常容易理解，也不會(huì)混淆，但是在實(shí)際解決問(wèn)題時(shí)仍然有些學(xué)生出現(xiàn)了錯(cuò)誤，通過(guò)對(duì)學(xué)生的錯(cuò)因分析，主要是因?yàn)閷W(xué)生審題不夠仔細(xì)，沒(méi)有正確理解題目中的關(guān)鍵詞“相距”，這種由于審題不清造成的錯(cuò)誤實(shí)際上是可以避免的。通過(guò)閱讀分析，教師要引導(dǎo)學(xué)生找出此題中的關(guān)鍵詞句應(yīng)是“兩人相距30公里”，很多學(xué)生理解為“兩人還差30公里就要相遇”，但是在實(shí)際運(yùn)用中“兩人相距30公里”包括“兩人相遇前的相距”和“兩人相遇后的相距”兩種情況，本題到底是哪種形式的相距，很多學(xué)生搞不清，這時(shí)教師可以畫出兩車的運(yùn)行圖，讓學(xué)生結(jié)合運(yùn)行圖理解和分析，很容易就會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩種情況都成立，從而順利解決問(wèn)題。

二、按照需要，靈活設(shè)元

應(yīng)用題是讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活中的一些問(wèn)題，在這種類型的題目中蘊(yùn)含著許多錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系， 如何將這些錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)量表示出來(lái)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，而要具體表示這些數(shù)量，往往需要根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)，也就是設(shè)元。而設(shè)元也有一定的技巧，設(shè)元并不僅僅是問(wèn)什么設(shè)什么，問(wèn)什么設(shè)什么僅僅是設(shè)元的一種，除了這種直接設(shè)元的方法外，還有間接設(shè)元的方法，多設(shè)元少設(shè)元等方法，這些方法需要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際靈活選擇，如果我們讓學(xué)生掌握設(shè)元的方法和技巧，就能夠使問(wèn)題的解決事半功倍。但是正確選擇合適的設(shè)元方法解決一元一次方程實(shí)際問(wèn)題對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)有一定的難度，這就需要我們教師在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)教會(huì)學(xué)生正確靈活地設(shè)元。

如，“小明在指導(dǎo)弟弟做作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)有趣的兩位數(shù)，這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的4倍相等，如果他將這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位與十位上的數(shù)字對(duì)換位置，則對(duì)換后的兩位數(shù)要比原來(lái)的兩位數(shù)大54，這個(gè)兩位數(shù)是多少？”對(duì)于這一問(wèn)題如果學(xué)生不仔細(xì)地分析，直接設(shè)原兩位數(shù)是x，這必定會(huì)使問(wèn)題的解決陷入困境，這時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析個(gè)位和十位之間有什么關(guān)系，學(xué)生通過(guò)認(rèn)真分析發(fā)現(xiàn)組成這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位和十位上的數(shù)字之間為4倍關(guān)系，可設(shè)十位上的數(shù)字為x，從而根據(jù)題意很容易就能知道個(gè)位數(shù)字為4x，可以用含有x的式子表示出這個(gè)兩位數(shù)為10x+4x=14x，而新的兩位數(shù)可以表示為：40x+x=41x，再根據(jù)題目中給出的關(guān)系列出方程：41x-14x=54，這樣就可以比較容易地解決問(wèn)題。由此可見(jiàn)，設(shè)元對(duì)于列方程解應(yīng)用題至關(guān)重要，只有合理地設(shè)元，才能為后面順利解決問(wèn)題提供便利。

三、加強(qiáng)訓(xùn)練，構(gòu)建代數(shù)式

將題目中的未知數(shù)量通過(guò)代數(shù)式的形式表示是審題和正確設(shè)元之后的重要環(huán)節(jié)，也是列方程的關(guān)鍵步驟，只有熟練地構(gòu)建代數(shù)式才能合理地列出方程。但是有很多學(xué)生缺乏這方面的能力，從而導(dǎo)致無(wú)法列方程解應(yīng)用題，這就需要教師在教學(xué)時(shí)對(duì)列代數(shù)式的內(nèi)容加強(qiáng)訓(xùn)練，首先，可以訓(xùn)練學(xué)生對(duì)只含有一次結(jié)果的普通數(shù)學(xué)語(yǔ)言和代數(shù)式之間的直譯，通過(guò)這樣的訓(xùn)練為列方程掃除障礙，打下基礎(chǔ)；其次，可以讓學(xué)生嘗試設(shè)未知數(shù)，并用含未知數(shù)的式子表示另一個(gè)數(shù)，初步感知列代數(shù)式的方法和技巧；最后，通過(guò)具體的應(yīng)用題讓學(xué)生設(shè)未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式表述多個(gè)復(fù)雜的量，體會(huì)特殊到一般、實(shí)際到抽象的過(guò)程。

