舉例中論證 求聯(lián)中深化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強調(diào)要借助運算提升學(xué)生推理能力的發(fā)展。史寧中教授在課標(biāo)解讀活動中，也多次提及在小學(xué)階段要注重代數(shù)推理。因此挖掘有效材料，借助不同形式來促進學(xué)生借助運算來發(fā)展推理能力顯得非常重要?！胺e的變化規(guī)律”是人教版教材中實施代數(shù)推理教學(xué)的較好材料，但在一般的課堂教學(xué)中，教師往往更重視學(xué)生對于規(guī)律的提煉與運用，弱化了借助規(guī)律的舉例驗證和遷移求聯(lián)來發(fā)展學(xué)生的推理能力。因此，筆者大膽嘗試，希望借助教學(xué)材料和方式的改進來更好地培養(yǎng)學(xué)生的推理意識。

一、直接引入，提煉規(guī)律

師：同學(xué)們，今天我們研究的是乘法的算式，請看大屏幕。（課件出示一組口算題）。仔細(xì)觀察這組算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

①6×2=12

②6×10=60

③6×20=120

生1：我發(fā)現(xiàn)①式和②式中的另一個因數(shù)2到10乘5，積也乘5。

生2：我發(fā)現(xiàn)②式和③式中的另一個因數(shù)10到20乘2，積也乘2。

生3：①式和③式中的另一個因數(shù)2到20乘10，積也乘10。（基本所有的學(xué)生都能夠發(fā)現(xiàn)兩個因數(shù)之間的倍數(shù)變化）

師：是的，我們發(fā)現(xiàn)這些算式其中一個因數(shù)是相同的，都是6。另一個因數(shù)在變大，積也在隨之變大。那剛才我們的發(fā)現(xiàn)，你能用一句話來概括嗎？

生1：一個因數(shù)乘幾，積也乘幾。

生2：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾，積也乘幾。

通過前測分析，學(xué)生對于積的變化規(guī)律掌握得較好，因此簡單的算式，自然可以讓學(xué)生較快地發(fā)現(xiàn)、歸納規(guī)律，同時也為后續(xù)的推理驗證預(yù)留更多時間。

二、舉例驗證，推理規(guī)律

師：這條規(guī)律在其他的算式之間也能適用嗎？（學(xué)生一般認(rèn)為可以）真的嗎？你能找到不符合條件的算式嗎？請你在自己的作業(yè)本上寫一寫。

展示1：如圖2。

生1：我舉了一些例子，發(fā)現(xiàn)都符合這樣的要求，所以我認(rèn)為應(yīng)該所有數(shù)都是符合的。

展示2：如圖3。

生2：我認(rèn)為0是比較特殊的數(shù)，如果0也符合，那么應(yīng)該都是符合的。所以我試了一下，發(fā)現(xiàn)乘0也是符合的。

師：是的。在舉例驗證時，我們可以考慮一些特殊數(shù)，如果這些數(shù)也是符合的，又找不到反例，那么我們就可以推測其他數(shù)都是符合條件的。

讓學(xué)生尋找反例的目的不僅是為了激發(fā)學(xué)生推理驗證的興趣，同時也是為了讓學(xué)生感受完全歸納法的價值。通過舉例，讓學(xué)生在考慮一些極端數(shù)后，發(fā)現(xiàn)還是符合條件，也意味著找不到反例，這樣推理就成立了，以此培養(yǎng)學(xué)生的推理意識。

三、反思整合，遷移規(guī)律

師：讓我們繼續(xù)觀察這組算式（課件把算式順序調(diào)換如圖4），同學(xué)們還能發(fā)現(xiàn)別的規(guī)律嗎？誰能完整地說一說。

生1：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)除以幾，積也除以幾。

生2：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)除以幾（0除外），積也除以幾。

師：你們覺得哪個更完整？這里是否需要考慮0。

生1：我認(rèn)為是第一個。因為前面的乘法中，我們討論過了，0也符合條件。

生2：我認(rèn)為是第二個完整，因為0是不能作除數(shù)的。

（受前面推理認(rèn)證的影響，部分學(xué)生能夠感受到一個因數(shù)乘幾與除以幾可以包含任何數(shù)，也包括0，但沒有從0作為除數(shù)來考慮。）

師：是的！我們還要考慮0是不能作除數(shù)的，所以第二句是更加完整的。

師：現(xiàn)在我們把這兩句規(guī)律合并成一句（課件變化），也就是：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘或除以幾，積也乘或除以幾（0除外）。

