解答平面向量數(shù)量積問(wèn)題的三種途徑

程必賽

平面向量的數(shù)量積問(wèn)題側(cè)重于考查平面向量的數(shù)量積公式、向量的模的公式、數(shù)乘運(yùn)算法則、加減法的幾何意義、基本定理、共線定理的應(yīng)用.解答這類問(wèn)題常用的途徑有利用坐標(biāo)法、定義法、數(shù)形結(jié)合法.下面結(jié)合實(shí)例來(lái)進(jìn)行介紹.

一、利用坐標(biāo)法

解：以O(shè)為原點(diǎn)、OB為x軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.

二、采用定義法

例2.已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足（a-c）·（b-c）=0，求|c|的最大值.

解：因?yàn)閨a|=|b|=1，a·b=0，

則（a-c）·（b-c）=-c·（a+b）+|c|2

=-|c||a+b|·cosθ+|c|2=0，其中θ為c與a+b的夾角，

解答本題主要運(yùn)用了定義法.我們先通過(guò)向量的數(shù)乘運(yùn)算、加法運(yùn)算、減法運(yùn)算，根據(jù)已知關(guān)系式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求向量的模的平方以及向量的數(shù)量積；然后根據(jù)向量的數(shù)量積公式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求c與a+b的夾角的余弦值以及|a+b|的乘積的最值，根據(jù)基本不等式求解，即可解題.

解：如圖2所示，延長(zhǎng)A10A11、A2A1交于Q，

由題意可得A10A11⊥A2A1，

過(guò)A12分別作A1Q、A11Q的垂線，垂足分別為M、N，

解答本題，首先要根據(jù)正十二邊形的特征和向量

三、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合法是解答函數(shù)問(wèn)題、向量問(wèn)題的重要方法.在解題時(shí)，需先將向量的?？醋骶€段的長(zhǎng)，根據(jù)三角形法則、平行四邊形法則構(gòu)造幾何圖形，添加輔助線；然后將兩個(gè)向量的夾角看作三角形、平行四邊形的內(nèi)角，利用三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)解題.

解：如圖4所示，連接OP，

上述三種方法都是解答平面向量數(shù)量積問(wèn)題的重要方法.其中坐標(biāo)法、定義法較為簡(jiǎn)單，數(shù)形結(jié)合法具有較強(qiáng)的靈活性，需根據(jù)題意構(gòu)造出合適的幾何圖形，并將問(wèn)題與平面幾何、解析幾何知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái).