借助圖式辨析，促進(jìn)概念融通
——以人教版教材三年級(jí)上冊(cè)“倍的認(rèn)識(shí)”單元復(fù)習(xí)為例

□吳夢(mèng)媛

單元復(fù)習(xí)課既要整理、回顧單元知識(shí)，關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)概念，使學(xué)生形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，又要通過練習(xí)查漏補(bǔ)缺，使學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。然而，“理”容易枯燥，“練”容易細(xì)碎。如何讓數(shù)學(xué)概念的復(fù)習(xí)既不枯燥又整體關(guān)聯(lián)呢？筆者以人教版教材三年級(jí)上冊(cè)“倍的認(rèn)識(shí)”的單元復(fù)習(xí)為例，借助圖式設(shè)置任務(wù)，進(jìn)行復(fù)習(xí)教學(xué)的嘗試。

一、解讀概念，明晰單元核心內(nèi)容

以復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)概念為主的單元復(fù)習(xí)課一般包括兩個(gè)層面：一是理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵本質(zhì)，二是明晰數(shù)學(xué)概念的外延關(guān)聯(lián)?！氨丁笔且环N比較關(guān)系，與乘除法概念有關(guān)聯(lián)，“倍”的概念直接關(guān)聯(lián)后續(xù)學(xué)習(xí)的“分?jǐn)?shù)”“百分?jǐn)?shù)”“比”等知識(shí)。

人教版教材把“倍的認(rèn)識(shí)”作為獨(dú)立的教學(xué)單元進(jìn)行編排，其意圖是讓學(xué)生在理解“倍”的概念后，運(yùn)用“倍”的關(guān)系解決問題，主要包括“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”和“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”兩種情況。此外，教材還在期末“總復(fù)習(xí)”中，以圖式填空的形式，補(bǔ)充了逆向的“已知一個(gè)數(shù)的幾倍，求這個(gè)數(shù)是多少”的解決問題。筆者查閱了其他不同版本的教材，發(fā)現(xiàn)這些教材也同樣凸顯了“倍”與乘除法之間的關(guān)系，體現(xiàn)了“兩個(gè)量的倍比”與“兩個(gè)量相差”的區(qū)別。

因此，“倍的認(rèn)識(shí)”單元復(fù)習(xí)的核心內(nèi)容，應(yīng)是深入理解“倍”的概念，凸顯基于乘除法概念的比較關(guān)系，明晰量與量之間的聯(lián)系。復(fù)習(xí)路徑為：借助幾何直觀，抽象概念，把“兩個(gè)量數(shù)的抽象關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)量圖的具象關(guān)系”。由此，讓學(xué)生明晰倍數(shù)的三個(gè)量之間的內(nèi)部聯(lián)系，辨析相差關(guān)系，延伸包含的倍比關(guān)系。

二、分析學(xué)情，找準(zhǔn)單元知識(shí)難點(diǎn)

單元復(fù)習(xí)課的任務(wù)要針對(duì)學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)和單元知識(shí)的難點(diǎn)設(shè)置。學(xué)生在學(xué)習(xí)“倍的認(rèn)識(shí)”單元時(shí)，哪些題目容易出現(xiàn)錯(cuò)誤？這個(gè)單元知識(shí)的難點(diǎn)在哪里？針對(duì)這些問題，筆者設(shè)置了前置式任務(wù)，調(diào)研了不同班級(jí)共247名同學(xué)，并對(duì)學(xué)生的解答情況進(jìn)行了分析統(tǒng)計(jì)。

此次調(diào)研中，第一題主要考查學(xué)生能否準(zhǔn)確描述兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系，第二題考查學(xué)生能否根據(jù)倍數(shù)關(guān)系準(zhǔn)確畫出“標(biāo)準(zhǔn)量”和“比較量”，第三題考查學(xué)生能否在比較多個(gè)量時(shí)，排除多余信息，準(zhǔn)確寫出兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系。調(diào)研結(jié)果顯示，第一題約有87.04%的學(xué)生能準(zhǔn)確描述兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系；第二題第1小題約有87.04%的學(xué)生能用圖式表示倍數(shù)關(guān)系，第2小題約有70.04%的學(xué)生能用圖式表示倍數(shù)關(guān)系；第三題約有76.92%的學(xué)生能正確描述倍數(shù)關(guān)系。此外，此次前置式任務(wù)調(diào)研也發(fā)現(xiàn)了學(xué)生存在的一些典型錯(cuò)誤（如圖1）。

