強(qiáng)化“三思維”，破解三角形

林翠 劉德金

摘要：解三角形問題可以有效溝通初中平面幾何與高中相關(guān)知識，實現(xiàn)知識的交匯與融合，一直是高考中的基本考點，本文中結(jié)合高考真題加以實例分析，從不同思維視角切入，強(qiáng)化破解三角形問題的“三思維”，總結(jié)規(guī)律，啟示教學(xué)，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：三角形；正弦定理；余弦定理；坐標(biāo)；幾何

解三角形試題一直是歷年高考命題的基本考點與熱點問題之一，有時以解答題的形式出現(xiàn)，有時以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，簡單直觀，變化多端.此類問題可以很好實現(xiàn)初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)之間的無縫鏈接，綜合體現(xiàn)“在知識點交匯處命題”的高考命題指導(dǎo)思想，合理交匯與融合解三角形、函數(shù)、三角函數(shù)、平面幾何與平面解析幾何、基本不等式等相關(guān)知識，備受命題者青睞.

1真題呈現(xiàn)

高考真題如圖1，在△ABC中，∠B=60°，AB=2，M是BC的中點，AM=23，那么AC=＿＿＿＿；cos∠MAC=＿＿＿＿.

2真題剖析

此題以浙江卷所特有的特色——“兩空”形式展現(xiàn)，通過三角形一邊的中點引入，使得三角形“一分為二”，結(jié)合相關(guān)的邊長與角度來巧妙設(shè)置，進(jìn)而求解對應(yīng)的邊長與相應(yīng)角的余弦值問題.

題目簡單易懂，條件簡明扼要，破解時，可以從解三角形問題的背景出發(fā)，或借助解三角形思維來處理，或建立平直直角坐標(biāo)系結(jié)合坐標(biāo)法來運算，或通過平面幾何來直觀推理與運算等，都可以達(dá)到合理處理、巧妙破解的目的.

3真題破解

思維視角一：解三角形思維.

方法1：“正弦定理+余弦定理”法.

解析：在△ABM中，由正弦定理得ABsin∠AMB=AMsinB，

則有sin∠AMB=AB·sinBAM=12，結(jié)合AB

所以∠BAM=90°，又M是BC的中點，所以BM=CM=4，則有BC=8.

在△ABC中，由余弦定理，得AC2=22+82－2×2×8cos60°=52，可得AC=213.

在△AMC中，由余弦定理，得cos∠MAC=AM2+AC2－MC22AM·AC=12+52－162×23×213=23913.

點評：根據(jù)題目條件，結(jié)合“已知兩邊與一邊的對角”選擇正弦定理來切入，求得對應(yīng)角的正弦值，并通過三角形的性質(zhì)確定對應(yīng)角，利用直角求得三角形一邊的長度，再利用余弦定理求得第三邊的長度，并確定對應(yīng)角的余弦值.巧妙借助正弦定理與余弦定理的聯(lián)合應(yīng)用來合理解決相關(guān)的解三角形問題.

方法2：誘導(dǎo)公式法.

解析：以上部分同方法1，可得AC=213.

在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠BAC=ACsinB，則有sin∠BAC=BC·sinBAC=23913.

所以可得cos∠MAC=sin（90°+∠MAC）=sin（∠BAM+∠MAC）=sin∠BAC=23913.

點評：在求得三角形第三邊長度的情況下，通過正弦定理的轉(zhuǎn)化，并利用誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，進(jìn)而確定對應(yīng)角的余弦值.巧妙利用直角的轉(zhuǎn)化，通過誘導(dǎo)公式的應(yīng)用來處理相應(yīng)三角形內(nèi)角的三角函數(shù)值.誘導(dǎo)公式法的應(yīng)用，是在特殊角的背景下才可以實現(xiàn)的.

方法3：余弦定理法.

解析：在△ABM中，由余弦定理，得

AM2=BA2+BM2－2BA5BMcos60°.

所以有（23）2=22+BM2－2×25BM512，整理得BM2－2BM－8=0，解得BM=4或－2（舍去）.

由于M是BC的中點，因此MC=4，BC=8.

在△ABC中，由余弦定理，得AC2=22+82－2×2×8cos60°=52，可得AC=213.

在△AMC中，由余弦定理，得

cos∠MAC=AM2+AC2－MC22AM·AC=23913.

