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    計(jì)算教學(xué)中的“算理”與“算法”

    2023-12-04 06:00:06俞正強(qiáng)
    教學(xué)月刊(小學(xué)版) 2023年32期
    關(guān)鍵詞:算理整數(shù)小數(shù)

    □鄭 霞 俞正強(qiáng)

    近二十年來(lái),計(jì)算教學(xué)越來(lái)越重視算理的教學(xué),目的是讓學(xué)生在“知其然”的基礎(chǔ)上“知其所以然”。因此,在教學(xué)實(shí)踐中,教師漸漸形成了這樣一種認(rèn)識(shí):每一種運(yùn)算算法背后都有一種算理。但在教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘除法”時(shí),幾乎所有教師都會(huì)產(chǎn)生這樣的困惑:分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理要怎么講呢?分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)呢?對(duì)此,筆者試著從個(gè)人理解及教學(xué)實(shí)踐出發(fā)談一些看法。

    一、算理與算法

    首先,何為算理?何為算法?為了便于討論,以“同分母分?jǐn)?shù)加減法”為例進(jìn)行說(shuō)明。

    接著進(jìn)一步分析算理的基礎(chǔ)。算理的基礎(chǔ)包含數(shù)的意義與運(yùn)算的意義。數(shù)的意義就是與所表示的意義,即“把一個(gè)整體平均分成8份,取其中的1份和2份”,結(jié)果分別是1個(gè)和2個(gè);而作為加法運(yùn)算,其運(yùn)算的意義是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。據(jù)此形成得的理由,這個(gè)理由就稱之為算理。依據(jù)同分母分?jǐn)?shù)加法的算理,可以解決的計(jì)算問題,得到的正確結(jié)果為

    那么算法呢?算法主要是指計(jì)算的法則,是簡(jiǎn)化了復(fù)雜的思維過(guò)程,添加了人為規(guī)定的程式化的操作步驟,解決如何算得方便、準(zhǔn)確的問題。

    綜上所述,算理解決為什么這樣算的問題,算法解決如何算得快的問題,計(jì)算教學(xué)的目標(biāo)就是要算得又對(duì)又快。厘清了加法的算理與算法之后,可以用同樣的方法厘清減法、乘法、除法的算理與算法,它們都是相同計(jì)數(shù)單位的合與分。

    二、混合運(yùn)算中的算理

    在小學(xué)階段,計(jì)算教學(xué)涉及加、減、乘、除四種運(yùn)算,統(tǒng)稱為四則運(yùn)算。一個(gè)式題里,如果含有加、減、乘、除四種運(yùn)算中任意兩種或兩種以上的運(yùn)算,這個(gè)式題就稱為四則混合運(yùn)算式題。那么,四則混合運(yùn)算有沒有自己的算理呢?

    計(jì)算:5+7+6。

    算理:5個(gè)“一”與7個(gè)“一”合在一起,再與6個(gè)“一”合并,結(jié)果是18個(gè)“一”,就是18。

    算法:從左到右依__次__計(jì)__算__。__

    這樣看來(lái),這類運(yùn)算算理的基礎(chǔ)還是數(shù)的意義與運(yùn)算的意義。那么算法呢?

    計(jì)算:5+7×6。

    算理:5個(gè)“一”與6個(gè)7(42個(gè)“一”)合并,結(jié)果是47個(gè)“一”,就是47。

    算法:先乘除___后__加__減__。_

    在這個(gè)四則混合運(yùn)算中,包含運(yùn)算的意義之間的一個(gè)“理”,即先特殊后一般。事實(shí)上,四則混合運(yùn)算的四個(gè)運(yùn)算的意義可以分為兩組:加法與乘法為一組,減法與除法為一組。加法是統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位的“合”,乘法則可以看作“合”中的一種特殊情況,乘法是一種連續(xù)合并,并且每次合并的計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)一樣多,即幾個(gè)幾相加,稱之為“等合”。同理,減法是統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位的“分”,除法可以看作“分”中的一種特殊情況,除法按照同樣多的計(jì)數(shù)單位“分”,即多少里面有幾個(gè)幾,稱之為“等分”。

    學(xué)生可以通過(guò)對(duì)事理的理解來(lái)理解算理。概言之,如果四則運(yùn)算中只有加減法或者只有乘除法時(shí),學(xué)生應(yīng)當(dāng)依次進(jìn)行計(jì)算;如果既有加減法又有乘除法時(shí),則秉持“先特殊后一般”的順序進(jìn)行計(jì)算。那么,如果出現(xiàn)小括號(hào)、中括號(hào)等運(yùn)算符號(hào),學(xué)生應(yīng)當(dāng)如何處理呢?小括號(hào)和中括號(hào)是數(shù)學(xué)家發(fā)明出來(lái),以解決特殊中出現(xiàn)更加特殊情況的方法。所以,當(dāng)四則運(yùn)算中出現(xiàn)括號(hào)時(shí),學(xué)生可以依然遵循“先特殊后一般”的道理,先處理括號(hào)中的特殊情況,再依據(jù)先處理乘法或除法,再處理加法或減法的順序依次進(jìn)行計(jì)算。

    三、分?jǐn)?shù)乘除法的算理

    在討論分?jǐn)?shù)乘除法的算理之前,首先要明確一點(diǎn):學(xué)生對(duì)算理的理解是基于整數(shù)運(yùn)算的條件形成的。乘法即等合,不斷地按相同的計(jì)數(shù)單位進(jìn)行合并,越合越多,所以乘法的運(yùn)算總是使結(jié)果變大;除法即等分,不斷地按相同的計(jì)數(shù)單位來(lái)分,所以除法的運(yùn)算結(jié)果總是越分越少。

    這種關(guān)于乘除法的運(yùn)算觀念,卻在小數(shù)乘除法中第一次遇到挑戰(zhàn)。因?yàn)閷?shí)踐中發(fā)現(xiàn),當(dāng)乘一個(gè)比1小的數(shù)時(shí),結(jié)果越乘越??;當(dāng)除以一個(gè)比1小的數(shù)時(shí),結(jié)果卻越除越大。學(xué)生在整數(shù)運(yùn)算中形成的“積總是大,商總是小”的運(yùn)算觀念在小數(shù)運(yùn)算中被顛覆。

    因?yàn)樾?shù)的計(jì)數(shù)原則與整數(shù)相同,所以小數(shù)乘除法可以依照整數(shù)乘除法的法則進(jìn)行計(jì)算,不同的是小數(shù)乘除法需要解決小數(shù)點(diǎn)的問題。因此,小數(shù)乘除法的算理并沒有給師生帶來(lái)困惑。然而,由于無(wú)法把分?jǐn)?shù)當(dāng)作整數(shù),因而關(guān)于等合與等分的運(yùn)算意義給學(xué)生帶來(lái)了極大的困惑。下面結(jié)合分?jǐn)?shù)的一些類型進(jìn)行分析。

    至此,關(guān)于分?jǐn)?shù)乘除法的算理受到了挑戰(zhàn),教師感覺講不清楚,于是帶著學(xué)生畫圖。然而,教材中的畫圖只能說(shuō)明計(jì)算結(jié)果是對(duì)的,并不能改變學(xué)生心中對(duì)乘法與除法的運(yùn)算意義的理解。因此,畫圖不是在理解算理,只是說(shuō)明運(yùn)算結(jié)果對(duì)錯(cuò)的一種方式。

    那么,如何講清分?jǐn)?shù)乘除法的算理呢?解決這個(gè)問題的關(guān)鍵在于理解“乘一個(gè)數(shù)等于除以這個(gè)數(shù)的倒數(shù),或除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”這句話。這句話不是規(guī)律,也不是算法,它是理解運(yùn)算意義的一個(gè)節(jié)點(diǎn)。而對(duì)算理的理解以對(duì)數(shù)的意義與運(yùn)算意義的理解為基礎(chǔ)。

    在小學(xué)階段,學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義的理解有兩個(gè)十分關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn)。其中一個(gè)節(jié)點(diǎn)在整數(shù)運(yùn)算中,也就是乘是相同計(jì)數(shù)單位的合,即所謂的等合;除是相同計(jì)數(shù)單位的分,即所謂的等分。在這個(gè)階段,乘是乘,除是除,是兩種不同的運(yùn)算。另一個(gè)節(jié)點(diǎn)便是在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中。在這個(gè)節(jié)點(diǎn)中,分?jǐn)?shù)本身是等分的結(jié)果,乘與除由此融合在了一起,即乘與除表達(dá)了同一個(gè)意思(如乘可以看作除以3,除以可以看作乘3)。因此,乘即除,除即乘;乘即等分,除即等合。