根據(jù)學(xué)生的具體解答可以發(fā)現(xiàn)，在學(xué)完“倍的認(rèn)識(shí)”單元后，學(xué)生仍然存在以下問題：（1）對(duì)于“倍”的概念的理解不夠深入，容易混淆“標(biāo)準(zhǔn)量”和“比較量”；（2）簡(jiǎn)單認(rèn)為圖式中一共有幾份，兩個(gè)量就是幾倍關(guān)系；（3）存在見“倍”就“乘”的現(xiàn)象；（4）遇到多個(gè)量比較時(shí)，難以判斷以誰為“標(biāo)準(zhǔn)量”。

三、圖式辨析，遞推單元核心任務(wù)

建立關(guān)聯(lián)是單元復(fù)習(xí)課的目標(biāo)之一?；谌蝿?wù)驅(qū)動(dòng)的復(fù)習(xí)，要把零碎的知識(shí)點(diǎn)整合在核心任務(wù)中，以圖式的形式組建系列任務(wù)，改變“提問—回答”的單一互動(dòng)模式。

（一）再現(xiàn)：借思辨性圖式，理解概念本質(zhì)

在單元復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要借助適切的學(xué)習(xí)材料，幫助學(xué)生再現(xiàn)單元內(nèi)知識(shí)點(diǎn)，梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，避免抽象枯燥的重復(fù)回顧。用于再現(xiàn)知識(shí)的任務(wù)情境要能涵蓋全單元相關(guān)知識(shí)，突出教學(xué)重難點(diǎn)，幫助學(xué)生逐步抽象理解概念本質(zhì)。

在利益協(xié)調(diào)分配機(jī)制下，當(dāng)分配因子λ1、λ2、λ3滿足相關(guān)條件且取不同值時(shí)，制造商、零售商、物流服務(wù)集成商、物流服務(wù)提供商、產(chǎn)品供應(yīng)鏈以及物流服務(wù)供應(yīng)鏈的利潤均大于分散決策下各自的利潤。

任務(wù)一是一組思辨性的圖式（如圖2），借助該圖式能幫助學(xué)生進(jìn)一步理解“倍”的概念。其中，①號(hào)圖根據(jù)學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)區(qū)分“標(biāo)準(zhǔn)量”；②號(hào)圖通過隨意擺放，讓學(xué)生聚焦圖形數(shù)量，以數(shù)量關(guān)系理解“倍”的概念；③號(hào)圖具有思維遞進(jìn)關(guān)系，需要學(xué)生借助規(guī)律得出結(jié)論；④號(hào)圖用線段圖來表征“倍”的概念。

圖2 理解“倍”的思辨性的圖式

學(xué)生先獨(dú)立思考完成任務(wù)，然后進(jìn)行教學(xué)反饋。教學(xué)反饋時(shí)，先反饋正確的圖式，概括概念的共性，再辨析錯(cuò)誤的圖式，強(qiáng)調(diào)“標(biāo)準(zhǔn)量”和“比較量”的關(guān)系。

“哪些圖能表示圓的個(gè)數(shù)是三角形個(gè)數(shù)的3倍？”教師先以正確的②號(hào)圖為例，引導(dǎo)學(xué)生回顧“倍”的概念，讓學(xué)生通過圈一圈、畫一畫，得出：2個(gè)三角形為1份，圓有這樣的3份，就可以說圓的個(gè)數(shù)是三角形個(gè)數(shù)的3倍。

教師提問：“③號(hào)圖后面的珠子被盒子擋住了，你是怎么看出圓的個(gè)數(shù)是三角形個(gè)數(shù)的3 倍的？”啟發(fā)學(xué)生在思辨中理解“△○○○”為一組重復(fù)出現(xiàn)的圖形，只要觀察其中一組就可以推測(cè)出倍數(shù)關(guān)系。

教師追問：“④號(hào)圖只有兩條線段，沒有對(duì)應(yīng)的數(shù)量，為什么也能表示‘圓的個(gè)數(shù)是三角形個(gè)數(shù)的3 倍’？”引導(dǎo)學(xué)生思考：如果三角形表示1，圓有幾個(gè)？如果三角形有2個(gè)、3個(gè)、5個(gè)……a個(gè)，圓分別是幾個(gè)呢？從而滲透函數(shù)思想：雖然不知道三角形和圓分別有幾個(gè)，但圓的個(gè)數(shù)始終是三角形個(gè)數(shù)的3倍。比較歸納“倍”概念的本質(zhì)：正確表示的這三幅圖，有什么相同點(diǎn)？

