基于逆向思維培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)探索

【摘要】高中數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)出典型的復(fù)雜性和系統(tǒng)性，這就對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力提出更高的要求.逆向思維的培養(yǎng)能夠使學(xué)生改變認(rèn)知和思考知識的角度，能夠在潛移默化的狀態(tài)下促進(jìn)學(xué)生思維的創(chuàng)新，有助于發(fā)展學(xué)生的學(xué)科綜合素養(yǎng).基于此，文章簡述了高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意義，并從概念教學(xué)、公式教學(xué)、數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)應(yīng)用四個(gè)方面探索了在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的策略.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；逆向思維

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，一些教師仍然沿用傳統(tǒng)的教學(xué)模式，按部就班地展開教學(xué)，而這必然會導(dǎo)致學(xué)生形成固化思維、機(jī)械化定式，既不利于學(xué)生緊抓知識本質(zhì)，也難以提高學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).在這樣的情形下，要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，教師就需要突破原有的教學(xué)思路，在學(xué)生習(xí)慣了的順向思維的基礎(chǔ)上，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.已有的研究表明，逆向思維的培養(yǎng)，能夠使學(xué)生改變認(rèn)知和思考知識的角度，能夠在潛移默化的狀態(tài)下促進(jìn)學(xué)生思維的創(chuàng)新，有助于發(fā)展學(xué)生的學(xué)科綜合素養(yǎng).逆向思維存在于數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)與運(yùn)用過程中，相比較而言，數(shù)學(xué)知識運(yùn)用尤其是解題過程中的逆向思維往往體現(xiàn)得更加明顯.一般認(rèn)為，逆向思維屬于常見的高中數(shù)學(xué)解題思維，與以往解題思路不同，往往為從答案到問題的解題思路.學(xué)生應(yīng)用逆向思維可以通過完全否定、推理、假設(shè)等多種形式完成解題，從而探索更多解題方式.但這并不意味著在知識建構(gòu)過程中沒有逆向思維培養(yǎng)的契機(jī)，事實(shí)上，教師在認(rèn)識到逆向思維培養(yǎng)的意義之后，無論是在新知識建構(gòu)過程中還是在已有知識運(yùn)用的過程中，都能夠激活逆向思維培養(yǎng)的動機(jī)，從而在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)更多的契機(jī).下面就從高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意義以及具體策略方面，談?wù)劰P者的一些初步思考.

一、高中數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意義

認(rèn)識逆向思維培養(yǎng)的意義非常重要，這決定了數(shù)學(xué)教師能否在課堂上將逆向思維的培養(yǎng)打開局面并堅(jiān)持下去.認(rèn)識逆向思維培養(yǎng)的意義，需要站在學(xué)生的角度，筆者在理論學(xué)習(xí)與實(shí)踐探索的基礎(chǔ)上總結(jié)出如下幾點(diǎn)：

（一）提高學(xué)生的智力水平

長久以來，滲透學(xué)習(xí)方法的方式就是以正向思維解決問題，很顯然這是一種思維慣性，如果僅限于此，不僅會極大地遏制學(xué)生思維的發(fā)展，也不利于他們吸取更廣泛的知識內(nèi)容.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師需要緊抓教學(xué)契機(jī)，有意識、有目的地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，有效彌補(bǔ)上述不足.當(dāng)具備較高的逆向思維意識以及思維能力之后，學(xué)生可以更好地把握解題技巧，高效找到正確的解題舉措.此外，還需要輔以相應(yīng)的實(shí)踐應(yīng)用，以訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，這是提高學(xué)生智力水平的關(guān)鍵保障.

（二）培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

對于逆向思維而言，從其本質(zhì)層面來看，應(yīng)當(dāng)歸屬于創(chuàng)新思想，其不僅可以突破常規(guī)思維，也能夠改變固化的思考模式，使學(xué)生在面對問題時(shí)能夠找到不同的解讀視角，從中提煉出新的觀點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，才能夠使學(xué)生深入觸及知識本質(zhì)，高效掌握數(shù)學(xué)知識.所以逆向思維能力，對學(xué)生而言具有極其重要的現(xiàn)實(shí)意義，其既能幫助學(xué)生開拓解題思路，還能夠使學(xué)生創(chuàng)造性地找到更有效的解題舉措，樹立創(chuàng)新精神.

