用生成函數(shù)求幾類數(shù)列的通項(xiàng)公式

摘 要：高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)公式不僅是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，還是高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).利用高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)公式的求解技巧，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).文章介紹了生成函數(shù)，并利用生成函數(shù)來求解幾類有難度的數(shù)列的通項(xiàng)公式.

關(guān)鍵詞：生成函數(shù)；形式冪級(jí)數(shù)；數(shù)列；通項(xiàng)公式

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）07-0024-05

生成函數(shù)是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，通過生成函數(shù)可以把離散數(shù)學(xué)和連續(xù)數(shù)學(xué)巧妙地連接起來.利用生成函數(shù)來處理中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)列通項(xiàng)問題，問題的可操作性強(qiáng)，學(xué)生容易理解.

1? 預(yù)備知識(shí)

定義1[1] 設(shè)a0，a1，…，an，…是一個(gè)給定的數(shù)列，我們稱形式冪級(jí)數(shù)

a0+a1x+…+anxn+…為這個(gè)數(shù)列的生成函數(shù).

例如，數(shù)列1，2，3，…，n，…的母函數(shù)是1+2x+3x2+…+nxn+….

注 為了應(yīng)用形式冪級(jí)數(shù)去解決數(shù)列通項(xiàng)公式問題，我們引進(jìn)形式冪級(jí)數(shù)之間的加法、減法、乘法等運(yùn)算，并規(guī)定：在進(jìn)行這些運(yùn)算時(shí)，把形式冪級(jí)數(shù)看成冪級(jí)數(shù)，然后按冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算法則去進(jìn)行運(yùn)算.

所以定理1得證.

由定理1，有

2 利用生成函數(shù)求數(shù)列通項(xiàng)公式的步驟

（2）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求出f（x）；

（3）把f（x）展開成形式冪級(jí)數(shù)；

（4）求出xn的系數(shù).

由此可見，利用生成函數(shù)來理解數(shù)列通項(xiàng)后，求解數(shù)列通項(xiàng)就不再是玩技巧了，而是程序性的操作.

3 常系數(shù)線性齊次遞推數(shù)列

例1 設(shè)數(shù)列an滿足an-10an-1+21an-2=0，且a1=3，a2=93，求通項(xiàng)公式an.

解析 因?yàn)閍n+2-10an+1+21an=0，且a1=3，a2=93，設(shè)數(shù)列an的生成函數(shù)為

f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+….

上式兩邊乘以（-10x），得

-10xf（x）=-10a1x2-10a2x3-…-10an-1xn-…，

上式兩邊乘以21x2，得

21x2f（x）=21a1x3+…+21an-2xn+….

三式相加，得

（1-10x+21x2）f（x）

=a1x+（a2-10a1）x2+（a3-10a2+21a3）x3+…+（an-10an-1+21an-2）xn+…

=a1x+（a2-10a1）x2

=3x+63x2，

用待定系數(shù)法，有

故an=3×7n-6×3n.

例2[3] （2020年福建省數(shù)學(xué)競賽試題）已知數(shù)列an滿足a1=1，a2=5，an+2=4an+1-3an（n∈N*）.

（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+an+1xn+1+an+2xn+2+…，

-4xf（x）=-4a1x2-4a2x3-…-4an+1xn+2-…，

3x2f（x）=3a1x3+…+3anxn+2+…，

將以上三式相加，并利用a1=1，a2=5，an+2=4an+1-3an（n∈N*），得

（1-4x+3x2）f（x）=x+x2.

故an=2×3n-1-1.

（2）由（1）知

A（x）=a1x+a2x2+…+anxn+…，

2xA（x）=2a1x2+…+2an-1xn+…，

-4xB（x）=-4b1x2-…-4bn-1xn-….

三式相加，得

（1+2x）A（x）-4xB（x）=-10x.①

又B（x）=b1x+b2x2+…+bnxn+…，

5xA（x）=5a1x2+…+5an-1xn+…，

-7xB（x）=-7b1x2-…-7bn-1xn-….

