領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想?提升解題能力

平金泉

摘 要：人類(lèi)活動(dòng)離不開(kāi)思維發(fā)展，而思維的發(fā)展程度是整個(gè)智力發(fā)展的縮影。新課程理念對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)教師提出了更高的要求，切實(shí)把握新理念，改變傳統(tǒng)教學(xué)模式，使學(xué)生正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，則是開(kāi)展好數(shù)學(xué)教學(xué)的必要條件。初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想，其基本數(shù)學(xué)思想有整體思想、方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等。文章通過(guò)突出這些基本思想，使學(xué)生達(dá)到方法的掌握、思想的形成和能力提升的境界，讓學(xué)生終身受益。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；整體思想；方程與函數(shù)；數(shù)形結(jié)合；分類(lèi)討論；轉(zhuǎn)化與劃歸

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，它支撐和統(tǒng)帥著基礎(chǔ)知識(shí)。數(shù)學(xué)思想方法的自覺(jué)運(yùn)用往往能使我們運(yùn)算簡(jiǎn)捷、推理機(jī)敏，這是提高數(shù)學(xué)解題能力的必由之路。

所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生結(jié)果，是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過(guò)概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中普遍存在的規(guī)律，直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)。通過(guò)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，其數(shù)學(xué)解題能力才會(huì)有一個(gè)大幅度的提高。掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓，作為一名初中數(shù)學(xué)教師，必須在組織學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的過(guò)程中不斷地滲透數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思想的真諦，才能使學(xué)生的解題能力達(dá)到一個(gè)質(zhì)的飛躍。

數(shù)學(xué)思想是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中抽象概括出來(lái)的，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。初中數(shù)學(xué)整套教材涉及的數(shù)學(xué)思想有很多種，例如用字母表示數(shù)的思想，這是最基本的數(shù)學(xué)思想之一。在蘇科版七年級(jí)（上冊(cè)）第三章中有一章節(jié)題目就叫 “用字母表示數(shù)”，主要體現(xiàn)了這種思想，這也是有別于小學(xué)的算術(shù)方法，使學(xué)生邁進(jìn)了代數(shù)領(lǐng)域的大門(mén)。這種思想對(duì)整個(gè)初中乃至高中和以后的學(xué)習(xí)都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

筆者從多年的教學(xué)研究和教學(xué)實(shí)踐中，高度概括得出初中數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想有：①整體思想；②方程與函數(shù)思想；③數(shù)形結(jié)合思想；④分類(lèi)討論思想；⑤轉(zhuǎn)化與化歸思想；⑥符號(hào)思想；⑦類(lèi)比思想；⑧建模思想，等等。本文就前面的五種數(shù)學(xué)思想作進(jìn)一步的探究。

一、整體思想

所謂整體思想是指將有共同特征的某一類(lèi)問(wèn)題看成一個(gè)完整的整體，通過(guò)對(duì)其全面深刻的觀察，著眼于問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)，從整體上把握問(wèn)題的本質(zhì)內(nèi)容，從而提出解決問(wèn)題的方向和策略。

例如，已知，求代數(shù)式的值。

分析：本題不能解出x、y的具體數(shù)值，所以從分析所求代數(shù)式的形式入手，結(jié)合已知條件，可以把“x-y”或者“xy”作為一個(gè)整體，由已知條件得到x-y=-3xy，代入代數(shù)式，替換xy；或者得到，代入代數(shù)式替換x-y，都可以解決本題。

在幾何圖形中，也有考慮圖形的整體，用整體思想解決問(wèn)題。例如，如圖1， ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=

。

分析：本題也不能具體解出各個(gè)角的度數(shù)，觀察圖形可以得出∠1+∠2等于△ADE的一個(gè)外角，同理，這六個(gè)角的和正好就是△ABC的外角和，從而題目迎刃而解。

整體思想不但在已知條件或已知圖形中可以發(fā)現(xiàn)，甚至在解題過(guò)程中的應(yīng)用也很廣泛。例如，買(mǎi)鉛筆4支，日記本3本，圓珠筆2支，共需10元；若買(mǎi)鉛筆9支，日記本7本，圓珠筆5支，共需25元，則購(gòu)買(mǎi)鉛筆、日記本、圓珠筆各一樣共需 元。

分析：本題對(duì)于一部分學(xué)生只能根據(jù)已知條件列出兩個(gè)三元一次方程組，但具體解答就難住了。分析原因，我想對(duì)于這部分學(xué)生，肯定在想具體解出各種文具的單價(jià)，再求和，所以解不出來(lái)。而實(shí)質(zhì)上本題的中心思想是就是求三種文具的整體的和，具體解法如下：設(shè)鉛筆每支x元，日記本每本y元，圓珠筆每支z元，即求x+y+z的整體的和，列出方程組：，②-①×2得到x+y+z=5即可。

二、方程與函數(shù)思想

初中函數(shù)重點(diǎn)研究一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，初中方程按“元”分類(lèi)有一元方程、二元方程、三元方程，按“次”分類(lèi)有一次方程、二次方程。方程與函數(shù)，甚至與不等式相聯(lián)系，是知識(shí)整合提升很重要的內(nèi)容。方程與函數(shù)、不等式是通過(guò)研究函數(shù)值等于常數(shù)、大于常數(shù)或小于常數(shù)而相互關(guān)聯(lián)的，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系。方程與函數(shù)思想，既是方程思想與函數(shù)思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運(yùn)用的體現(xiàn)，是研究變量與函數(shù)、相等與不等過(guò)程中的基本數(shù)學(xué)思想。

在蘇科版九年級(jí)下冊(cè)中，有一節(jié)就是研究“二次函數(shù)與一元二次方程”的關(guān)系，書(shū)中專(zhuān)門(mén)編排一節(jié)內(nèi)容，體現(xiàn)了這種思想方法的重要性。一般地，如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)（x1，0）、（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，反之亦成立。

例如，已知二次函數(shù)y=-x2+2x+m的部分圖像如圖2所示，你能否確定關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解？

分析：根據(jù)圖像可知，二次函數(shù)y=-x2+2x+m的部分圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0），把該點(diǎn)代入得到方程，求得m值；然后把m值代入關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+m=0，求根即可?；蛘吒鶕?jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸直線x=1，經(jīng)過(guò)一個(gè)交點(diǎn)（3，0），則必經(jīng)過(guò)另一交點(diǎn)（-1，0），所以方程的兩個(gè)根就是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

本題就是考查二次函數(shù)與一元二次方程的整合，可以延伸為“求不等式-x2+2x+m>0的解集”，這就是和不等式相關(guān)聯(lián)。觀察圖像在-1

又如，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖3所示，且方程ax2+bx+c-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）

A.k<2 B.k=2

C.k>2 D.無(wú)法確定

分析：如果根據(jù)b2-4ac的符號(hào)來(lái)判別解的情況，本題將無(wú)從入手，可將原方程變形為ax2+bx+c=k，從而理解成是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，即由圖像可知，只要y=k<2就一定與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，答案選A。

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的解題方法。所謂數(shù)形結(jié)合是指把數(shù)學(xué)問(wèn)題用數(shù)量關(guān)系與圖形結(jié)合起來(lái)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，數(shù)量關(guān)系與圖形位置關(guān)系這兩者之間有著緊密而又較隱含的相互關(guān)系。在解題時(shí)，往往需要揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，由數(shù)→形→問(wèn)題的解答；或由形→數(shù)→問(wèn)題的解答，使問(wèn)題化難為易，由數(shù)想形、由形知數(shù)，這就是一種數(shù)形結(jié)合思想。

例如，已知|x-1|+|2+x|=3，則x的取值范圍是 。

分析：本題可采用數(shù)形結(jié)合思想，理解|x-1|表示數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)1的距離，|2+x|=|x-（-2）|表示數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)-2的距離。如圖4所示，則1和-2兩點(diǎn)距離之和為3的點(diǎn)x可以是以1和-2為端點(diǎn)的線段上的任意一點(diǎn)，這樣由數(shù)軸的“形”就得到“數(shù)”x的取值范圍。

再如，（2012年四川自貢）偉偉從學(xué)校勻速回家，剛到家發(fā)現(xiàn)當(dāng)晚要完成的試卷忘記在學(xué)校，于是馬上以更快的速度勻速沿原路返回學(xué)校。在這一情景中，速度v和時(shí)間t的函數(shù)圖像（不考慮圖像端點(diǎn)情況）大致是 （ ）。

分析：根據(jù)題意（如圖5），縱坐標(biāo)表示的是速度，而橫坐標(biāo)表示的是時(shí)間，根據(jù)往返路程相同，回家時(shí)慢，速度慢，時(shí)間長(zhǎng)；返校時(shí)快，速度快，時(shí)間短，這樣就由速度、時(shí)間的“數(shù)”得到了函數(shù)圖像的“形”，再次體現(xiàn)了數(shù)形的完美結(jié)合。

四、分類(lèi)討論思想

所謂分類(lèi)討論是指在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中，根據(jù)所研究問(wèn)題的某種相同性和差異性將它們分類(lèi)來(lái)進(jìn)行研究的思想方法。分類(lèi)討論特點(diǎn)是分類(lèi)必須周全，既不能重復(fù)，也不能遺漏；分類(lèi)中的每一部分都應(yīng)是相互獨(dú)立的；一次分類(lèi)按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；分類(lèi)須有一定的范圍，不能超范圍。

例如，我們?cè)谶M(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，就有對(duì)實(shí)數(shù)的分類(lèi)，可分成有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，或分成正實(shí)數(shù)、負(fù)實(shí)數(shù)和零；對(duì)三角形的分類(lèi)，可按邊進(jìn)行分類(lèi)，分成不等邊三角形和等邊三角形，或按角分類(lèi)可分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)進(jìn)行分類(lèi)，可以降低學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的針對(duì)性，幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)脈絡(luò)，有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的條理性、縝密性、靈活性，使學(xué)生學(xué)會(huì)完整地考慮問(wèn)題，化整為零地解決問(wèn)題。