點評：根據(jù)題目條件，結(jié)合“已知兩邊與一邊的對角”選擇余弦定理來切入，建立對應(yīng)的方程來求得對應(yīng)線段的長度，利用中點關(guān)系求得三角形一邊的長度，再利用余弦定理求得第三邊的長度，并確定對應(yīng)角的余弦值.巧妙借助余弦定理來綜合處理形式各樣的解三角形問題，方程思想的應(yīng)用有助于簡化解題過程，提升解題效益.

思維視角二：坐標(biāo)思維.

方法4：坐標(biāo)法.

解析：如圖2所示，以B為坐標(biāo)原點，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.

根據(jù)題目條件可知A（1，3）.

設(shè)M（t，0）（t>0），

則有AM2=（t－1）2+3=12，解得t=4或－2（舍去），

所以M（4，0）.結(jié)合M是BC的中點，可得C（8，0）.

所以AC=（1－8）2+（3）2=213.

又由于AM=（3，－3），AC=（7，－3），因此cos∠MAC=AM·AC|AM||AC|=21+323×213=23913.

點評：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的建立，結(jié)合條件確定相關(guān)點的坐標(biāo)并設(shè)出對應(yīng)點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式建立關(guān)系式確定對應(yīng)的參數(shù)值，進(jìn)而確定所設(shè)點的坐標(biāo)，通過中點性質(zhì)的應(yīng)用確定相關(guān)點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求得三角形第三邊的長度，并利用平面向量的數(shù)量積公式的變形來求解對應(yīng)角的余弦值.借助坐標(biāo)法，通過代數(shù)運算來解決對應(yīng)的解三角形問題，對數(shù)學(xué)運算能力的要求較高.

思維視角三：平面幾何思維.

方法5：幾何法.

解析：如圖3所示，取AC的中點N，連接MN，由于M是BC的中點，則有MN=12AB=1.

在△ABM中，利用余弦定理有AM2=BA2+BM2－2BA5BMcos60°.

于是有（23）2=22+BM2－2×25BM512，整理得BM2－2BM－8=0，解得BM=4或－2（舍去）.

由于AB2+AM2=BM2，因此∠BAM=90°，則有MN⊥AM.

因而AN=AM2+MN2=13，所以AC=2AN=213.

在Rt△AMN中，cos∠MAC=AMAN=2313=23913.

故填答案：213；23913.

點評：通過平面幾何圖形的數(shù)形直觀，取相應(yīng)邊的中點，利用三角形的中位線定理確定對應(yīng)的線段長度，結(jié)合“已知兩邊與一邊的對角”選擇余弦定理來切入，建立對應(yīng)的方程求得對應(yīng)線段的長度；通過三角形中三邊長滿足勾股定理確定垂直關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合平行線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系，確定對應(yīng)的線段長度，進(jìn)而求得三角形第三邊的長度，并利用直角三角形中三角函數(shù)的定義求解對應(yīng)邊的余弦值.借助幾何法，合理添加輔助線，直觀形象，通過平面幾何知識來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，邏輯推理能力強(qiáng).

4教學(xué)啟示

解決解三角形問題最常見的思維方式主要包括以下三種：

（1）解三角形思維，

借助正弦定理、余弦定理以及三角形的基本性質(zhì)、面積公式等加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.用此思維破解問題時，關(guān)鍵是通過正弦定理、余弦定理等合理溝通三角形的邊與角的聯(lián)系，實現(xiàn)條件與結(jié)論之間的相互轉(zhuǎn)化，或解方程，或解三角函數(shù)等，借助代數(shù)運算，進(jìn)行必要的邏輯推理與代數(shù)運算等處理.

（2）坐標(biāo)思維，

借助平面直角坐標(biāo)系的建立，通過坐標(biāo)運算來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.合理構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，把三角形放置其中，通過點的坐標(biāo)的確定、向量的坐標(biāo)的建立、直線方程的表示等，合理轉(zhuǎn)化，或利用距離公式、夾角公式等來轉(zhuǎn)化相應(yīng)的長度、角的大小問題，將幾何問題抽象為純代數(shù)問題，利用平面解析幾何或平面向量的相關(guān)知識來分析與處理.

（3）平面幾何思維，

借助平面幾何的直觀形象性加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.合理構(gòu)建平面幾何圖形中的邊、角、線段等，添加相應(yīng)的輔助線，通過平面幾何的相關(guān)知識來轉(zhuǎn)化邊、角關(guān)系，以初中平面幾何知識交匯高中三角函數(shù)等相關(guān)知識，合理邏輯推理，巧妙代數(shù)運算，綜合處理與巧妙應(yīng)用.