三式相加，得

5xA（x）+（1-7x）B（x）=-13x.②

由①和②，解得

展開成形式冪級(jí)數(shù)，得到

所以an=2n-4·3n.

所以bn=2n-5·3n.

4 常系數(shù)線性非齊次遞推數(shù)列

例4[4] 已知數(shù)列an滿足an-2an-1+an-2=2n，且a0=a1=1，求通項(xiàng)公式an.

解析 設(shè)數(shù)列an的生成函數(shù)為

f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…，

-2xf（x）=-2a0x-2a1x2-…-2an-1xn-…，

x2f（x）=a0x2+…+an-2xn+…，

四式相加，得

f（x）=a1x+a2x2+…+anxn+…，

-xf（x）=-a1x2-…-an-1xn-…，

三式相加，得

展開成形式冪級(jí)數(shù)，得

5 一個(gè)特殊的數(shù)列

例6[5] （卡特蘭數(shù)）設(shè)有一凸n邊形，用n-3條在內(nèi)部不相交的對(duì)角線把這凸n邊形分成n-2個(gè)三角形，那么一共有多少種不同的分法？

解析 設(shè)an表示將一個(gè)凸n+1邊形劃分為三角形的分法數(shù)，并規(guī)定a1=1.

當(dāng)n=2時(shí)，凸n+1邊形是三角形，它只有一種分法，所以a2=1.

當(dāng)n=3時(shí)，凸n+1邊形是四角形，它只有兩種分法，所以a3=2.

現(xiàn)設(shè)n≥3，我們在凸n+1邊形T中先任意取定一條邊，例如圖1中的AB，另取一點(diǎn)C.設(shè)△ABC左邊的圖形T1是一個(gè)凸k+1邊形，那么，△ABC右邊的圖形T2必是一個(gè)凸n-k+1邊形.

根據(jù)假設(shè)，凸k+1邊形T1有ak種不同的分法，凸n-k+1邊形T2有an-k種不同的分法. T1，T2的每一種分法就給出整個(gè)n+1邊形T的一種分法.

因?yàn)門1有ak種分法，T2有an-k種分法，故T有akan-k種分法，這種分法是對(duì)固定的點(diǎn)C而言的.

an=a1an-1+a2an-2+…+an-1a1.

f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+….

那么

根據(jù)初始值a1=a2=1和an的遞推關(guān)系，得到

f 2（x）=a2x2+a3x3+a4x4+…+anxn+…

=f（x）-a1x

=f（x）-x.

這就是說，f（x）滿足一元二次方程f（x）2-f（x）+x=0.

因?yàn)閒1（0）=1，f2（0）=0，而我們要找的f（x）滿足f（0）=0，所以只能取

下面把f（x）展開成形式冪級(jí)數(shù)即可.

利用牛頓二項(xiàng)式定理，有

6 結(jié)束語

給定數(shù)列的遞推公式，求解其通項(xiàng)公式，是高考與競賽中常見的題型.對(duì)于簡單的遞推公式，通過構(gòu)造等差數(shù)列或者等比數(shù)列即可得解.但對(duì)于復(fù)雜且難度較大的遞推公式，則需要很強(qiáng)的技巧才能解決.但利用生成函數(shù)，則可很好地解決難度較大的遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，比如常系數(shù)線性齊次遞推數(shù)列和常系數(shù)線性非齊次遞推數(shù)列.利用生成函數(shù)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，不僅操作性強(qiáng)，而且學(xué)生也容易理解.可以說，生成函數(shù)是求解遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的通法.

參考文獻(xiàn)：

［1］史濟(jì)懷.母函數(shù)[M].第2版.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2014.

[2] 曹汝成.組合數(shù)學(xué)[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社，2000.

[3] 李鴻昌.高考題的高數(shù)探源與初等解法[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2022.

[4] 李鴻昌，楊春波，程漢波.高中數(shù)學(xué)一點(diǎn)一題型（新高考版）[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2022.

[5] 王中平.生成函數(shù)在組合數(shù)學(xué)中的若干應(yīng)用[J].貴陽學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，11（01）：1-7.