數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧

張鳳鮮

【摘要】初中數(shù)學(xué)以研究問題的數(shù)量關(guān)系與空間形式為主，重視發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維.指導(dǎo)學(xué)生明確“數(shù)”與“形”的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，使學(xué)生學(xué)會用“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”等技巧解決數(shù)學(xué)問題，可提高學(xué)生的問題分析、求解能力，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展.文章展開論述了數(shù)形結(jié)合法的內(nèi)涵及應(yīng)用意義，探討了數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用策略，在具體解題過程中的應(yīng)用技巧，旨在開闊學(xué)生學(xué)習(xí)視野，提高初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合法；初中數(shù)學(xué)；解題；應(yīng)用技巧

引 言

數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要構(gòu)成，對于鞏固學(xué)生基礎(chǔ)知識，鍛煉學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、建模應(yīng)用能力有積極意義.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出“避免死記硬背、機(jī)械刷題”，倡導(dǎo)教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律探索數(shù)學(xué)問題的解題技巧，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.數(shù)形結(jié)合法巧妙地將代數(shù)、幾何解題方法融合在一起，通過“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”等方式將復(fù)雜數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為可直觀分析、精準(zhǔn)計算的數(shù)學(xué)問題，從而幫助學(xué)生快速解題.新課標(biāo)背景下，教師有必要探索數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧，并指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，在提高學(xué)生解題能力的同時發(fā)展其數(shù)學(xué)思維.

一、數(shù)形結(jié)合法概述

（一）數(shù)形結(jié)合法的含義

數(shù)形結(jié)合法以“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系為依據(jù)，通過轉(zhuǎn)化問題形式達(dá)到解決問題的目的，是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法.數(shù)形結(jié)合法通過“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”的方式簡化問題，使抽象、復(fù)雜的難題變得簡單、直觀，以便于幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，體會數(shù)學(xué)解題的規(guī)律性與靈活性.數(shù)形結(jié)合法一般被用于解決數(shù)學(xué)問題，通過將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形有機(jī)結(jié)合起來，使學(xué)生的抽象思維與形象思維達(dá)到和諧統(tǒng)一的狀態(tài)，從而提高學(xué)生對規(guī)范圖形、代數(shù)式的觀察分析能力，幫助學(xué)生順利解決問題.實際解題中，數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用大致可分為兩種情形：第一，借助幾何圖形的直觀特征闡明數(shù)之間的關(guān)系，達(dá)到解題目的.比如，應(yīng)用函數(shù)圖像直觀說明函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)的最大值、最小值等.第二，借助數(shù)字、公式的精確性與嚴(yán)密性闡述幾何圖形的某些屬性.比如，借助勾股定理公式闡釋直角三角形的三邊關(guān)系等.

（二）數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用價值

首先，有利于提高學(xué)生理解水平.初中數(shù)學(xué)理論教學(xué)內(nèi)容具有抽象性.學(xué)生只有經(jīng)歷數(shù)學(xué)理論的形成過程，才能領(lǐng)會其內(nèi)涵，同時將數(shù)學(xué)理論合理應(yīng)用到數(shù)學(xué)問題解答過程中.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，教師可以指導(dǎo)學(xué)生在直觀觀察圖形、推理數(shù)學(xué)公式的過程中總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，抽象數(shù)學(xué)原理，提高學(xué)生的理論理解水平.比如，在勾股定理部分的教學(xué)中，教師通過出示“畢達(dá)哥拉斯家的地磚圖形”指導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)公式表示直角三角形三邊平方的關(guān)系，使學(xué)生在“以數(shù)解形”的過程中探究數(shù)學(xué)原理，提高學(xué)生對相關(guān)知識的理解水平.

其次，有利于提升學(xué)生解題能力.數(shù)形結(jié)合法可實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的靈活互化，避免學(xué)生從單一角度出發(fā)解決問題，豐富學(xué)生的解決問題途徑.比如，解決比較兩個一次函數(shù)中y值大小的問題時，教師可指導(dǎo)學(xué)生將兩個一次函數(shù)的解析式代入數(shù)值，運算后求值、比較大小；教師還可以指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用描點法畫出兩個一次函數(shù)的圖像，通過觀察圖像比較y的大小.

二、數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用策略

數(shù)形結(jié)合法主張“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”的思想分析問題、解決問題，是一種直觀觀察與抽象分析并重的解題方法.要在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用該方法解決復(fù)雜問題，就要培養(yǎng)學(xué)生良好的解題思維.初中學(xué)生思維發(fā)展具有遞進(jìn)特征，教師應(yīng)當(dāng)按照其思維發(fā)展特征組織直觀演繹教學(xué)、合作討論教學(xué)、練習(xí)應(yīng)用教學(xué)等多種教學(xué)活動，由此逐步激發(fā)其抽象意識，培養(yǎng)其邏輯思維，提升其解題能力.下面，文章將結(jié)合人教版初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)案例，說明數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用策略.

（一）直觀演繹，激發(fā)數(shù)形結(jié)合意識

數(shù)形結(jié)合法具有應(yīng)用直觀幾何圖形、位置關(guān)系表達(dá)抽象數(shù)量關(guān)系的特點.根據(jù)該特點，教師可以在解題教學(xué)中組織演繹教學(xué)活動，使學(xué)生認(rèn)識到此方法的簡便性，激發(fā)學(xué)生“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”的解題意識.

