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    借助整體思想,促進(jìn)初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)

    2024-04-10 06:02:01崔娟王彪彪
    數(shù)理天地(初中版) 2024年5期
    關(guān)鍵詞:整體思想解題教學(xué)初中數(shù)學(xué)

    崔娟 王彪彪

    【摘要】在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,解題訓(xùn)練環(huán)節(jié)不容忽視,是鍛煉學(xué)生解題能力的重要途徑,關(guān)系到學(xué)以致用能力的發(fā)展,不過(guò)有的題目比較特殊,僅依靠常規(guī)方法很難求解,教師可指導(dǎo)他們借助整體思想,使其形成簡(jiǎn)便的解題思路,促進(jìn)解題教學(xué)質(zhì)量的提高.筆者據(jù)此展開(kāi)探討,并列舉部分解題案例.

    【關(guān)鍵詞】整體思想;初中數(shù)學(xué);解題教學(xué)

    整體思想,就是從問(wèn)題整體角度出發(fā),分析與改造問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu),找到問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征,將題目中的一些式子或者圖形視為一個(gè)整體,把握好彼此之間的聯(lián)系,繼而展開(kāi)有意識(shí)、有目的的整體處理.

    1? 借助整體代入法解決數(shù)學(xué)題目

    整體代入即在解題中,學(xué)生結(jié)合題目條件和結(jié)論先選擇一個(gè)代數(shù)式作為整體,再對(duì)所求式子展開(kāi)化簡(jiǎn)或變形,最后將代數(shù)式整體代入到原式中,從而達(dá)到順暢解題的目的.在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中,整體代入法通常用來(lái)處理代數(shù)式化簡(jiǎn)或者求值類試題,當(dāng)碰見(jiàn)此類數(shù)學(xué)試題時(shí),教師可引導(dǎo)學(xué)生借助整體代入法對(duì)先整合題目中的式子,再代入與求值,逐步提高他們的解決數(shù)學(xué)試題水平[1].

    例1? 假如a=4+3,b=4-3,請(qǐng)求aa-ab-ba+b的值.

    分析? 解決本道題目時(shí),如果直接將a、b的值代入到原式中求解,計(jì)算起算相當(dāng)繁瑣,但是能夠?qū)、b兩個(gè)式字進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn),再整體代入到原式中求解,產(chǎn)生化繁為簡(jiǎn)的效果.

    詳解? 因?yàn)閍=4+3,b=4-3,

    所以a+b=8,a-b=23,

    則原式aa-ab-ba+b

    =(a)2a(a-b)-ba+b

    =aa-b-ba+b

    =a(a+b)-b(a-b)(a-b)(a+b)

    =a+ba-b=823=433,

    所以aa-ab-ba+b的值是433.

    2? 借助整體設(shè)元法解決數(shù)學(xué)題目

    助整體設(shè)元法來(lái)處理部分題目,結(jié)合算式特點(diǎn)展開(kāi)整體設(shè)元,通過(guò)新的量將題干中的原式或者原式的一部分來(lái)替代,巧妙進(jìn)行等量代換,實(shí)現(xiàn)減少運(yùn)用量的效果,讓他們學(xué)會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.

    例2? 已知a1,a2,a3……a2009都為正數(shù),

    設(shè)M=(a1+a2+a3+…+a2008)×(a2+a3+a4…+a2009),

    N=(a1+a2+a3+…+a2009)×(a2+a3+a4…+a2008),

    請(qǐng)問(wèn)M和N誰(shuí)大?

    分析? 在這一題目中,很難直接對(duì)M和N的大小關(guān)系進(jìn)行比較,但是通過(guò)閱讀題目?jī)?nèi)容以后發(fā)現(xiàn)M和N式子的每個(gè)括號(hào)中均含有一樣的項(xiàng),可借助整體思想解題,采用整體設(shè)元的方法來(lái)求解.

    詳解? 設(shè)a1+a2+a3…+a2008=x,a2+a3+a4…+a2008=y,

    所以a-y=a1>0,

    M-N=x(y+a2009)-(x+a2009)y

    =xy+xa2009-xy-ya2009

    =a2009(x-y)>0

    所以M>N,即為M比N大.

    3? 借助整體合并法解決數(shù)學(xué)題目

    在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,代數(shù)類題可將一些代數(shù)式、方程式或者不等式展開(kāi)合并,合并之后通常往往能夠進(jìn)行湊整或者消元,這一整體思想即為常見(jiàn)的整體合并.初中數(shù)學(xué)教師可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況借助整體合并的方法解決部分含有代數(shù)式、方程式、不等式或者的題目,使其結(jié)合解題需要合理就那些整體處理,把問(wèn)題變得更為簡(jiǎn)潔,讓他們順暢的解題[2].

    例3? 已知a,b,c都為常數(shù),x,y是任意實(shí)數(shù),A=(a-b)x+(b-c)y+(c-a),B=(b-c)x+(c-a)y+(a-b),C=(c-a)x+(a-b)y+(b-c)C,證明:A,B,C既不能均為正數(shù),也不能均為負(fù)數(shù).

