反彈琵琶為哪般

郝高峰 白翠霞 郭榮

［摘? 要］ 除法豎式從高位除起已成為一種標(biāo)準(zhǔn)化、程式化的操作，從高位除起是求簡(jiǎn)的人性使然，并非數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯要求。在教學(xué)中進(jìn)行“從低位除起”的嘗試和討論，一定程度上有利于學(xué)生打破思維定式，理解除法豎式以及除法運(yùn)算的本質(zhì)，為培養(yǎng)學(xué)生的批判質(zhì)疑精神創(chuàng)造契機(jī)。

［關(guān)鍵詞］ 除法豎式；雙向可行；低位除起；教學(xué)價(jià)值

一、引言

批判質(zhì)疑能力作為學(xué)生“核心素養(yǎng)”的重要表現(xiàn)之一，歷來(lái)受到廣大的教師重視。在實(shí)際教學(xué)時(shí)，因?yàn)閱栴}的答案幾近唯一、解決思路趨于固化以及應(yīng)試教育功利性等原因，致使小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)常常表現(xiàn)出標(biāo)準(zhǔn)化、程式化的傾向。比如，在教學(xué)“筆算除法”時(shí)教師強(qiáng)調(diào)從高位除起，很少有學(xué)生思考為何如此。到四年級(jí)教學(xué)三位數(shù)除以兩位數(shù)筆算時(shí)，學(xué)生對(duì)此已達(dá)成“共識(shí)”，教師不提學(xué)生不問，一切都顯得理所當(dāng)然。

隨著人工智能時(shí)代的到來(lái)，教育教學(xué)理應(yīng)更加凸顯人的主體性和創(chuàng)造性，這一切應(yīng)落實(shí)到課堂教學(xué)中。面對(duì)同一學(xué)習(xí)素材，教師要讓學(xué)生進(jìn)行多元解讀、多角度思考，在對(duì)比中適時(shí)質(zhì)疑，于反思中深度建構(gòu)。即便面對(duì)看起來(lái)“理所當(dāng)然”的事，教師也要引導(dǎo)學(xué)生時(shí)刻保持“三?。▁ǐng）”的態(tài)度。因此在學(xué)習(xí)了三位數(shù)除以兩位數(shù)筆算后，筆者便“推波助瀾”，讓學(xué)生嘗試從低位除起，開啟了一次“反彈琵琶”的嘗試。

二、可行性分析

1. 原理：豎式理應(yīng)“雙向可行”

知識(shí)之間存在“相對(duì)意義的聯(lián)系”［１］，即概念之間往往存在“是”與“非”相互依存的現(xiàn)象。比如“左”和“右”相伴，“增加”和“減少”共存，“變化”與“不變”相生等。對(duì)于加法、減法和乘法豎式而言，一般規(guī)定從低位算起，也應(yīng)該可以從高位算起；對(duì)于除法豎式，通常是從高位算起，也應(yīng)該可以從低位算起，這就是“雙向可行”。比如加、減法，其計(jì)算的“原理性知識(shí)”是相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)直接相加減，從低位算起還是從高位算起只是人為約定的“規(guī)則性知識(shí)”。乘法的本質(zhì)是加法，除法的本質(zhì)是減法，因此，乘法、除法也必然“雙向可行”。

縱觀豎式的演變史，人們可以找到加法、減法和乘法“雙向可行”的證據(jù)（圖1）。因?yàn)檫@些豎式倘若從高位算起，就可能面臨二次處理“進(jìn)（退）位數(shù)”的麻煩，從而增加計(jì)算負(fù)擔(dān)，從低位算起則能有效規(guī)避這一問題。除法因其“余數(shù)”可能需要多次參與分配的實(shí)際，其豎式較為特殊，經(jīng)過歷史演變成為現(xiàn)在通用的“長(zhǎng)除”豎式（本文不討論其演變過程，僅以現(xiàn)行豎式規(guī)范為例），它也理應(yīng)雙向可行（圖2）。從高位算起，可以讓每次減去的數(shù)盡量多，讓減的次數(shù)和余下的數(shù)盡量少，計(jì)算就會(huì)更加簡(jiǎn)便。因此，從高位算起是人性使然，并非數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯要求［２］。