（三）激發(fā)學(xué)生的自學(xué)意識

對于數(shù)學(xué)問題的解決，很多時(shí)候都需要引入逆向思維，由學(xué)生展開細(xì)致觀察以及深入思考，才能夠使學(xué)生準(zhǔn)確把握其淺顯條件，并以此為突破口展開更深層面的挖掘，找到更具有價(jià)值的隱藏條件.這一過程是對逆向解題思維的有效訓(xùn)練，同時(shí)能夠?yàn)閷W(xué)生帶來個(gè)性化解讀靈感，使他們可以掌握不同的解題方法，提高自學(xué)意識，發(fā)展學(xué)科綜合素養(yǎng).

通過上面的分析可以發(fā)現(xiàn)，在當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，本質(zhì)上在于優(yōu)化學(xué)生的智力結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，奠定數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的基礎(chǔ).實(shí)際上研究高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)的內(nèi)涵要素就可以發(fā)現(xiàn)，無論是數(shù)學(xué)抽象還是邏輯推理又或者是數(shù)學(xué)建模，其中都包含著豐富的思維要求，而逆向思維就是其中不可或缺的一部分，所以逆向思維能力的培養(yǎng)還有助于學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的策略

在數(shù)學(xué)思維體系中，逆向思維是一大關(guān)鍵原則，也是創(chuàng)造性思維不可或缺的重要構(gòu)成.培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，實(shí)際上也能夠同步提高學(xué)生的思維敏捷性和靈活度.學(xué)生如果掌握了正確的逆向思維方法，擁有一定的逆向思維能力，就能夠找到問題的反面，以此展開剖析、理解、推理和設(shè)想，這不僅可有效克服思維定式，還能夠找到不同的解題突破口，或者展現(xiàn)一種全新的解題路徑，使解題過程更簡單明了，同時(shí)進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的辯證思維能力.

基于教學(xué)實(shí)踐可以發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生之所以仍然處于較低的學(xué)習(xí)水平以及思維層次，主要原因在于其逆向思維能力相對薄弱，在學(xué)習(xí)公式和定理的過程中仍然以定向作為主導(dǎo)，生硬地識記，死板地套用，既缺乏觀察能力、分析能力，也難以實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造能力的提升.為了有效落實(shí)素質(zhì)教育，為了發(fā)展學(xué)生的學(xué)科綜合素養(yǎng)，教師需要加大對逆向思維的重視，結(jié)合有效的舉措使其得到訓(xùn)練和培養(yǎng).

眾所周知，數(shù)學(xué)是一個(gè)特別注重思維能力與思維邏輯的學(xué)科，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和思考數(shù)學(xué)問題時(shí)需要時(shí)刻保持清晰的頭腦，將對現(xiàn)實(shí)問題的思考與對數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)融合到一起，順著既定或未定的思維鏈條來展開整體視角下的解讀與分析，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)化與遷移.因此，有關(guān)思維的培養(yǎng)和訓(xùn)練永遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中十分重要的一個(gè)模塊.當(dāng)人們在日常生活中作出“數(shù)學(xué)學(xué)得好的一定是思維能力強(qiáng)的”這樣的樸素判斷時(shí)，實(shí)際上就是在強(qiáng)調(diào)思維對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性.在數(shù)學(xué)知識建構(gòu)的過程中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的重要契機(jī).具體闡述如下：

（一）在概念教學(xué)中培養(yǎng)逆向思維

在數(shù)學(xué)知識體系中概念是一大關(guān)鍵構(gòu)成.教材中所有的概念都以現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系以及基本形式作為本質(zhì)屬性，其本身具有較高的凝練性、抽象性.在講解數(shù)學(xué)概念的過程中，較為普遍的方式就是直接呈現(xiàn)概念，要求學(xué)生識記每一個(gè)文字的意義.實(shí)際上，應(yīng)當(dāng)以逆向的角度引導(dǎo)學(xué)生展開思考，這樣才有可能提高概念教學(xué)的效能，促使學(xué)生對概念展開深入探究，找到隱含其中的條件和性質(zhì)，幫助學(xué)生形成更深刻的解讀.

例如，在教學(xué)“映射”的過程中可以設(shè)計(jì)提問：A→B是集合A到集合B的映射，則集合A與集合B中的各元素的對應(yīng)情況會是什么樣的？實(shí)際上這一提問也是為了對學(xué)生的思維進(jìn)行引導(dǎo).結(jié)合交流探討環(huán)節(jié)，學(xué)生很快就能夠找到正確的答案.

