不等式情境，函數(shù)性視角

蔣玉飛

含參不等式的存在性問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)試卷中比較常見(jiàn)的一類(lèi)綜合應(yīng)用問(wèn)題，經(jīng)常交匯融合函數(shù)與不等式的相關(guān)知識(shí)，場(chǎng)景變化多端，形式創(chuàng)新多變，是知識(shí)綜合與創(chuàng)新應(yīng)用的一個(gè)重要載體.此類(lèi)問(wèn)題經(jīng)常借助含參不等式的合理恒等變形與等價(jià)轉(zhuǎn)化，綜合利用不等式的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，從函數(shù)的視角來(lái)分析，借助函數(shù)的基本性質(zhì)、圖象等來(lái)處理與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的巧妙解決.

1問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題（山東省新高考聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)2022年12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·16）若存在x∈（0，+∞），使得不等式ex－alnx

此題結(jié)合含參不等式存在性問(wèn)題的創(chuàng)新設(shè)置，以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合形式作為基本載體，結(jié)合對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍的求解來(lái)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題.

在實(shí)際分析與解決該問(wèn)題時(shí)，從含參不等式入手進(jìn)行變形與轉(zhuǎn)化，通過(guò)不等式的基本性質(zhì)加以等價(jià)變形與應(yīng)用，借助同構(gòu)函數(shù)思維或函數(shù)的隱零點(diǎn)思維等視角來(lái)切入，展示靈活多變的解法與應(yīng)用.

2問(wèn)題破解

2.1思維視角一：同構(gòu)函數(shù)思維

方法1：同構(gòu)法1.

解析：依題意，存在x∈（0，+∞），使得不等式ex－alnx

同構(gòu)函數(shù)f（x）=xex，x∈（0，+∞），求導(dǎo)有f′（x）=（x+1）ex>0恒成立.

所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

所以只需x∈（0，+∞）時(shí)，有x

令函數(shù)g（x）=exx，x∈（0，+∞），求導(dǎo)有g(shù)′（x）=（x－1）x2ex.由g′（x）=0，解得x=1.

所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）<0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）>0.

因此函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

所以g（x）≥g（1）=e，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（e，+∞）.故填答案：（e，+∞）.

方法2：同構(gòu)法2.

解析：依題意，存在x∈（0，+∞），使得不等式ex－alnx

因?yàn)閤>0，所以ex>1.又aln（ax）>ex>0，且a>0，所以ax>1.

同構(gòu)函數(shù)f（x）=xlnx，x∈（1，+∞），求導(dǎo)有f′（x）=lnx+1>0恒成立.

所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

所以只需x∈（1，+∞）時(shí)，有ex

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（e，+∞）.

故填答案：（e，+∞）.

方法3：同構(gòu)法3.

解析：依題意知a>0.

由于存在x∈（0，+∞），使得不等式ex－alnx

同構(gòu)函數(shù)f（x）=ex+x，易知函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增.

所以只需x－lnax－lnx成立.

令函數(shù)g（x）=x－lnx，x∈（0，+∞），求導(dǎo)有g(shù)′（x）=1－1x=x－1x.由g′（x）=0，解得x=1.

所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）<0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）>0.

因此函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

所以g（x）≥g（1）=e，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（e，+∞）.故填答案：（e，+∞）.

解后反思：根據(jù)題設(shè)中不等式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，合理配湊不等式，使得不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特征相類(lèi)似，從不同思維視角尋找同型、同構(gòu)函數(shù)，結(jié)合參數(shù)的分離，以及函數(shù)單調(diào)性與最值的確定，巧妙求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題.不同視角的恒等變形，尋找共性，配湊同型，對(duì)應(yīng)同構(gòu)不同的函數(shù)，都可以達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

2.2思維視角二：隱零點(diǎn)思維

方法4：帶參討論法.

解析：依題意知a>0，存在x∈（0，+∞），使得不等式ex－alnx

問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為不等式ex－alnx－alna<0在（0，+∞）上有解.

構(gòu)建函數(shù)f（x）=ex－alnx－alna，x∈（0，+∞），

則只需f（x）min<0即可.

求導(dǎo)，有f′（x）=ex－ax=xex－ax.

令函數(shù)g（x）=xex－a（x＞0），求導(dǎo)有g(shù)′（x）=（x+1）ex>0恒成立，所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→－a<0；當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→+∞.