在歷年的數(shù)學(xué)中考中，分類(lèi)討論思想都有廣泛的應(yīng)用，是解題中一種常用的思想方法。例如，已知函數(shù)y=mx2-4x+6的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為多少？

分析：本題中應(yīng)該分兩類(lèi)，①若m=0，則該函數(shù)為一次函數(shù)，與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意；②若m≠0，則該函數(shù)為二次函數(shù)，應(yīng)計(jì)算△=0的情況，從而解出m=，所以本題的答案應(yīng)該是m=0或m=。在這里很多學(xué)生往往會(huì)忽略一次函數(shù)的情形，說(shuō)明他們思維比較定式，應(yīng)重點(diǎn)分析題意。

再如，三角形的每條邊的長(zhǎng)都是方程x2-6x+8=0的根，則三角形的周長(zhǎng)是多少？

分析：解方程得出x1=2，x2=4，考慮到能否組成三角形，所以很多同學(xué)只寫(xiě)了周長(zhǎng)等于10，而這里卻忽略了等邊三角形的情形，正確的答案應(yīng)該是周長(zhǎng)為6、10或12。

因此，不管在講解概念，還是在解題過(guò)程中，都應(yīng)該重點(diǎn)給學(xué)生分析如何審題、如何分類(lèi)，使學(xué)生的知識(shí)形成一個(gè)系統(tǒng)，完整地考慮問(wèn)題，從而解決問(wèn)題。

五、轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化思想是由一種形式變換成另一種形式的思想，而化歸思想是把有可能解決的或未解決的問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化過(guò)程，變換成較易解決的問(wèn)題，以求得解。

在數(shù)學(xué)中，知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系是十分緊密的，新知識(shí)往往是舊知識(shí)的引伸和擴(kuò)展。讓學(xué)生面對(duì)新知會(huì)用轉(zhuǎn)化或化歸思想去思考問(wèn)題，讓學(xué)生在操作時(shí)化未知為已知，這對(duì)學(xué)生獨(dú)立獲得新知能力的提高無(wú)疑是有很大幫助的。如分式的基本性質(zhì)就可以通過(guò)復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)引入，再如在數(shù)學(xué)解題中，幾何的等積變換、解方程的同解變換、公式的變形等。

如已知x+y=7，xy=12，則x

再如，如圖6所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之間的關(guān)系是

。

分析：本題的解決方法就可以通過(guò)轉(zhuǎn)化來(lái)實(shí)現(xiàn)。只要平移一條腰，利用平行四邊形的性質(zhì)，把正方形的邊長(zhǎng)關(guān)系轉(zhuǎn)化在一個(gè)直角三角形中考慮，再利用勾股定理，得出直角三角形的三邊關(guān)系，從而得出S1+S3=S2.

又如，大于1的正整數(shù)m的三次冪可

“分裂”成若干個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如：

23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19…若m3“分裂”后，其中有一個(gè)奇數(shù)是2013，則m的值是（ ）

A.43 B.44 C.45 D.46

分析：本題可以通過(guò)化歸的思想，找出規(guī)律，即可解答。∵23=3+5，33=

7+9+11，43=13+15+17+19…∴m3分裂后的第一個(gè)數(shù)是m（m-1）+1，共有m個(gè)奇數(shù)。∵45×（45-1）+1=1981，

46×（46-1）+1=2071，∴第2013個(gè)奇數(shù)是底數(shù)為45的數(shù)的立方分裂后的一個(gè)奇數(shù)，∴m=45。

在實(shí)際教學(xué)和解題過(guò)程中，若遇到較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，能夠辯證地分析問(wèn)題，抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，陌生的問(wèn)題熟悉化，抽象的問(wèn)題具體化，通過(guò)一定的策略和手段，把隱含的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為明顯的數(shù)量關(guān)系，把從這一個(gè)角度提供的信息轉(zhuǎn)化為從另一個(gè)角度提供的信息關(guān)系，這就是轉(zhuǎn)化與化歸的實(shí)質(zhì)。已知與未知、數(shù)量與圖形、概念與概念之間、圖形與圖形之間都可以通過(guò)轉(zhuǎn)化，來(lái)獲得解決問(wèn)題的轉(zhuǎn)機(jī)。

數(shù)學(xué)思想遠(yuǎn)不止以上幾種，還有數(shù)學(xué)建模思想、符號(hào)思想、類(lèi)比思想、假設(shè)思想、整分思想、公理化思想，等等。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，只有真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，才能形成一定的數(shù)學(xué)解題方法，提高學(xué)生的解題能力，這也是數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要的目的。我們應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)中重視滲透數(shù)學(xué)思想，總結(jié)數(shù)學(xué)方法，使數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法相結(jié)合，使學(xué)生以積極創(chuàng)新的思想方法汲取知識(shí)，進(jìn)一步提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。才能使學(xué)生受益終身。