2. 學(xué)情：教材為何“高位除起”

源于“求簡(jiǎn)”的人性，加法、減法和乘法豎式最終規(guī)范為從低位算起，除法豎式則從高位除起。在教學(xué)和生活中，不難發(fā)現(xiàn)有許多人不顧“規(guī)則”從高位開始計(jì)算加、減法，究其原因這符合人們從左往右的書寫和觀察習(xí)慣，這一習(xí)慣所帶來(lái)的便利此時(shí)明顯大于進(jìn)退位所帶來(lái)的不便。從這個(gè)角度講，這是一種人性“求簡(jiǎn)”的習(xí)慣，除法豎式從高位除起的“規(guī)則”順應(yīng)了這一習(xí)慣。

現(xiàn)行教材在面對(duì)豎式教學(xué)時(shí)，都強(qiáng)調(diào)其規(guī)范性和程式化操作。以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，整數(shù)除法的豎式教學(xué)安排在三個(gè)階段完成：

（1）二年級(jí)下冊(cè)基于“表內(nèi)除法”初步規(guī)范豎式寫法，“表內(nèi)除法”的豎式毫無(wú)優(yōu)越性可言，主要是為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊，探討從左往右算或從右往左算的價(jià)值不大。

（2）三年級(jí)下冊(cè)進(jìn)一步學(xué)習(xí)“除數(shù)是一位數(shù)的除法（商是兩位數(shù)或三位數(shù)）”豎式，此時(shí)計(jì)算本身難度不大，學(xué)生對(duì)豎式充滿好奇，最適合對(duì)除法規(guī)則及數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯進(jìn)行探討。教材嚴(yán)守規(guī)則，旨在強(qiáng)化規(guī)則。

（3）四年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”，這一階段運(yùn)算量增大，豎式的優(yōu)越性盡顯。因?yàn)榍懊鎯蓚€(gè)階段對(duì)豎式規(guī)范化的滲透，所以教學(xué)難點(diǎn)不是豎式本身，而是在“試商”和“調(diào)商”上。學(xué)生對(duì)規(guī)則本身的探究欲望已被絕對(duì)性壓制，陷入機(jī)械執(zhí)行階段。自此，除法豎式從高位算起的規(guī)則在學(xué)生心中扎下了根。與此同時(shí)，學(xué)生對(duì)其規(guī)則的探究欲望也被深埋——但從未消失。

3. 價(jià)值：“低位除起”帶來(lái)什么

豎式作為一種程式化、標(biāo)準(zhǔn)化的計(jì)算工具，在教學(xué)中極易落入“簡(jiǎn)單模仿”的窠臼。在教師眼中，豎式不應(yīng)該被簡(jiǎn)單地當(dāng)成一種工具，它應(yīng)該是一項(xiàng)有獨(dú)特價(jià)值的教育資源。如果做一次從“低位除起”的嘗試，又會(huì)帶來(lái)什么呢？

（1）創(chuàng)造了一次喚醒學(xué)生批判意識(shí)的契機(jī)

學(xué)生批判意識(shí)的培養(yǎng)如何在小學(xué)課堂上落地一直都是一個(gè)重要課題：一方面小學(xué)生正處于行為習(xí)慣的關(guān)鍵培養(yǎng)期，需要“規(guī)范”；另一方面他們又處在批判意識(shí)養(yǎng)成的萌芽期，需要“適度的空間”。在實(shí)際教學(xué)中，教師往往“顧此失彼”。比如除法豎式的教學(xué)，從學(xué)生第一次接觸開始，為了避免其走彎路，教師一直強(qiáng)調(diào)規(guī)范格式，強(qiáng)調(diào)從“高位除起”的規(guī)則。如果“為什么除法一定要從高位算起”“除法可以從低位算起嗎”的種子被激活，學(xué)生就有可能經(jīng)歷一次從除法豎式“只能從高位算起”到除法豎式理應(yīng)“雙向可行”，再到還是“從高位算起簡(jiǎn)單”的批判性學(xué)習(xí)過程。這樣可以讓學(xué)生積累批判思維的經(jīng)驗(yàn)，在遇到問題時(shí)不僅要思考“是什么”“為什么”，還要思考“一定是這樣嗎”“還可以怎么樣”等，時(shí)刻葆有質(zhì)疑的熱情。