所以存在x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，即ex0=ax0，所以x0=lna－lnx0，即lnx0=lna－x0.

所以，當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，g（x）＜0，則

f′（x）<0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，g（x）＞0，則f′（x）>0.

因此函數(shù)f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增.

所以f（x）≥f（x0）=ex0－alnx0－alna=ax0+ax0－2alna≥2a－2alna，當(dāng)且僅當(dāng)ax0=ax0，即x0=1時(shí)，等號(hào)成立.

因此f（x）min=2a－2alna<0，即1－lna<0，解得a>e.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（e，+∞）.

故填答案：（e，+∞）.

解后反思：根據(jù)題設(shè)將不等式存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值小于0的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)不等式問(wèn)題函數(shù)化，進(jìn)而結(jié)合含參函數(shù)的構(gòu)建與求導(dǎo)處理，通過(guò)確定函數(shù)的隱零點(diǎn)，利用代換思維確定函數(shù)的最小值，進(jìn)而確定相應(yīng)的不等式，為求解參數(shù)的取值范圍打下基礎(chǔ).此類(lèi)利用函數(shù)的隱零點(diǎn)思維來(lái)處理的問(wèn)題，解題時(shí)優(yōu)化隱零點(diǎn)的取值范圍是關(guān)鍵，也是破解問(wèn)題的重點(diǎn)之一.

3變式拓展

根據(jù)以上問(wèn)題的“一題多解”，進(jìn)一步加以發(fā)散思維，開(kāi)拓方法，鞏固相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，進(jìn)行“一題多變”.

變式如果存在x∈（0，+∞），使得不等式（x+a）e2x

A.（－∞，－1]

B.－∞，－12

C.[JB（[]－1，－12

D.[－1，0）

解析：構(gòu)建函數(shù)f（x）=（x+a）e2x－a（x＞0），則有f（0）=0.

依題意，存在x∈（0，+∞），使得不等式（x+a）5e2x

求導(dǎo)，有f′（x）=（2x+2a+1）e2x.

當(dāng)2a+1≥0，即a≥－12時(shí)，f′（x）>0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)f（x）>f（0）=0，與f（x）min<0矛盾，舍去.

當(dāng)2a+1<0，即a<－12時(shí)，由f′（x）=0，解得x=－2a+12>0，則函數(shù)f（x）在0，－2a+12上單調(diào)遞減，此時(shí)f（x）

綜上分析，可知a<－12，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為－∞，－12.故選擇答案：B.

4教學(xué)啟示

4.1思維方法總結(jié)，技巧策略歸納

破解此類(lèi)含參不等式存在性問(wèn)題的參數(shù)的值、取值范圍或最值等相關(guān)問(wèn)題中，常用的技巧方法就是從函數(shù)視角切入，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)來(lái)分析與處理.常見(jiàn)的技巧策略主要有以下幾類(lèi)：

（1）帶參討論.合理分類(lèi)討論，利用函數(shù)的隱零點(diǎn)方程代換確定相關(guān)的最值，解題時(shí)注意優(yōu)化函數(shù)隱零點(diǎn)的取值范圍及等價(jià)轉(zhuǎn)化.

（2）合理構(gòu)造函數(shù).經(jīng)常借助不等式的恒等變形，尋找不等式兩邊對(duì)應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式結(jié)構(gòu)特征中的共性與同型，巧妙同構(gòu)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性以及參變分離法等來(lái)綜合與求解.

（3）合理分離參數(shù).主要針對(duì)能夠分離出對(duì)應(yīng)參數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，一般在等式或不等式的一邊只含有參數(shù)，另一邊是基本初等函數(shù)或?qū)?yīng)的復(fù)合函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)數(shù)形結(jié)合

等直觀思維求解.

4.2倡導(dǎo)“一題多解”，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

“一題多解”對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力的培養(yǎng)有著重要影響，教師應(yīng)注重將“一題多解”的意識(shí)滲透到數(shù)學(xué)課堂解題教學(xué)中.借助“一題多解”，從不同角度進(jìn)行解法探究，讓學(xué)生在解題探究中感悟數(shù)學(xué)思想方法之美，同時(shí)結(jié)合“一題多變”，達(dá)到“一題多得”“一題多思”等良好效果，培養(yǎng)思維的發(fā)散性與開(kāi)拓性，全面開(kāi)拓視野，提升數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)核心素養(yǎng).