概念是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容.數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不是將數(shù)學(xué)概念的定義直接提供給學(xué)生，而是要讓學(xué)生在自主思考的基礎(chǔ)上生成數(shù)學(xué)概念，并理解相應(yīng)概念的定義.在上面這樣一個(gè)案例中，“映射”是集合知識中的一個(gè)重要概念，可通過問題來引導(dǎo)學(xué)生的思維，讓學(xué)生有逆向運(yùn)用思維的空間，從而真正把握“映射”的本質(zhì).

（二）在公式教學(xué)中培養(yǎng)逆向思維

在數(shù)學(xué)知識體系中，對于數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)，一般情況下都是由左到右展開，但是當(dāng)前也出現(xiàn)了較為普遍的由右向左的運(yùn)用過程.顯然這也是一個(gè)逆向思考的方式.在解答數(shù)學(xué)問題的過程中，常常需要對公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但是對于大多數(shù)學(xué)生來說，在此方面明顯缺乏足夠的自覺性，也不具備相應(yīng)的基本功.所以，在具體教學(xué)過程中，為了培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，需要立足于公式和法則展開逆向思考，對其進(jìn)行逆向處理，使學(xué)生掌握正確的利用方法，這樣不僅能夠?yàn)閷W(xué)生留下深刻的印象，也能夠?yàn)榇祟悊栴}的解決提供有力的支持和幫助.

例如，在學(xué)習(xí)三角公式的過程中，由于其所涵蓋的知識面很廣，需要輔以逆向思維方式展開有效訓(xùn)練.這樣既可鍛煉學(xué)生的思維能力，也可激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生充分發(fā)揮主觀能動性.

一些學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中會機(jī)械地運(yùn)用一些公式去解題.學(xué)生之所以會對公式進(jìn)行機(jī)械運(yùn)用，很大程度上是因?yàn)樗季S固化.日復(fù)一日的解題讓學(xué)生總遵循著從已知向未知的推理過程，而如果本著培養(yǎng)學(xué)生思維能力的初衷來實(shí)施教學(xué)，就可以打破學(xué)生的思維定式，讓學(xué)生在運(yùn)用公式的時(shí)候有更加靈活的選擇.

（三）在數(shù)學(xué)分析中培養(yǎng)逆向思維

分析法所關(guān)注的重點(diǎn)是結(jié)論，然后執(zhí)果索因，步步回溯，以此尋求能夠使結(jié)論得以成立的條件.以分析法展開思考，其核心在于以求證的結(jié)論作為出發(fā)點(diǎn)，這樣學(xué)生才能夠了解應(yīng)該以哪些地方著手，才能就此展開積極主動的思考，增強(qiáng)解決問題的信心.由因?qū)Ч@種方法一般也稱其為綜合法.其與分析法各有優(yōu)勢，能夠有效彌補(bǔ)對方的不足.例如，在證明某個(gè)命題的過程中，可以首先使用分析法，發(fā)現(xiàn)能夠作為論證出發(fā)點(diǎn)的真命題；其次再使用綜合法，用于闡釋完整的證明過程.在當(dāng)前的教學(xué)實(shí)踐中，二者的相互配合非常廣泛，而且分析法大都用于不等式等方面的證明.

對于逆證法而言，雖然其出發(fā)點(diǎn)同樣為結(jié)論，但是其與分析法之間仍然存在顯著差別.逆證過程中，兩個(gè)論斷應(yīng)當(dāng)互為充要條件.在使用逆證法的過程中，首先需要對不等式以及恒等式進(jìn)行變形處理，然后推導(dǎo)出一個(gè)已知的不等式或者恒等式.一般情況下，逆證法并不簡單，其重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生掌握并靈活運(yùn)用分析法.

如果某個(gè)數(shù)學(xué)問題是以命題的形式出現(xiàn)的，要判斷其錯(cuò)誤，首先應(yīng)當(dāng)舉出一個(gè)例證，能夠滿足這一命題的條件，但是在這一條件下結(jié)論不成立，這就是反例.在實(shí)際教學(xué)過程中，應(yīng)幫助學(xué)生掌握構(gòu)造反例的方法，使學(xué)生既能夠深入理解定義定理，也能夠加深記憶、有效糾錯(cuò)，這也是培養(yǎng)逆向思維能力的有力手段.例如，“一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形為平行四邊形”，可以判定這是一個(gè)假命題，因?yàn)橹恍枰o出一個(gè)等腰梯形即可驗(yàn)證.