（2）開拓了一片探求數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯的空間

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不只是為了掌握方法，更重要的是探尋其背后的道理。除法豎式雖然表現(xiàn)為一種程式化操作，但是其背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯具有更大的育人價(jià)值。當(dāng)學(xué)生嘗試從“低位除起”時(shí)，一定程度上打破了原有的程式，倒逼學(xué)生反觀除法豎式以及除法的本質(zhì)：即不斷從被除數(shù)中減去若干個(gè)除數(shù)，以減輕腦力計(jì)算的負(fù)擔(dān)，把其中的關(guān)鍵步驟記錄下來(lái)。至于是從高位算起還是從低位算起，需要幾次“除盡”，這不是數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯要求。在與從“高位除起”的對(duì)比中，學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到人們選擇“高位除起”的必然性——“求簡(jiǎn)”的人性使然，甚至可以體會(huì)豎式“分層”的優(yōu)越性，即“試商”“調(diào)商”的道理所在。為了讓每次減去的數(shù)盡可能多，剩下的就盡可能少，從而使減的次數(shù)盡可能少。可以說(shuō)，“低位除起”的嘗試一石激起千層浪，開拓出一片學(xué)生適度探索數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯關(guān)系的空間。

（3）重構(gòu)了一個(gè)提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的場(chǎng)域

除法豎式“低位除起”的嘗試讓學(xué)生感受思維帶來(lái)的快樂，打破了以往豎式教學(xué)中簡(jiǎn)單重復(fù)訓(xùn)練、近乎枯燥的僵局，釋放并解答了隱藏在學(xué)生心中多年的“為什么一定要從高位除起”的疑惑，為學(xué)生重構(gòu)了一個(gè)興趣盎然的學(xué)習(xí)場(chǎng)域。學(xué)生在這個(gè)場(chǎng)域中深度感受豎式的本質(zhì)，重新認(rèn)識(shí)豎式的規(guī)則。這個(gè)場(chǎng)域一經(jīng)建立，就會(huì)吸附學(xué)生學(xué)習(xí)過程中生成的同質(zhì)或類同質(zhì)場(chǎng)域，從而形成一個(gè)更大的“群”。這個(gè)群達(dá)到一定程度就會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)大的“內(nèi)卷”功能，促使學(xué)生長(zhǎng)時(shí)間保持對(duì)學(xué)習(xí)的興趣，感受學(xué)習(xí)帶來(lái)的愉悅感和成就感。

綜上，“低位除起”的思考，不是對(duì)除法豎式規(guī)則的打破和反叛，而是通過突圍和變通，完成對(duì)豎式規(guī)則的完善和升級(jí)?！胺磸椗谩钡膶?shí)踐不是嘩眾取寵，而是對(duì)數(shù)學(xué)理性思維的執(zhí)著探尋。

三、教學(xué)嘗試

基于以上思考，筆者在教學(xué)北師大版四年級(jí)上冊(cè)“除法”單元時(shí)，對(duì)除法豎式能否從低位除起進(jìn)行了教學(xué)嘗試。

1.質(zhì)疑激趣：“除法豎式”呈現(xiàn)“雙向可行”

北師大版“除法”單元的“三位數(shù)除以兩位數(shù)的筆算”分為“買玩具”“參觀花圃”“秋游”等3個(gè)主題情境，分別對(duì)應(yīng)“除數(shù)是整十?dāng)?shù)”“一次試商”“調(diào)商”3類筆算除法?！扒镉巍苯虒W(xué)后，筆者出示“試一試”的豎式（圖3），與學(xué)生交流了筆算除法的注意事項(xiàng)：“從高位除起”“除數(shù)是兩位數(shù)，先看被除數(shù)的前兩位”“試商”“調(diào)商”“檢驗(yàn)”等，鼓勵(lì)學(xué)生勇于質(zhì)疑，于是有了下面的教學(xué)片段。

