例談動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的四種求法

蔣程

求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在解析幾何試題中，這類問(wèn)題側(cè)重于考查同學(xué)們的推理、分析以及運(yùn)算能力.求解這類問(wèn)題的主要方法有定義法、參數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法和交軌法.下面結(jié)合實(shí)例，談一談這四種方法的特點(diǎn)以及應(yīng)用技巧.

一、定義法

定義法是指運(yùn)用圓錐曲線的定義解題.若發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡形如橢圓、圓、雙曲線、拋物線或其中的一部分曲線，就可以根據(jù)橢圓、圓、雙曲線、拋物線的定義，確定定點(diǎn)、焦點(diǎn)、焦點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，求得橢圓、圓、雙曲線、拋物線方程中的各個(gè)參數(shù)，便可以快速確定曲線的軌跡方程.

例1.如圖1所示，已知圓C1：x2+（y+4）2=25和圓C2：x2+（y-4）2=1，某動(dòng)圓C分別與圓C1和圓C2外切，求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程.

解：由題意知兩圓的圓心為C1（0，-4），C2（0，4），半徑為r1=5，r2=1，設(shè)動(dòng)圓C的半徑為r，

因?yàn)閳AC分別與圓C1和圓C2外切，

所以|CC1|=r+5，|CC2|=r+1，

所以|CC1|-|CC2|=4<8，即點(diǎn)C到兩定點(diǎn)C1、C2的距離之差為常數(shù)4，

所以動(dòng)圓圓心C的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的雙曲線的上支，

可得2a=4，2c=|C1C2|=8，所以b2=c2-a2=12.

結(jié)合圖形分析動(dòng)圓C與圓C1、圓C2的位置關(guān)系，即可發(fā)現(xiàn)|CC1|=r+5，|CC2|=r+1，即可得出|CC1|-|CC2|=4<8，由此可聯(lián)想到雙曲線的定義，即平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之差為定值的點(diǎn)的軌跡，確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，求得a、b、c值，即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

二、參數(shù)法

參數(shù)法是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法.若動(dòng)點(diǎn)受某些變量的影響，而我們又無(wú)法確定這些變量的取值，則需運(yùn)用參數(shù)法，即用參數(shù)表示出變量，設(shè)出直線的斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)、曲線的方程等，然后將其代入題設(shè)中，建立關(guān)系式，通過(guò)恒等變換消去參數(shù)，即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

例2.已知拋物線y2=4px（p>0）的頂點(diǎn)為O，A，B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OA⊥OB，OM⊥AB于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程.

解：設(shè)M（x，y），直線AB的方程為y=kx+b，

即所求點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2-4px=0（x≠0）.

解答本題主要運(yùn)用了參數(shù)法，即先引入?yún)?shù)x、y，

k、b、x1、x2、y1、y2，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)、直線AB的方程以及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；然后將直線與拋物線的方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)系式；最后通過(guò)恒等變換消去參數(shù)，得到關(guān)于x、y的方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

三、相關(guān)點(diǎn)法

若兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間存在某種特定的關(guān)系，則可以采用相關(guān)點(diǎn)法求解.先分別設(shè)出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)二者之間的關(guān)系，用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；然后根據(jù)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的幾何關(guān)系，建立關(guān)于所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，從而求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)法解題，要注意尋找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的聯(lián)系，并確定另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何關(guān)系.

例3.如圖2所示，在圓x2+y2=4上任意選取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，求線段PD中點(diǎn)M的軌跡方程.

解：設(shè)點(diǎn)M（x，y），P（x0，y0），

本題中P、M均為動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，需采用相關(guān)點(diǎn)法求解，先分別設(shè)出P、M兩點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用M點(diǎn)的坐標(biāo)表示P的坐標(biāo)；再將其代入點(diǎn)P的軌跡方程，即可確定點(diǎn)M的軌跡及其方程.

四、交軌法

當(dāng)問(wèn)題中所求的動(dòng)點(diǎn)為兩條動(dòng)曲線的交點(diǎn)時(shí)，往往需采用交軌法，即將兩條動(dòng)曲線的方程聯(lián)立，消去

其中的參數(shù)，得到的關(guān)于x、y的方程即為所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

仔細(xì)分析題意可知，M為直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)，且點(diǎn)A1、A2、P、Q都滿足雙曲線的方程，于是采用交軌法，求得兩動(dòng)直線A1P與A2Q的方程，再將兩方程聯(lián)立，消去參數(shù)，即可求出交點(diǎn)M的軌跡方程.

總之，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，關(guān)鍵是要根據(jù)題目中的幾何條件，尋找動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的方程.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的方法很多，同學(xué)們需熟練掌握一些常用方法的特點(diǎn)、適用情形、解題思路，才能將其靈活地應(yīng)用于解題中.