在上面的教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生對兩種語言進行比較和說明，其實是讓學(xué)生再次經(jīng)歷驗證與推理的過程，從而聯(lián)系到在除法中0的特殊性，發(fā)現(xiàn)0是不符合要求的，所以要排除，使學(xué)生再次感受推理的全面性。

四、鞏固運用，求聯(lián)推理

1.逆向運用，拓展規(guī)律

師：運用這樣的規(guī)律，可以幫助我們快速計算，請同學(xué)們完成這兩題（如圖5）。

（學(xué)生獨立思考，完成作業(yè)紙練習(xí)）

師：在運用規(guī)律計算這兩組算式中，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)左邊這組算式是：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘或除以幾，積也乘或除以幾。

生2：我發(fā)現(xiàn)右邊這組算式是：一個因數(shù)不變，積乘或除以幾，另一個因數(shù)也乘或除以幾。

師：是的，只要一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)和積都是同時在變化的。

2.解決問題，溝通聯(lián)系

師：運用這樣的規(guī)律，不僅可以幫助我們快速計算，還可以幫助我們解決生活中的一些問題。出示習(xí)題：

（1）一輛汽車3小時行駛了240千米，按照這樣的速度，6小時能行駛多少千米？（收集學(xué)生算法，整體呈現(xiàn)如圖6）

方法一：240÷3=80（千米），80×6=480（千米）。

方法二：6÷3=2，240×2=480（千米）。

師：同學(xué)們！上面兩種方法中，你們覺得哪一種方法是運用了我們今天所學(xué)的知識，為什么？

生1：我認(rèn)為是第二種，因為6小時是3小時的2倍，就相當(dāng)于一個因數(shù)乘幾，所以路程也應(yīng)該是它的2倍。

生2：這里的時間就是一個因數(shù)，

路程就是積，速度就是另一個因數(shù)，所以也是在運用積的變化規(guī)律。（板書：速度不變，時間乘幾，路程也乘幾）

師：同學(xué)們，你們說得太好了，其實我們生活中很多問題都可以運用積的變化規(guī)律，請你們運用這樣的方法來解決剩下兩題。

（2）商場搞促銷，買6支鋼筆共50元，買30支同樣的鋼筆需要多少錢？

（3）王師傅3小時能加工80個零件，按同樣的速度加工，320個零件需要多少小時？（學(xué)生獨立計算，并整體匯報）

生1：30÷6=5，50×5=250（元），因為它們的單價是一樣的30支鋼筆是6支的5倍，所以需要的錢也是50元的5倍。（提煉單價不變，數(shù)量乘幾，總價也乘幾）

生2：320÷80=4，3×4=12（小時），因為它們工作速度是一樣，算的是320個零件是80個的4倍，所以所需要的時間也是3小時的4倍。（提煉工作速度不變，工作時間乘幾，工作總量也乘幾）

師：同學(xué)們，你們非常厲害，原來都可以用這樣的方法來思考解決問題。

從單一的運算過渡到具體的解決問題，雖然方法不同，但背后的道理是一樣的，原來運用積的變化規(guī)律不僅可以幫助我們快速運算，還可以用于解決具體的問題，從而更深入地認(rèn)識積的變化規(guī)律，同時也發(fā)展學(xué)生的推理意識。

3.比較方法，打通聯(lián)系

師：我們再來比較這三題，現(xiàn)在你再觀察一下，有什么發(fā)現(xiàn)？同桌可以先說一說。

生1：這里的速度、單價、工作效率不變，就相當(dāng)于一個因數(shù)不變，而時間、數(shù)量、工作時間乘幾，他們的積也乘幾。

生2：我發(fā)現(xiàn)，只要兩個數(shù)相乘，其中一個不變，都可以用“積的變化規(guī)律”來解決。

師：同學(xué)們，你們真是太棒了！原來一個因數(shù)不變可以是速度、單價、工作效率等，只要兩個數(shù)相等，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)擴大幾倍，都可以用這樣的方法來計算。（如圖7）

不管是提煉總結(jié)積的變化規(guī)律，還是運用積的變化規(guī)律來求聯(lián)，教師都應(yīng)先讓學(xué)生觀察、舉例和比較，使學(xué)生在不斷的比較中提煉和運用規(guī)律，讓他們尋找所有材料背后的相同點，就是引導(dǎo)學(xué)生感受其統(tǒng)一性，提升學(xué)生的推理意識。