片段1

師：同學(xué)們?cè)倏纯慈粩?shù)除以兩位數(shù)的豎式，回憶我們的學(xué)習(xí)過程，你們有什么問題在腦海中冒出來(lái)？

生1：我覺得有時(shí)候試商比較麻煩，特別是需要調(diào)商的時(shí)候。有沒有更好的方法？

生2：豎式計(jì)算時(shí)要從高位除起，這是為什么呢？

生3：是呀！能不能從低位除起呢？（學(xué)生嘩然）

師：同學(xué)們能對(duì)習(xí)以為常的“除法豎式”計(jì)算方式提出自己的質(zhì)疑和反思，為你們點(diǎn)贊！“從低位除起”，多么奇妙的想法！我們來(lái)試試，愿意挑戰(zhàn)從低位除起的同學(xué)組成一隊(duì)，其余同學(xué)組成一隊(duì)。（學(xué)生躍躍欲試）

鑒于學(xué)生被激起的探究欲望，教師出示題目“396÷3”小試牛刀，結(jié)果兩隊(duì)學(xué)生幾乎同時(shí)完成（圖4）。“哇，可以，可以！”贊嘆之聲在教室內(nèi)此起彼伏。

教師請(qǐng)從低位除起的同學(xué)講了算法之后隨即提議：“有沒有人還想試試從低位除起的？”此時(shí)幾乎所有學(xué)生的積極性都被調(diào)動(dòng)起來(lái)。

2.深度探究：“低位除起”經(jīng)歷“柳暗花明”

教師請(qǐng)學(xué)生從低位除起試算“秋游”的“試一試”，有的人開始面露難色，有的人算到一半時(shí)無(wú)從下手。面對(duì)著“山重水復(fù)疑無(wú)路”的困境，反而激發(fā)了學(xué)生深度探究的欲望。

片段2

師：我們發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)算到一半，開始猶豫不決。誰(shuí)能來(lái)講講自己遇到了什么困難？（一生上臺(tái)，邊講邊板演）

生1：624除以13，除數(shù)是兩位數(shù)，我從后兩位除起，用24除以13，商1余11。11不夠除把6移下來(lái)，611除以13商40，所以在十位上寫4，這時(shí)還余91（如圖5）。然后用91除以13商7，可我猶豫7該寫在哪里呢？

生2：應(yīng)該寫在個(gè)位上呀！

生1：我也知道，可個(gè)位上已經(jīng)有1了嘛！

（生1有些為難，一些學(xué)生隨聲附和。）

生3：那就寫在1的上面，那里也是個(gè)位！

（生1雖有些猶豫，但還是嘗試在1上面寫了7）（如圖6）。

師：剛才大家的發(fā)言都非常有道理。生1在遇到困難時(shí)勇于思考、不放棄，終于在大家的幫助下把624分完了。那么624除以13到底等于多少呢？是41？還是7？

生（恍然大悟）：是它們的和?。ㄈ鐖D7）

師：通過剛才的交流，你們又有什么想法呢？

生4：我覺得從低位除起是可行的。這道題要求624里面有多少個(gè)13，我們可以先看13里面有1個(gè)13，再看520里面有40個(gè)13，最后算余下的91里面有7個(gè)13。用1+40+7就可以得到它的商是48了。

生5：我體會(huì)到除法豎式計(jì)算就是把被除數(shù)不斷地平均分。以前覺得商只能寫一行，其實(shí)寫幾行無(wú)所謂。我在同學(xué)的啟發(fā)下，列了這樣的豎式（如圖8）。

