線性規(guī)劃常見題型及解法例析

汪珊珊

線性規(guī)劃問題是高考的必考內(nèi)容和熱點之一，主要考查在線性約束條件下的函數(shù)最值問題以及應(yīng)用線性規(guī)劃的方法解決一些實際問題；內(nèi)容涉及到了所有題型，其中選擇題和填空題的分值占6～8分，解答題中分值高達(dá)10～15分，其重要性可見一斑.所以，無論是在平時的學(xué)習(xí)還是高考備考中，我們都應(yīng)該注重學(xué)習(xí)和掌握線性規(guī)劃知識，強(qiáng)化解題訓(xùn)練，熟知常見題型及解題方法，這樣才能在考場上應(yīng)對自如地獲取高分，不斷提升自身的數(shù)學(xué)綜合能力.現(xiàn)將線性規(guī)劃常見的題型及解題的思路與方法歸納如下.

1以數(shù)形結(jié)合思想為指導(dǎo)，解決函數(shù)問題

例1（2022年高考浙江卷）若x，y滿足約束條件x－2≥0，2x+y－7≤0，x－y－2≤0，

則z=3x+4y的最大值是（）.

A.20

B.18

C.13

D.6

解析：畫出不等式組對應(yīng)的可行域，如圖1所示.

當(dāng)動直線3x+4y－z=0過點A時，z有最大值.

由x=2，2x+y－7=0，可得x=2，y=3，

則A（2，3）.

故當(dāng)x=2，y=3時，

zmax=3×2+4×3=18.

故選：B.

思路與方法：本題運用數(shù)形結(jié)合思想，采用了圖解法求最值，先在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域，然后平行移動直線z=3x+4y即可求出最大值.

例2（2022年重慶市仿真試題）變量x，y滿足約束條件x+2y≥3，7x+10y≥17，x≥0，y≥0，求z=3x+5y的最小值.

解析：畫出約束條件表示的點（x，y）的可行域，如圖2所示的陰影部分（包括邊界直線）.作直線l：3x+5y=0，把直線l向右上方平行移至l1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點M，此時，l1：3x+5y－z=0的縱截距最小，則z=3x+5y取得最小值.由方程組x+2y=3，7x+10y=17，解得M（1，1）.故當(dāng)x=1，y=1時，z的最小值為8.

思路與方法：本題根據(jù)已知的約束條件先在直角坐標(biāo)平面上作圖（畫出可行域和直線），然后把直線l向右上方平行移到l1，再通過解方程組得到點M的坐標(biāo)，最后求出最小值.

2轉(zhuǎn)化不規(guī)則圖形，利用公式求面積

例3（2023年安徽省蕪湖市第二次診斷試題）已知不等式組2x+y－6≥0，x+y－3≤0，y≤2.求該不等式組表示的平面區(qū)域的面積.

解析：根據(jù)所給的不等式組作出可行域，如圖3所示.由圖3可知，△ABC的面積即為所求.易得

S梯形OMBC=12×（2+3）×2=5，S梯形OMAC=12×（1+3）×2=4.

所以S△ABC=S梯形OMBC－S梯形OMAC=5-4=1.

思路與方法：本題中的可行域是三角形，而這個不規(guī)則的三角形面積很難直接求解，于是將它看作梯形OMBC的一部分，利用梯形OMBC與梯形OMAC的面積之差即可得到△ABC的面積.這是把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來解決的思路.

例4（2022年安徽師大附中模擬題）如果a≥0，b≥0，且當(dāng)x≥0，y≥0，x+y≤1時，恒有ax+by≤1，求以a，b為坐標(biāo)的點P（a，b）所構(gòu)成的平面區(qū)域的面積.

解析：設(shè)z=ax+by，根據(jù)題意可知，想要ax+by≤1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)z=ax+by的最大值小于或等于1，z的最大值只能在平面區(qū)域內(nèi)的A（1，0），O，B（0，1）三點處取得，因此只需要A，O，B三點的坐標(biāo)都滿足不等式ax+by≤1，即0≤a≤1，0≤b≤1時，則點P（a，b）構(gòu)成的平面區(qū)域是邊長為1的正方形，故面積是1.

思路與方法：本題中由于存在字母系數(shù)，很多學(xué)生都感到一時無從下手，這時就需要運用轉(zhuǎn)化的思想，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的正方形面積問題來解決.

3建立對應(yīng)關(guān)系式，求參數(shù)的取值或范圍

例5（2022年浙江杭州二中測試題）若實數(shù)x，y滿足不等式組x+3y－3≥0，2x－y－3≤0，x－my+1≥0，且x+y的最大值為9，則實數(shù)m的值為（）.