（四）在數(shù)學(xué)應(yīng)用中培養(yǎng)逆向思維

在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)應(yīng)用主要是指運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去解題.從實(shí)際情形來看，高中生已經(jīng)形成了自身的主觀因素，解決數(shù)學(xué)問題時(shí)也會有自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知，這就導(dǎo)致高中生在嘗試解決一些數(shù)學(xué)難題時(shí)會出現(xiàn)思維定式，導(dǎo)致高中生思維邏輯能力發(fā)展受到阻礙.因此，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，要加強(qiáng)學(xué)生思維邏輯能力的鍛煉，要讓學(xué)生從逆向思維邏輯方面進(jìn)行解析，打破學(xué)生的思維定式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強(qiáng)學(xué)生對高中數(shù)學(xué)難題的認(rèn)知，這樣才能真正培養(yǎng)出符合國家需求的創(chuàng)新型人才.高中數(shù)學(xué)知識體系最突出的特點(diǎn)就是公式較多，然而對于學(xué)生來說，只有熟練掌握公式，準(zhǔn)確把握其內(nèi)涵，才能夠做到靈活運(yùn)用，才有助于提高解題效率.這里所說的公式運(yùn)用與上面提到的公式教學(xué)有所不同，公式運(yùn)用更多的是面向?qū)W生的，教師要站在學(xué)生的角度去思考他們對公式的選擇與運(yùn)用，這樣才能夠借助公式運(yùn)用打開逆向思維培養(yǎng)的空間.在此過程中，教師需要結(jié)合實(shí)踐幫助學(xué)生樹立正確的公式互逆運(yùn)算意識.

例如，sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.對于高中生而言，這一公式并不陌生，但是在實(shí)際練習(xí)的過程中，如果只給出試題“sin24°cos36°+cos24°sin 36°=？”，學(xué)生雖然能夠產(chǎn)生似曾相識之感，但是仍然不知所措.之所以會出現(xiàn)這樣的問題，就是因?yàn)閷W(xué)生長期陷于慣性思維中，缺乏對公式的逆向掌握和聯(lián)系.筆者認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)在教學(xué)公式的過程中輔以逆向理解以及練習(xí)，以發(fā)展學(xué)生的逆向思維.

在練習(xí)過程中，需要帶領(lǐng)學(xué)生梳理已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識以及解題技巧，這樣才能幫助學(xué)生掌握一類例題的解決方法，提高解題效率.此外，還應(yīng)當(dāng)關(guān)注逆向思維的培養(yǎng)，這樣才能夠做到正難則反.例如，在面對某些數(shù)學(xué)題時(shí)，如果按照常規(guī)思路不能解答，就需要轉(zhuǎn)化思路，以逆向的視角展開思考，或者也可以結(jié)論作為出發(fā)點(diǎn)展開逆推.如（a+2）x2-8x+a=0，求a的取值應(yīng)該為多少，方程的根至少有一個(gè)為正實(shí)數(shù).針對此題，如果選擇常規(guī)思維，學(xué)生必然會發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)了很多結(jié)果.實(shí)際上，最適合的方式就是逆向思考，了解a在怎樣的情況下會出現(xiàn)兩個(gè)負(fù)根，這樣解題會更輕松、更便捷.

高中數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)呈現(xiàn)出較高的挑戰(zhàn)性以及思維性，也因此對師生提出了更高的要求.現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著“雙減”、核心素養(yǎng)培養(yǎng)以及新高考等背景，從宏觀現(xiàn)實(shí)來看，“雙減”政策落實(shí)的背景下，減負(fù)、提質(zhì)、增效的呼聲越來越高，而深度學(xué)習(xí)關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)思維的發(fā)展，致力于提高教學(xué)的有效性，打破了“題海戰(zhàn)術(shù)”的僵化學(xué)習(xí)模式，在減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)的同時(shí)保證了教學(xué)質(zhì)量.如果以教師的視角來看，需要立足于實(shí)踐，關(guān)注思維能力的培養(yǎng)，特別是逆向思維能力的滲透，這樣才有助于學(xué)生掌握高效的解題技巧，提高學(xué)習(xí)效能，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

結(jié) 語

總體而言，要將逆向思維能力的培養(yǎng)落到實(shí)處，高中數(shù)學(xué)教師就要認(rèn)同逆向思維培養(yǎng)的意義，要在教學(xué)中開辟出時(shí)間與空間，來讓學(xué)生有更多體驗(yàn)?zāi)嫦蛩季S運(yùn)用的機(jī)會，從而形成屬于學(xué)生自己的逆向思維生長體驗(yàn)，這是逆向思維能力培養(yǎng)的必由之路.

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