借助函數(shù)性質(zhì)，妙用“二級結(jié)論”解題

■林春斌

在解決一些涉及函數(shù)性質(zhì)(奇偶性、周期性、對稱性等)問題時,往往可以巧妙應(yīng)用對應(yīng)的“二級結(jié)論”,直接得出相應(yīng)的結(jié)果,這樣可以避免煩瑣的推理過程,從而達到提高解題效率的目的。

一、借助奇函數(shù)的“二級結(jié)論”解題

結(jié)論1:如果f(x)是奇函數(shù)且在x=0處有意義,那么f(0)=0。

結(jié)論2:若奇函數(shù)f(x)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有最值,則f(x)max+f(x)min=0。

結(jié)論3:若f(x)是奇函數(shù),且g(x)=f(x)+c,則g(-x)+g(x)=2c。

結(jié)論4:若f(x)是奇函數(shù),且g(x)=f(x)+c,g(x)在定義域上有最值,則g(x)max+g(x)min=2c。

在利用奇函數(shù)的“二級結(jié)論”時,要對題設(shè)條件中的原函數(shù)的解析式進行合理的恒等變形,借助構(gòu)建的奇函數(shù),利用奇函數(shù)的“二級結(jié)論”進行分析與求解。

二、借助周期函數(shù)的“二級結(jié)論”解題

結(jié)論2:若滿足f(x)=f(x+a)+f(x-a),則函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且一個周期為6a。

結(jié)論3:若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a與x=b對稱,則函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且一個周期為2|b-a|(b≠a)。

結(jié)論4:若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)對稱,又關(guān)于點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且一個周期為2|b-a|(b≠a)。

結(jié)論5:若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱,又關(guān)于點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且一個周期為4|b-a|(b≠a)。

注意:對于結(jié)論3,結(jié)論4,結(jié)論5的巧妙記憶為“兩次對稱成周期,兩軸兩心二倍差,一軸一心四倍差”。

例2 函數(shù)f(x)的定義域為R,若f(x+1)是奇函數(shù),且f(x-1)是偶函數(shù),則( )。

A.f(x+3)是偶函數(shù)

B.f(x)=f(x+3)

C.f(3)=0

D.f(x)是奇函數(shù)

分析:根據(jù)題設(shè)條件,利用抽象函數(shù)的奇偶性構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式,通過關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化,利用奇函數(shù)的“二級結(jié)論”,周期函數(shù)的“二級結(jié)論”得到函數(shù)值,以及圖像的周期性,進而對所求函數(shù)值進行轉(zhuǎn)化與處理。

解:因為f(x+1)是奇函數(shù),所以f(x+1)=-f(-x+1)。因為f(x-1)是偶函數(shù),所以f(x-1)=f(-x-1),所以f(x+1)=f(-x-3)。所以-f(-x+1)=f(-x-3),所以f(x)+f(x-4)=0,所以f(x)+f(x+4)=0,所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函數(shù)f(x)的周期為T=8。

對于A,由f(x)+f(x+4)=0,可得f(x+5)=-f(x+1)=f(-x+1),所以f(x+3)=f(-x+3),即f(x+3)是偶函數(shù),A 正確。對于B,函數(shù)f(x)是周期為8的周期函數(shù),B 錯誤。對于C,由f(x)+f(x+4)=0,可得f(3)=-f(-1),不能得到f(3)的值,C 錯誤。對于D,由f(x+1)=f(-x-3),f(x)+f(x+4)=0,可得f(0)=f(-2)=-f(2)=-f(4),不能得到f(0)的值,D 錯誤。應(yīng)選A。

涉及周期函數(shù)的“二級結(jié)論”及其應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是借助題設(shè)條件,合理構(gòu)建對應(yīng)的抽象函數(shù)之間滿足的關(guān)系式,結(jié)合“二級結(jié)論”進行分析與求解。

三、借助對稱函數(shù)的“二級結(jié)論”解題

結(jié)論1:若函數(shù)f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱。

結(jié)論2:若函數(shù)f(x+a)是奇函數(shù),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)中心對稱。

例3 已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x+1)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)x∈[1,2]時,f(x)=a·2x+b。若f(0)+f(3)=6,則f(2024)的值是( )。

A.-12 B.-2

C.6 D.12

分析:根據(jù)題設(shè)條件,先利用對稱函數(shù)的“二級結(jié)論”得到函數(shù)圖像的對稱性,結(jié)合抽象函數(shù)的奇偶性構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式,再利用周期函數(shù)的“二級結(jié)論”得到函數(shù)圖像的周期性,最后求出函數(shù)的值。

解:因為f(x+1)為奇函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(1,0)對稱,所以f(1)=0,且f(x+1)=-f(-x+1)。

因為f(x+2)為偶函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱,所以f(x+2)=f(-x+2)。結(jié)合周期性可知函數(shù)f(x)的周期為T=4|1-2|=4。

當(dāng)x∈[1,2]時,f(x)=a·2x+b,結(jié)合f(x+1)=-f(-x+1)與f(x+2)=f(-x+2)得f(0)=-f[-(-1)+1]=-f(1+1)=-f(2)=-(4a+b),f(3)=f(1+2)=f(-1+2)=f(1)=2a+b。又f(0)+f(3)=6,所以-(4a+b)+(2a+b)=-2a=6,解得a=-3。

當(dāng)x∈[1,2]時,f(x)=a·2x+b,因為函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于(1,0)對稱,所以f(1)=0,所以f(1)=2a+b=0,所以b=-2a=6。

由f(x+1)=-f(-x+1),可得f(0)=-f(2)。因為當(dāng)x∈[1,2]時,f(x)=6-3·2x,所以f(2024)=f(506×4)=f(0)=-f(2)=-(6-3·22)=6。應(yīng)選C。

解答本題的關(guān)鍵是從對稱函數(shù)的“二級結(jié)論”入手,過渡到周期函數(shù)的“二級結(jié)論”,結(jié)合邏輯推理與數(shù)學(xué)運算進行分析與求解。