（二）組織討論，發(fā)散數(shù)形結(jié)合思維

注入式教學(xué)會限制學(xué)生的思維，造成其無效學(xué)習(xí).要在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中有效發(fā)揮數(shù)形結(jié)合法的育人作用，需要教師應(yīng)用生本教學(xué)方法代替注入式教學(xué)方法，由此發(fā)散學(xué)生思維，促進(jìn)其有效學(xué)習(xí).為此，教師可以在解題教學(xué)中組織討論活動，通過師生討論、生生討論激活學(xué)生的具象思維、抽象思維，同時引導(dǎo)學(xué)生從不同角度出發(fā)分析數(shù)學(xué)問題，久而久之可提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維水平.

以人教版八年級數(shù)學(xué)下冊“勾股定理”一課的解題教學(xué)為例，教師可以出示問題，并組織學(xué)生討論：

例2 如圖2所示，已知：在△ABC中，∠B=60°，AC=70，AB=30，求BC的長.

圍繞此例題，教師可先提出問題驅(qū)動學(xué)生思考直角三角形的構(gòu)造，之后通過組織學(xué)生合作討論發(fā)散學(xué)生的抽象思維、聯(lián)想思維，使學(xué)生聯(lián)系勾股定理的代數(shù)、幾何知識構(gòu)造直角三角形（見圖3），在討論中求出BC的長.

這樣，通過組織討論發(fā)散學(xué)生的邏輯、抽象、幾何直觀思維，使其在討論中形成繪圖構(gòu)造數(shù)學(xué)模型、代入數(shù)值解決幾何問題的數(shù)形結(jié)合思維.

（三）練習(xí)應(yīng)用，鍛煉數(shù)形結(jié)合能力

“實踐出真知.”在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中組織課內(nèi)練習(xí)、課外練習(xí)等多種練習(xí)活動，可為學(xué)生提供更多實踐機(jī)會，確保學(xué)生在實踐中感悟數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用優(yōu)勢，同時總結(jié)其應(yīng)用技巧.實際教學(xué)中，教師可以先組織學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解答典型數(shù)學(xué)問題，再組織其解答變式問題，讓其在應(yīng)用此方法解答多種類型數(shù)學(xué)題的過程中積累更多解題經(jīng)驗，從而提升數(shù)形結(jié)合能力.

這樣，通過組織學(xué)生依次應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解答典型例題、拓展例題鞏固學(xué)生解題學(xué)習(xí)成果，同時鍛煉學(xué)生舉一反三的遷移思維，確保學(xué)生形成應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解決初中數(shù)學(xué)難題的關(guān)鍵能力.

三、數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧

數(shù)形結(jié)合法可被用于代數(shù)問題、幾何問題、統(tǒng)計問題等的解題過程中，通過“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”的方式化簡問題，求得答案.下面，文章將結(jié)合具體例題，分析數(shù)形結(jié)合法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧，以供參考.

（一）解代數(shù)問題的應(yīng)用技巧

解題過程 分別求出兩個不等式的解：x-1<0，解得x<1；x+1>0，解得x>-1.使用數(shù)軸畫出兩個解（如圖5所示），確定兩個不等式解的集合，得到答案：-1

技巧分析 此問題以不等式組的解集為考點，可運用不等式組解集口訣“同大取大，同小取小，大大小小中間找，小小大大找不到”解決.考慮到一些學(xué)生記憶力不佳，存在漏記、錯記問題，可應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，將不等式組內(nèi)各不等式的解在數(shù)軸上表示出來，確定不等式解的交集部分，從而得到問題答案.

（二）解幾何問題的應(yīng)用技巧

例5 如圖6所示，在Rt△ABC的直角頂點A在直線a上，斜邊BC在直線b上，若a∥b，∠1=55°，則∠2=（ ）.

A.55° B.45° C.35° D.25°

解題過程 根據(jù)已知信息，聯(lián)想平行線的性質(zhì)與直角三角形內(nèi)銳角互余的知識點，觀察圖形，進(jìn)行推理：

因為a∥b，

所以∠1=∠ABC=55°；

又因為∠ABC+∠2=90°，

所以∠2=35°.

技巧分析 此題以平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)為考點，數(shù)形結(jié)合法是解題關(guān)鍵.先對應(yīng)題目給出的信息找到相應(yīng)角，再結(jié)合觀察確定∠1的內(nèi)錯角，結(jié)合“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”這一性質(zhì)得到∠ABC的角度，再結(jié)合“直角三角形的兩個銳角互余”這一性質(zhì)進(jìn)行數(shù)學(xué)運算，得到∠2為35°.

（三）解統(tǒng)計問題的應(yīng)用技巧

例6 某市體育局對某運動隊的某體育項目進(jìn)行測試.測試后隊員的成績分別為7分、8分、9分、10分（滿分為10分）.依據(jù)測試成績繪制尚不完整的統(tǒng)計圖（見圖7）.

技巧分析 此問題以條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖與中位數(shù)、平均數(shù)為考點，要求學(xué)生綜合統(tǒng)計圖給出的信息、統(tǒng)計知識解決問題.用數(shù)形結(jié)合法解決此類問題時，需先識圖提煉重點信息，再應(yīng)用統(tǒng)計模型列式計算，得出問題答案.為保證解題正確率，得到答案后還可將數(shù)值代入圖形，看是否匹配.

結(jié) 語

初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)肩負(fù)著夯實學(xué)生基礎(chǔ)知識，鍛煉學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題能力的重任.初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)明確數(shù)形結(jié)合法的含義，在解題教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合法的一般應(yīng)用策略，逐漸提高學(xué)生的解題能力.

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