探究數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用路徑

魏莉紅

摘 要：較小學(xué)數(shù)學(xué)相比，初中數(shù)學(xué)在解題方面的難度有所增加，且邏輯性和系統(tǒng)性也更強(qiáng).對(duì)此，很多學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜的解題時(shí)，由于缺乏對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解與運(yùn)用，往往手足無措，沒有解題思路，導(dǎo)致解題能力得不到提高.基于此，本文在概述初中數(shù)學(xué)解題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，著重分析數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)不同類型解題中的運(yùn)用路徑，以期為廣大一線初中數(shù)學(xué)教師提供教學(xué)參考.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；初中數(shù)學(xué)；解題

近年來，隨著基礎(chǔ)教學(xué)改革的推動(dòng)與實(shí)施，中考在數(shù)學(xué)知識(shí)考核方面也發(fā)生了明顯的變化，即考核內(nèi)容更加豐富，考核方式也更為靈活.這種轉(zhuǎn)變也意味著初中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中，要從根本上把握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，通過傳授有效的解題思維為學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò)，使學(xué)生快速地理解并掌握解題的思想和方法.數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的思維方法之一，對(duì)于解決數(shù)學(xué)問題起著不可或缺的關(guān)鍵作用，具備這一解題思維，能夠使學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)題時(shí)游刃有余.因此，教師要充分地認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的重要性及必要性，并借助數(shù)形結(jié)合思想開拓學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力和解決問題能力.

1 數(shù)形結(jié)合思想概述

1.1 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休.”數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容就是圍繞“數(shù)”與“形”進(jìn)行學(xué)習(xí)和研究，“數(shù)”指的是數(shù)量以及數(shù)與數(shù)之間的抽象關(guān)系，“形”指的是圖形以及圖形的概念.數(shù)形結(jié)合思想就是將原本存在本質(zhì)區(qū)別的“數(shù)”與“形”相互結(jié)合并轉(zhuǎn)化，通過分析二者之間的關(guān)系找到解題的思路和方法.具體來說，當(dāng)前數(shù)形結(jié)合思想在解題中常用的方法有兩點(diǎn)：第一，借助圖形的直觀性來得出數(shù)字之間的邏輯關(guān)系，將抽象的知識(shí)具象化；第二，使用數(shù)字來填補(bǔ)圖形中缺失的主要信息，從而使圖形間的關(guān)系更加清晰明了，將原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目變得簡(jiǎn)單化.

1.2 初中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的意義

首先，增加數(shù)學(xué)解題教學(xué)的趣味性.數(shù)學(xué)學(xué)科的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容就是研究數(shù)量的抽象關(guān)系與空間的概念關(guān)系，因此在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生最應(yīng)具備的數(shù)學(xué)思維能力便是邏輯思維和空間思維，這樣才能夠使學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)快速理清解題思路.然而實(shí)際上，大多數(shù)初中生的數(shù)學(xué)思維能力普遍較弱，在面對(duì)抽象的數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系時(shí)，經(jīng)常找不到問題的切入點(diǎn)，對(duì)解題思路毫無頭緒，這也在一定程度上打擊了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信.而在解題教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，能夠引導(dǎo)學(xué)生從不同的層面去思考“數(shù)”和“形”的關(guān)鍵連接點(diǎn)，并找到正確的解題思路.這一思維方式使解題過程充滿趣味性和探索性，當(dāng)學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解開數(shù)學(xué)難題時(shí)，也會(huì)獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣與成就感，從而在潛移默化中提高自身的解題能力.

其次，增強(qiáng)數(shù)學(xué)解題思維的靈活性.在數(shù)學(xué)解題過程中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想主要有兩個(gè)作用和方向：一是“以形輔數(shù)”，也就是用直觀的圖形關(guān)系輔助學(xué)生去理解抽象的數(shù)量關(guān)系，從而通過轉(zhuǎn)變思維來開拓解題思路；二是“以數(shù)助形”，指的是用邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)量關(guān)系來表達(dá)抽象復(fù)雜的圖形關(guān)系，從而降低解題難度.“數(shù)”與“形”的相互結(jié)合與轉(zhuǎn)變使得數(shù)學(xué)解題思維更具靈活性和多變性，學(xué)生可以在初中數(shù)學(xué)解題過程中，利用數(shù)形結(jié)合思想靈活地解決數(shù)學(xué)問題，從不同的角度對(duì)不同類型的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行思考分析，并實(shí)現(xiàn)舉一反三、一題多解.不僅如此，數(shù)形結(jié)合思想在提高學(xué)生解題效率的同時(shí)，還能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，以及學(xué)生思考問題的靈活性和創(chuàng)新性.

1.3 初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)原則

若想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，教師需要遵循以下三個(gè)基本原則：

首先，要堅(jiān)持等價(jià)應(yīng)用原則.這意味著在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，需要確保代數(shù)與幾何圖形在轉(zhuǎn)化過程中的等價(jià)性.無論是“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，還是“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，都要保證各自的性質(zhì)和特征在轉(zhuǎn)化過程中保持一致，這樣才能確保數(shù)形結(jié)合思想在解決問題時(shí)的準(zhǔn)確性和有效性.