    分析? 解決本題時(shí),如果采用常規(guī)方法要用到分類討論思想,對(duì)a,b,c這三個(gè)常數(shù)的正負(fù)情境進(jìn)行分類討論,但是x,y是任意實(shí)數(shù),并非固定數(shù),顯得難度更大,不翻譯繼而采用整體合并法進(jìn)行解題,將A,B,C這三個(gè)式子進(jìn)展開(kāi)整體合并,就能夠輕松證明結(jié)論.

    詳解? 根據(jù)題意A+B+C化簡(jiǎn)后可得

    ax-bx+by-cy+c-a+bx-cx+cy-ay+a-b+cx-ax+ay-by+b-c=0

    隨后采用反證法,如果結(jié)論不成立,即為A,B,C同號(hào),

    假如均為正數(shù),則A+B+C>0,假如均為負(fù)數(shù),則A+B+C<0,

    均與已知條件存在沖突,所以A,B,C既不能均為正數(shù),也不能均為負(fù)數(shù).

    4? 借助整體配湊法解決數(shù)學(xué)題目

    整體思想中“配湊”就是采用適當(dāng)?shù)摹捌础被蛘摺皽悺钡姆椒ǎ言囶}變得清晰明了,降低題目的解題難題,一般來(lái)說(shuō),“配”和“湊”是互為補(bǔ)充、相互依托和相輔相成的,通過(guò)配湊通??蛇_(dá)到事半功倍的解題效果.

    例4? 已知a+2b+3c=12,a2+b2+c2=ab+bc+ac,請(qǐng)求a+b2+c2的值.

    分析? 要想求出該式子值,就需把a(bǔ),b,c的值給求出來(lái),但是采用常規(guī)方法很難實(shí)現(xiàn),通過(guò)對(duì)第二個(gè)等式的研究發(fā)現(xiàn)能夠利用整體配湊法,找出a,b,c的關(guān)系,再借助第一個(gè)等式就能夠求出a,b,c的值.

    詳解? 因?yàn)閍2+b2+c2=ab+bc+ac,

    所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,

    整理后得到(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,

    所以(a-b)=c,

    將(a-b)=c代入到a+2b+3c=12,

    可得a=b=c=2,

    所以a+b2+c2=2+4+4=10,

    即為a+b2+c2的值是10.

    5? 借助整體補(bǔ)形法解決數(shù)學(xué)題目

    對(duì)于初中數(shù)學(xué)幾何解題訓(xùn)練來(lái)說(shuō),因?yàn)樵囶}中通常會(huì)搭配圖形,解決此類試題的關(guān)鍵點(diǎn)就是將一些非特殊或不規(guī)則的圖形視作一個(gè)整體,再添加相應(yīng)的輔助線補(bǔ)充成整體圖像,顯得特殊化或規(guī)則化,以此有效降低題目的解答難度,部分隱性條件也變得顯性化,有助于學(xué)生迅速確定切入點(diǎn),促使他們能夠借助整體補(bǔ)形法完成題目解答[3].

    例5? 如圖1所示,在三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BM為中線,過(guò)頂點(diǎn)A作BM的垂線AD同BC相交于點(diǎn)D,同BM相交于點(diǎn)E,證明:∠AMB=∠DMC.

    詳解? 將三角形ABC補(bǔ)成一個(gè)以BC為對(duì)角線的正方形ABGC,

    延長(zhǎng)AD同CG相交于點(diǎn)F,

    因?yàn)樵谌切蜛BC中∠BAC=90°,

    所以∠ABM+∠AMB=90°.

    因?yàn)锳E⊥BM,所以∠EAM+∠AMB=90°,

    所以∠ABM=∠EAM,

    又因?yàn)锳B=AC,

    所以RtΔABM≌RtΔCAF,

    所以FC=AM=MG.

    因?yàn)辄c(diǎn)F與點(diǎn)M關(guān)于BC對(duì)稱,

    所以∠DFC=∠DMC

    又因?yàn)镽tΔABM≌RtΔCAF

    所以∠AMB=∠DFC,所以∠AMB=∠DMC.

    6? 總結(jié)

    在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,教師既要關(guān)注基本理論知識(shí)與常規(guī)運(yùn)算技巧的講授,還需注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透,為學(xué)生在解題中更好的應(yīng)用數(shù)學(xué)思想做鋪墊,使其根據(jù)具體題目?jī)?nèi)容充分借助整體思想的優(yōu)勢(shì)展開(kāi)解題,讓他們找到簡(jiǎn)潔的解題方法,不斷提升個(gè)人數(shù)學(xué)解題水平.

    參考文獻(xiàn):

    [1]魏爽.整體思想在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用[J].數(shù)理天地(初中版),2022(17):87-88.

    [2]沈小軍.整體思想在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)(初中版),2020(12):19-20.

    [3]姜華文.淺談?wù)w思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2020(11):63-64.

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