在此基礎(chǔ)上，教師提出質(zhì)疑：“①號(hào)圖中有9個(gè)和3個(gè)，為什么不能表示圓的個(gè)數(shù)是三角形個(gè)數(shù)的3 倍？怎樣改就可以了呢？”從而讓學(xué)生感悟到要找對(duì)標(biāo)準(zhǔn)量。由此可知，教學(xué)反饋的重點(diǎn)是通過思辨感悟“倍”的概念，從“關(guān)注具體數(shù)量”走向“關(guān)注兩個(gè)量的關(guān)系”。

思辨性圖式材料可以幫助學(xué)生梳理單元知識(shí)，形象化地突破難點(diǎn)，抽象出數(shù)學(xué)模型。單元復(fù)習(xí)教學(xué)如果用思辨性圖式導(dǎo)入，起點(diǎn)較低，學(xué)生就會(huì)有話可講。在學(xué)生分析圖式的過程中，教師要關(guān)注學(xué)生的語言表述，引導(dǎo)學(xué)生先分析標(biāo)準(zhǔn)量，再分析兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程就是先將具體情境抽象成數(shù)學(xué)模型，再用自己的語言描述數(shù)學(xué)模型的過程。在單元復(fù)習(xí)課中再現(xiàn)知識(shí)，有助于學(xué)生內(nèi)化知識(shí)，形成自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（二）關(guān)聯(lián)：借對(duì)比性圖式，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)

如圖3 所示，這是一組對(duì)比性圖式，用于幫助學(xué)生理解“倍”的比較關(guān)系。教師呈現(xiàn)圖式后，讓學(xué)生自主列式，然后通過四幅圖的兩次分類，遞進(jìn)式地展開教學(xué)反饋。第一次分類聚焦比較關(guān)系。教師提問：“①號(hào)圖、②號(hào)圖和④號(hào)圖都是用乘法或除法表示，③號(hào)圖為什么是用減法呢？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)，③號(hào)圖雖然呈現(xiàn)的也是兩個(gè)量之間的比較關(guān)系，但卻是“求一個(gè)量比另一個(gè)量多幾”的相差關(guān)系，而“倍”是描述乘法的數(shù)學(xué)模型。第二次分類聚焦“倍”的三個(gè)量之間的關(guān)系。①號(hào)圖、②號(hào)圖、④號(hào)圖分別對(duì)應(yīng)“求幾倍數(shù)”“求倍數(shù)”和“求一倍數(shù)”，從而完善學(xué)生對(duì)“倍”的理解，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

圖3 理解“倍”的對(duì)比性圖示

在上述比較的基礎(chǔ)上，教師刪去表示相差關(guān)系的題目，只留下表示倍數(shù)關(guān)系的三道題目，并提問：“同樣是表示倍數(shù)關(guān)系的三道題，為什么有的用乘法計(jì)算，有的卻用除法計(jì)算呢？”學(xué)生比較三道題的對(duì)應(yīng)圖式，發(fā)現(xiàn)“求幾倍數(shù)”用乘法，“求倍數(shù)”和“一倍數(shù)”用除法。接著教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生用“幾個(gè)幾”的乘除法模型進(jìn)行理解，如④號(hào)圖是把27平均分成3 份，求1 份是多少，這“1 份數(shù)”就是“標(biāo)準(zhǔn)量”，用除法解決。

將對(duì)比性圖式進(jìn)行比較，有助于學(xué)生以“類”的思想統(tǒng)領(lǐng)概念，促進(jìn)對(duì)概念的理解和遷移。因此，單元復(fù)習(xí)教學(xué)要將新舊知識(shí)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，梳理知識(shí)脈絡(luò)，且這種梳理不僅僅是知識(shí)的再現(xiàn)，還要在知識(shí)再現(xiàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行關(guān)聯(lián)與拓展。

（三）進(jìn)階：借綜合性圖式，促進(jìn)思維提升

單元復(fù)習(xí)教學(xué)不僅要明晰概念的內(nèi)涵，還要辨析概念的外延。借助綜合性圖式關(guān)聯(lián)后續(xù)知識(shí)，可以延伸知識(shí)，促進(jìn)思維的進(jìn)階。