如，“小花家現(xiàn)有60米長(zhǎng)的護(hù)欄，打算要用它圍一塊長(zhǎng)方形的雞圈，根據(jù)地塊的實(shí)際，需要圍成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)要比寬的2倍少3米，你能幫助她求出這個(gè)雞圈的面積嗎？”學(xué)生要想利用列方程解決好這一問(wèn)題，必須首先設(shè)出未知數(shù)，將題目中涉及的數(shù)量用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，通過(guò)對(duì)題目分析可以發(fā)現(xiàn)要想求長(zhǎng)方形的面積，必須知道長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，因此，可以先讓學(xué)生設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x米，根據(jù)護(hù)欄總長(zhǎng)60米，可以用含有x的代數(shù)式表示出長(zhǎng)方形的寬為30-x米，再根據(jù)長(zhǎng)比寬的2倍少3米可以列出長(zhǎng)的另一種代數(shù)式為[2（30-x）-3]米，從而列出一元一次方程[2（30-x）-3]=x，這樣就可以使應(yīng)用題迎刃而解。由此可見(jiàn)，列代數(shù)式是用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵，教師必須加強(qiáng)學(xué)生這方面的能力培養(yǎng)，只有這樣，才能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易，順利解決問(wèn)題的目標(biāo)。

四、深入分析，找等量關(guān)系

探求數(shù)量之間的關(guān)系是列方程解決實(shí)際問(wèn)題的突破點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)，這需要教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行合理的方法指導(dǎo)，讓他們學(xué)會(huì)在題目中準(zhǔn)確地找出等量關(guān)系。首先，要讓學(xué)生明確數(shù)量關(guān)系是蘊(yùn)含在題目的一些句子或公式之中的，數(shù)量關(guān)系的個(gè)數(shù)可能只有一個(gè)，也可能有幾個(gè)；其次，要教會(huì)學(xué)生利用應(yīng)用題中的關(guān)鍵性語(yǔ)句找等量關(guān)系的方法，教師可以結(jié)合具體的例題，通過(guò)一步步的演示，讓學(xué)生掌握在各種不同類應(yīng)用題中快速準(zhǔn)確地找等量關(guān)系的方法；最后，學(xué)生根據(jù)在題目中找到的等量關(guān)系列出方程，從而完美地解決一元一次方程應(yīng)用題。

如“有人要從陽(yáng)朔坐船到桂林去旅游，去時(shí)逆水用了3小時(shí)，來(lái)時(shí)順?biāo)昧?小時(shí)，假如來(lái)去水流的速度都是3千米/時(shí)，你能求出陽(yáng)朔距離桂林有多遠(yuǎn)嗎？”此題中的等量關(guān)系不明確，通過(guò)仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)這之間的距離是一個(gè)不變量，順?biāo)湍嫠旭偟臅r(shí)間又知道，只需知道順?biāo)湍嫠乃俣燃纯?，而題目中已給出水流速度3千米/時(shí)，根據(jù)以前學(xué)習(xí)過(guò)的水流速度、逆水速度和順?biāo)俣热咧g的關(guān)系，則可以得出順?biāo)俣葹椋▁+3）千米/時(shí)，逆水速度為（x-3）千米/時(shí)，最后根據(jù)公式：路程=速度×?xí)r間，兩碼頭之間的距離可表示為2（x+3），也表示為3（x-3），從而列出方程2（x+3）= 3（x-3），使此題得到圓滿解答。

總之，一元一次方程應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的綜合運(yùn)用能力具有重要意義。教師要注重解題技巧的指導(dǎo)，讓學(xué)生全面地掌握解答一元一次應(yīng)用題的具體方法，從而不斷提升做題的效率，讓這種類型的題目不再成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“攔路虎”。

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