生6：我認(rèn)為從低位除起確實(shí)可以，但是好像從高位除起更簡(jiǎn)便些。

經(jīng)過全班學(xué)生的共同努力，貌似無(wú)法進(jìn)行的“低位除起”經(jīng)歷了“柳暗花明”的探究過程。學(xué)生通過不斷嘗試、相互啟發(fā)、共同合作，再一次印證了除法豎式的“雙向可行”。享受到探索之后成功的喜悅，學(xué)生的興致被再一次激發(fā)，其數(shù)學(xué)素養(yǎng)在質(zhì)疑探究中得到發(fā)展。教師趁機(jī)讓學(xué)生相互出題從“低位除起”進(jìn)行試算，對(duì)比“高位除起”的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步體會(huì)除法運(yùn)算的本質(zhì)。

3.交流提升：“低位除起”印證“高位除起”

學(xué)生經(jīng)歷了“396÷3”的豎式“雙向可行”體驗(yàn)、“624÷13”豎式的“低位除起”探究以及學(xué)生相互出題對(duì)比體悟“低位除起”和“高位除起”的一致性和獨(dú)特性之后，全班進(jìn)行討論交流。

師：同學(xué)們，結(jié)合這節(jié)課的研究經(jīng)歷，你們還有什么想和大家交流呢？

生1：我沒有想到除法豎式還可以從低位除起，腦洞大開呀！以后碰到事情一定要從多個(gè)角度去想一想。

生2：雖然可以從低位開始除，但是我發(fā)現(xiàn)有些題目從兩邊除難度差不多，大部分題目從高位除起要簡(jiǎn)便很多！

師：看來(lái)，你有深刻的體驗(yàn)。那么大家有沒有想過，為什么對(duì)于大多數(shù)題目而言從高位除起會(huì)簡(jiǎn)便一些呢？

生3：我從低位除起的時(shí)候經(jīng)常會(huì)碰到商不知道往哪里寫的現(xiàn)象，而且有時(shí)候眼看著都算到高位了，又出現(xiàn)返回到低位的現(xiàn)象。這樣來(lái)回反復(fù)，比較麻煩。

生4：沒錯(cuò)！我也有同感。我覺得從高位除起的時(shí)候，每次分掉得比較多，這樣剩下的就比較少，每分一次剩的就少一些，越來(lái)越少，越來(lái)越好分。然而從低位除起恰恰相反，因?yàn)槊看畏值谋容^少，剩下的就比較多，再分的時(shí)候仍然很麻煩。

師：是呀！除法的本質(zhì)是減法，除的過程實(shí)際就是不斷地從被除數(shù)中減去除數(shù)的過程。每次減去的越多，剩下的就越少，也就越好分了。

生5：我發(fā)現(xiàn)從低位除的時(shí)候經(jīng)常要把幾次的商加起來(lái)才是最后的結(jié)果，而從高位除起時(shí)，因?yàn)橐恢卑错樞驅(qū)懴聛?lái)就少了相加的那一步。但我覺得如果有同學(xué)不能一次商到位，就像從低位除一樣，把商分幾層來(lái)寫，最后加起來(lái)也是可以的。

師：你們看到了除法豎式的本質(zhì)！正是因?yàn)閿?shù)太大了，不好口算，我們就把被除數(shù)分成若干個(gè)小份，然后通過若干次分完罷了。比如624÷13，從高位除起就相當(dāng)于先算520÷13=40，再算余下的104÷13=8，所以商就是40+8=48；從低位除起相當(dāng)于把624看作“13＋520+91”，分三次除以13，最終的商就是1+40+7=48。雖然兩種方法都可以，但顯然從高位除剩下的會(huì)迅速減少，還是方便很多！

生6：老師！我們這是在“反彈琵琶”！

師：沒錯(cuò)！有時(shí)候“反彈琵琶”也未嘗不可。今天的“反彈琵琶”讓我們更好地認(rèn)識(shí)了除法，也認(rèn)清了除法豎式從高位除起的奧秘……

參考文獻(xiàn)：

［１］ 郜舒竹.筆算方法多樣性的歷史考察［Ｊ］. 課程·教材·教法，２０１６，３６（０１）：８８－９４.

［２］ 蔡宏圣. 當(dāng)下整數(shù)豎式計(jì)算教學(xué)：數(shù)學(xué)史的視角［Ｊ］. 小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），２０２０（０５）：６３－６６.