1.選擇包含關(guān)系的圖式，延伸后續(xù)知識(shí)

“倍”是描述“率”和“比”的基礎(chǔ)。如“甲是乙的2倍”還可以說成“乙是甲的”“甲和乙的比是2∶1”“乙是甲的50%”等。人教版教材在“倍的認(rèn)識(shí)”這一單元研究的均是兩個(gè)獨(dú)立量之間的倍數(shù)關(guān)系。但實(shí)際上，存在包含關(guān)系的兩個(gè)量之間也存在倍數(shù)關(guān)系，比較常見的是在扇形統(tǒng)計(jì)圖中用百分?jǐn)?shù)描述倍數(shù)關(guān)系。

任務(wù)三是一組包含性圖式（如圖4）。教師出示任務(wù)三，意圖通過變式，幫助學(xué)生理解“倍”的比較關(guān)系。

教師提問：“你能在圖中找到哪些倍數(shù)關(guān)系？”針對(duì)這樣的開放性問題，學(xué)生會(huì)有不同的說法，如“桃樹的棵數(shù)是梨樹棵數(shù)的3倍”“男生人數(shù)是女生人數(shù)的1 倍”“女生人數(shù)是男生人數(shù)的1 倍”等。也有一些學(xué)生會(huì)關(guān)注部分與整體的關(guān)系，感受到圖式的包含關(guān)系，發(fā)現(xiàn)“果樹的總棵數(shù)是梨樹的4倍，全班人數(shù)是女（男）生人數(shù)的2倍”。于是教師進(jìn)一步追問：“反過來，女生人數(shù)是全班人數(shù)的多少？”學(xué)生會(huì)想到“一半”或“”。這種“一半”或“”的表達(dá)，表示學(xué)生對(duì)標(biāo)準(zhǔn)量的理解更進(jìn)一步，突破了整數(shù)倍，為后續(xù)學(xué)習(xí)“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”做了鋪墊。

2.遞進(jìn)多個(gè)量比較的圖式，綜合運(yùn)用知識(shí)

利用開放性的素材，設(shè)計(jì)綜合性和挑戰(zhàn)性的任務(wù)，可以提升單元復(fù)習(xí)教學(xué)的拓展性，具體可以采用條件的開放、問題的開放和方法的開放等方式。

任務(wù)四是一組開放性的圖式（如圖5），學(xué)習(xí)材料從兩個(gè)量的比較過渡到多個(gè)量的比較。教師出示任務(wù)四，旨在培養(yǎng)學(xué)生解決問題的綜合能力。

圖5 理解“倍”的開放性圖式

首先，結(jié)合條形的長短猜想倍數(shù)關(guān)系體現(xiàn)了問題的開放。教師提問：“請(qǐng)你估一估，小猴、天鵝、小鹿的只數(shù)可能存在哪些倍數(shù)關(guān)系？”在此基礎(chǔ)上呈現(xiàn)網(wǎng)格和具體數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證猜想，關(guān)注多個(gè)量的比較，判斷標(biāo)準(zhǔn)量，用“誰是誰的幾倍”進(jìn)行描述。其次，條件和解題方法也具有開放性。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：小兔也來湊熱鬧了，請(qǐng)?jiān)跈M線上補(bǔ)充跟小兔只數(shù)有關(guān)的信息，并列式計(jì)算小兔的只數(shù)。這樣的學(xué)習(xí)任務(wù)充分激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生既有補(bǔ)充相差關(guān)系的，如“小兔比小猴多（少）2只”“小猴比小兔多（少）2只”等，也有補(bǔ)充倍數(shù)關(guān)系的，如“小兔的只數(shù)是天鵝只數(shù)的2倍”“小猴的只數(shù)是小兔只數(shù)的2倍”等。不同學(xué)生采用不同的數(shù)量關(guān)系和表述方式，補(bǔ)充的數(shù)據(jù)和解題的方法也有不同。他們?cè)谶@些眾多的表達(dá)中，發(fā)展了綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

學(xué)習(xí)的過程是知識(shí)不斷同化和順應(yīng)的過程，而圖式是同化和順應(yīng)過程中的重要工具。借助圖式設(shè)置單元復(fù)習(xí)課的核心任務(wù)，有助于核心任務(wù)的整體呈現(xiàn)，契合學(xué)生的認(rèn)知特征，能體現(xiàn)解題的過程化和思維的可視化，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)。