其次，要堅(jiān)持雙向應(yīng)用原則.教師既要利用圖形的直觀性來解決代數(shù)問題，也要利用代數(shù)的精確性來分析幾何圖形.通過這種雙向應(yīng)用的方式，學(xué)生可以更深入地理解數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在聯(lián)系，提高他們解決數(shù)學(xué)問題的效率.同時(shí)，這也有助于培養(yǎng)學(xué)生全面分析問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維和空間想象能力.

最后，要堅(jiān)持簡(jiǎn)單應(yīng)用原則.在具體的問題解決過程中，教師要根據(jù)問題的性質(zhì)選擇合適的代數(shù)法或幾何法，以簡(jiǎn)化問題解決的過程，提高解決問題的效率.這不僅可以降低學(xué)生解決問題的難度，也有助于增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自信心.

2 影響學(xué)生解題能力的原因

2.1 數(shù)學(xué)思想方法意識(shí)不強(qiáng)

解決數(shù)學(xué)問題離不開數(shù)學(xué)思想方法的支撐，盡管在初中階段，教材中并未有一節(jié)課專門講解數(shù)學(xué)思想方法，然而，從初一開始，每一本數(shù)學(xué)教材都在傳遞著各種各樣的數(shù)學(xué)思想方法.這些數(shù)學(xué)思想方法隱藏在課本知識(shí)中，不易被直觀地看到，相比數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)與運(yùn)用要更為復(fù)雜和困難.許多學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法意識(shí)不強(qiáng)，主要原因在于：首先，一些學(xué)生審題后感覺有了解題思路后便快速開始解題，而解題思路也往往只有一種，沒有用心去思考是否還有更多的解題方向，也沒有思考哪種方法更適用于解題過程；其次，有些學(xué)生雖然對(duì)一些數(shù)學(xué)思想方法有所了解，但他們對(duì)這些方法的掌握往往停留在表面，不能理解各種思想方法的特性和使用范圍，這就導(dǎo)致他們?cè)诿鎸?duì)具體問題時(shí)，無法靈活運(yùn)用這些思想方法，或者在解決問題時(shí)出現(xiàn)失誤.

2.2 數(shù)學(xué)思維能力較弱

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中提出：“……培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理、總結(jié)歸納、構(gòu)建模型、空間猜想等數(shù)學(xué)思維能力.”數(shù)學(xué)思維可以分為數(shù)學(xué)邏輯思維和數(shù)學(xué)形象思維，這兩種思維既相互獨(dú)立，又相互關(guān)聯(lián).一般來說，在解題過程中，學(xué)生首先通過審題來直觀地理解題意，這就是形象思維的體現(xiàn)；之后，運(yùn)用邏輯思維，對(duì)題意進(jìn)行分析、推導(dǎo)和聯(lián)想；最終將問題求解出來，這充分體現(xiàn)了邏輯思維的重要性.然而，在實(shí)際數(shù)學(xué)解題中，學(xué)生很容易受到定向思維的影響，當(dāng)遇到常規(guī)或典型的例題時(shí)，他們能夠根據(jù)所學(xué)的知識(shí)概念快速判斷解題思路，但當(dāng)面對(duì)開放探究型題目時(shí)，由于很多學(xué)生的思維能力較弱，思考問題時(shí)容易變得固化，不能靈活運(yùn)用多種解題思維，導(dǎo)致解題受阻.

2.3 題后缺乏反思

在實(shí)際教學(xué)中，很多學(xué)生在發(fā)現(xiàn)解題錯(cuò)誤后，只是簡(jiǎn)單地核對(duì)一下正確答案，并沒有認(rèn)真分析出錯(cuò)的原因，也沒有反思解題思路和過程，沒有真正地將錯(cuò)題搞明白，導(dǎo)致之后再遇到同樣類型的問題時(shí)，仍然會(huì)再次出錯(cuò)，浪費(fèi)了大量的時(shí)間和精力，解題能力也沒有得到有效的提高.目前，許多學(xué)生都存在這樣的問題，反復(fù)做題卻反復(fù)出錯(cuò)，這是因?yàn)樗麄內(nèi)狈Ψ此家庾R(shí)，不愿意主動(dòng)去總結(jié)和分析錯(cuò)題，學(xué)生只是為了解題而解題，失去了解題的意義和價(jià)值.