A.－2

B.－1

C.1

D.2

解析：因為直線x－my+1=0過定點（－1，0），根據(jù)x+y=z取最大值及另外兩個線性不等式大致作出可行域（如圖4所示），則平移直線x+y=0可知，z應(yīng)在點A處取最大值9.

由x+y=9，2x－y=3，解得x=4，y=5.

又因為點A（4，5）在直線x－my+1=0上，所以m=1.

故選：C.

思路與方法：本題屬于線性問題中含有參數(shù)，要求參數(shù)的取值問題.首先確定可行域，然后結(jié)合題意尋找符合條件的最優(yōu)解，建立相對應(yīng)的關(guān)系式（方程組）即可獲解.

4用線性規(guī)劃解決實際問題

例6（2022年安徽省蕪湖市一中檢測卷）某百貨公司倉庫A存有貨物12t，倉庫B存有貨物8t，現(xiàn)按7t，8t和5t把貨物分別調(diào)運給甲、乙、丙三個商場.從倉庫A運貨物到商場甲、乙、丙，運費分別為8元/t、6元/t、9元/t；從倉庫B運貨物到商場甲、乙、丙，運費分別為3元/t、4元/t、5元/t.問應(yīng)如何安排調(diào)運方案，才能使得從兩個倉庫運貨物到三個商場的總運費最少？

解析：（1）模型建立.設(shè)倉庫A運給甲、乙商場的貨物分別為xt，yt，則由表1可知倉庫A運給丙商場的貨物分別（12－x－y）t，從而倉庫B運給甲、乙、丙商場的貨物分別為（7－x）t，（8－y）t，（x+y－7）t，于是總運費為

z=8x+6y+9（12x－x－y）+3（7－x）+4（8－y）+5（x+y－7）

=x－2y+126.

所以得到的數(shù)學(xué)模型為：求z=x－2y+126在約束條件12－x－y≥0，7－x≥0，8－y≥0，x+y－7≥0，x≥0，y≥0，即x+y≤12，0≤x≤7，0≤y≤8，x+y≥7下的最小值.

（2）模型求解.作出上述不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖5所示.

作出直線l：x－2y=0，把直線l平行移動，顯然當(dāng)直線l移動到過點A（0，8）時，在可行域內(nèi)z=x－2y+126取得最小值zmin=0－2×8+126=110，則x=0，y=8時，總運費最少.

（3）模型應(yīng)用.安排的調(diào)運方案如下：

倉庫A運給甲、乙、丙商場的貨物分別為0t，8t，4t，倉庫B運給甲、乙、丙商場的貨物分別為7t，0t，1t，此時，可使得從兩個倉庫運貨物到三個商場的總運費最少.

思路與方法：本題屬于實際問題中給定一項任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項任務(wù)耗費的人力、物力資源量最小的問題.解答這類問題的主要思路是運用轉(zhuǎn)化思想，通過設(shè)元，寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的線性規(guī)劃問題來解決.

例7（2022年天津市大港區(qū)模擬試題）某公司計劃今年內(nèi)同時出售電子琴和洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實際情況（如資金、勞動力等）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達(dá)到最大.已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制因素的是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表2.

（如圖6中陰影部分內(nèi)的整點）.令z=0，作直線l：6x+8y=0，當(dāng)平行移動直線l過可行域內(nèi)的點A時，z=6x+8y能夠取得最大值.由方程組30x+20y=300，5x+10y=110，得x=4，y=9.

將A（4，9）代入z=6x+8y，得

zmax=6×4+8×9=96.

所以當(dāng)月供應(yīng)量為電子琴4架、洗衣機(jī)9臺時，公司可獲得最大利潤是96百元.

思路與方法：本題是給定一定的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源，使完成的任務(wù)量最大，收到的效益或利潤最大.解答這類問題時，首先要認(rèn)真審題，明確約束條件中有無等號，未知數(shù)是否有限制等；其次是寫出線性約束條件及目標(biāo)函數(shù)，然后作出可行域，在可行域內(nèi)求出最優(yōu)解；最后將求解出來的結(jié)論反饋到具體的實例中，設(shè)計出最佳方案.

綜上所述，線性規(guī)劃問題在實際生產(chǎn)和生活中應(yīng)用十分廣泛，解決線性規(guī)劃問題的基本方法是圖解法，它是數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想以及函數(shù)思想與方法的具體體現(xiàn).靈活運用線性規(guī)劃知識，可將一些抽象的、不熟悉的、難度較大的問題化為具體的、熟悉的、較簡單的問題來解決；學(xué)會并掌握這些解題思路與方法，能夠幫助我們快速、準(zhǔn)確地找到解決問題的突破口，有助于不斷提高數(shù)學(xué)綜合解題能力.