    理解分?jǐn)?shù)乘除法的運(yùn)算的教學(xué),不是每一種算法都講一個(gè)算理,分?jǐn)?shù)乘除法的算理始終是同一個(gè),即等分與等合。因此,理解分?jǐn)?shù)乘除法的算理的教學(xué),關(guān)鍵不是通過(guò)畫圖來(lái)理解分?jǐn)?shù)乘法或分?jǐn)?shù)除法,而是讓學(xué)生理解乘即除、除即乘的運(yùn)算意義,從而理解分?jǐn)?shù)乘除法的完整的運(yùn)算意義。

    對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí),小學(xué)數(shù)學(xué)教材中經(jīng)常會(huì)編排初步認(rèn)識(shí)與再認(rèn)識(shí)兩個(gè)內(nèi)容(根據(jù)學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律,教材采用螺旋式的編排方式),如分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)與分?jǐn)?shù)的意義。事實(shí)上,乘除法的運(yùn)算意義也分為初步認(rèn)識(shí)和再認(rèn)識(shí)。即在整數(shù)運(yùn)算中有乘除運(yùn)算意義的初步認(rèn)識(shí),在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中有乘除運(yùn)算意義的再認(rèn)識(shí)。那么,如何進(jìn)行乘除運(yùn)算意義的再認(rèn)識(shí)呢?

    對(duì)分?jǐn)?shù)乘除法的運(yùn)算意義的再認(rèn)識(shí)需要從分?jǐn)?shù)的意義入手,具體教學(xué)過(guò)程如下。

    呈現(xiàn)材料:把1平均分成兩份,每份是多少?

    列式1:1÷2。

    認(rèn)識(shí):除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

    進(jìn)一步認(rèn)識(shí):在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中,乘也可以表示等分,除也可以表示等合。

    將這個(gè)分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算中的認(rèn)識(shí),與整數(shù)乘除法運(yùn)算中的運(yùn)算意義疊加在一起,就形成了新的認(rèn)識(shí):在整數(shù)乘除法運(yùn)算中,乘是等合,除是等分;在分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算中,乘也是等分,除也是等合。

    有了這樣一個(gè)新的認(rèn)識(shí)之后,學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘除法的算理便會(huì)簡(jiǎn)單得多。如可以看作把平均分成5份可以看作5個(gè)是多少。這樣,學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)運(yùn)算算理的理解便沒有任何障礙了,教師也不會(huì)困于算理模糊之中。

    四、算理的“一”與算法的“萬(wàn)”

    關(guān)于“理”與“法”有一句俗語(yǔ),即“一理萬(wàn)法”,“理”與“理”之間莫不相通,終歸于一,而“法”則可以因時(shí)因地而制宜。比如在整數(shù)加法、小數(shù)加法和分?jǐn)?shù)加法中,就存在著算理的一致性和算法的多樣性的情況(如圖1)。

    圖1

    從圖1 中可以看出,整數(shù)加法、小數(shù)加法和分?jǐn)?shù)加法的算理始終不變,一直是相同計(jì)數(shù)單位的合并,而算法卻一直在變,由于數(shù)的不同而形成不同的算法。

    從一年級(jí)學(xué)習(xí)整數(shù)運(yùn)算,到三年級(jí)學(xué)習(xí)小數(shù)運(yùn)算,最后到五年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)運(yùn)算,學(xué)生學(xué)習(xí)了很多不同運(yùn)算的計(jì)算方法。透過(guò)這些不同運(yùn)算的計(jì)算方法,學(xué)生發(fā)現(xiàn):原來(lái)這些運(yùn)算都遵循“相同計(jì)數(shù)單位相加”這個(gè)“理”。由此,學(xué)生產(chǎn)生豁然貫通之感。

    同理,學(xué)生在學(xué)完分?jǐn)?shù)乘除法之后,會(huì)形成如下認(rèn)識(shí):

    形成這個(gè)認(rèn)識(shí)之后,學(xué)生同樣會(huì)產(chǎn)生豁然貫通之感。

    當(dāng)學(xué)生在六年的數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)中有這樣兩次豁然貫通的感覺,就會(huì)深深地體會(huì)到一“理”與萬(wàn)“法”的關(guān)系和萬(wàn)變不離其宗的道理,這就是數(shù)學(xué)課程育人過(guò)程中非常深刻之處。

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