3 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用路徑

3.1 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式（組）的問題

不等式是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)是初中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的重要一環(huán).教師在日常教學(xué)中若用文字來簡(jiǎn)單描述不等式的內(nèi)涵和概念，很難引發(fā)學(xué)生的深度思考，導(dǎo)致教學(xué)效果只流于表面形式.因此，在解決不等式問題的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合思想的角度去發(fā)現(xiàn)解題思路，從而加深學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.例如，關(guān)于x的不等式組0≤x²＋ax＋4≤2有唯一的解，求解a的值.由于題目中沒有展示任何圖形信息，很多學(xué)生在解題時(shí)便也不考慮用圖形解題的思路，而是直接對(duì)題目進(jìn)行計(jì)算.對(duì)于這類題目來說，運(yùn)用數(shù)量分析的思路來解題并不是最優(yōu)選擇，不僅解題過程復(fù)雜而且還容易產(chǎn)生思路混淆.對(duì)此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)該不等式組進(jìn)行拆解，得到y(tǒng)＝x²＋ax＋4，y＝0，y＝2這三個(gè)方程式，這時(shí)學(xué)生便想到可以通過圖象繪制的方式來解題，并在此過程中找到三個(gè)方程式之間的關(guān)系，最終得出“只要拋物線和直線滿足具有唯一交點(diǎn)這一條件，便能得到題目中所說的‘唯一的解”.通過這種解題方式，學(xué)生能夠進(jìn)一步了解到“圖”與“形”之間切換和結(jié)合的關(guān)系，并在圖象繪制的過程中使解題思路更加清晰，從而有效提高解題能力.

3.2 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)的問題

在實(shí)際解題過程中，很多學(xué)生對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)問題往往無法快速理清思路，究其原因是因?yàn)閷W(xué)生沒有找到空間關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的連接點(diǎn).函數(shù)問題實(shí)際上就是融入了代數(shù)知識(shí)以及幾何內(nèi)容的綜合數(shù)學(xué)問題，因此在解決函數(shù)問題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，通過“以形輔數(shù)”的思維快速找到解題的突破口.例如，小輝正在進(jìn)行羽毛球訓(xùn)練，小輝的身高為1.35 m，高度以AB來表示，此時(shí)當(dāng)他進(jìn)行打擊后，羽毛球擊飛的最高點(diǎn)為2.35 m，若此時(shí)羽毛球與小輝的實(shí)際水平距離正好為1 m，則羽毛球的落點(diǎn)C和小輝的位置B的水平距離約多少米呢？通過圖1能夠看出，題目所求的B到C的距離是一條直線距離，其中涉及“拋物線”知識(shí)中的“應(yīng)用型函數(shù)”這一知識(shí)點(diǎn)，通過觀看圖形和圖象能夠使學(xué)生快速地對(duì)該題有一個(gè)直觀的了解.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析時(shí)，教師要保證學(xué)生能夠通過圖象轉(zhuǎn)換判斷數(shù)量關(guān)系的準(zhǔn)確性，并形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}思路.

3.3 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決幾何的問題

如果說不等式和函數(shù)問題都是通過數(shù)形結(jié)合思想中的“以形輔數(shù)”思維來解題的，那么幾何問題則是通過“以數(shù)助形”的思維來解決的.幾何問題就是基于幾何定理，給出特定的條件和信息，通過分析得出最終結(jié)論，其難點(diǎn)主要在于學(xué)生即使了解所涉及的幾何定理，但是也不能保證正確推理出證明過程.對(duì)此，就需要教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題目中所給出的條件和信息，將數(shù)量關(guān)系對(duì)應(yīng)到空間關(guān)系，并且采用反向思維去推理驗(yàn)證，從而明晰解題思路.在實(shí)際解題時(shí)，很多學(xué)生會(huì)因?yàn)閹缀螆D形較為復(fù)雜而不知從何入手，這時(shí)教師可以指導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜煩瑣的圖形拆解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的圖形，并從中找到有效信息，化繁為簡(jiǎn)，從而掌握分解圖形的規(guī)律，并形成正確的解題思路.

例如，在幾何證明中通過分析數(shù)字比值關(guān)系來證明三角形相似關(guān)系，通過運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能夠有效合理地完成這一證明過程.如圖2所示，四邊形CBFG為正方形，且在△ACB中∠ABC＝90°，E為AG與CB的交點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn).已知AB∥DE，求證BE＝DE.

從圖2中能夠看出，BE與DE兩條線段包含了兩個(gè)三角形，因此教師可以引導(dǎo)學(xué)生將圖形拆解為兩個(gè)三角形，并通過圖形中所給出的較多的平行條件作為解題方向，在證明BE＝DE時(shí)，可以通過比例線段進(jìn)行推理和驗(yàn)證.具體步驟為：證明△ACG∽△ADE，則可以證明DE∶CG＝AE∶AG.證明△AEB∽△AGF，則可以證明BE∶FG＝AE∶AG，所以DE∶CG＝BE∶FG.同時(shí)因?yàn)樵谡叫蜟BFG中CG＝FG，所以BE＝DE.

4 結(jié)論

初中數(shù)學(xué)問題具有邏輯性和抽象性的特點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能夠有效幫助學(xué)生明確解題方向，并且啟發(fā)學(xué)生從多個(gè)角度去思考問題，拓展解題思維，從而做到舉一反三.為了能夠使學(xué)生更好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，教師需要制定出科學(xué)合理的教學(xué)計(jì)劃，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，及時(shí)做到題后反思，彌補(bǔ)知識(shí)漏洞，使學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣和思維意識(shí)，從而真正有效地提高解題能力.

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