如何確定冪函數(shù)的解析式

■于夢(mèng)瑜

求冪函數(shù)的解析式時(shí),要明確冪函數(shù)的定義,形如y=xα(α∈R)的冪函數(shù),要注意xα的系數(shù)為1。求冪函數(shù)的解析式時(shí),要注意冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。

一、結(jié)合函數(shù)的定義求冪函數(shù)的解析式

評(píng)析:已知函數(shù)是冪函數(shù),可設(shè)該函數(shù)為y=f(x)=xα(α∈R),這樣就可待定其中的參數(shù)值α,從而求得冪函數(shù)y=f(x)的解析式。

二、結(jié)合函數(shù)的圖像求冪函數(shù)的解析式

例2 若冪函數(shù)f(x)=(m2-2m-2)·xm2+m-1的圖像與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的值。

解:由f(x)=(m2-2m-2)xm2+m-1是冪函數(shù),可得m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3。

當(dāng)m=3 時(shí),f(x)=x11的圖像過(guò)原點(diǎn)(0,0),這時(shí)與坐標(biāo)軸相交,不合題意;當(dāng)m=-1時(shí),f(x)=x-1的圖像與坐標(biāo)軸無(wú)公共點(diǎn),符合題意。故實(shí)數(shù)m=-1。

評(píng)析:對(duì)于冪函數(shù)y=xα(α∈R),當(dāng)α>0時(shí),y=xα的圖像過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)(0,0)與(1,1)。由冪函數(shù)f(x)=(m2-2m-2)xm2+m-1的圖像與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn),可判斷m2+m-1<0。

三、結(jié)合函數(shù)的奇偶性求冪函數(shù)的解析式

例3 已知冪函數(shù)y=f(x)=x-2m2-m+3,其中m∈{x|-2

求同時(shí)滿足①②的冪函數(shù)f(x)的解析式,并求當(dāng)x∈[0,3]時(shí)f(x)的值域。

解:因?yàn)閙∈{x|-2

對(duì)任意x∈R,都有f(-x)+f(x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù)。

當(dāng)m=-1 時(shí),f(x)=x2,此時(shí)滿足條件①,不滿足條件②;當(dāng)m=1 時(shí),f(x)=x0=1(x≠0),此時(shí)條件①②都不滿足;當(dāng)m=0時(shí),f(x)=x3,此時(shí)滿足條件①②,且在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)。

綜上可得,冪函數(shù)的解析式為f(x)=x3,所以當(dāng)x∈[0,3]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇0,27]。

評(píng)析:解答這類問(wèn)題,要明確y=x,y=這五類冪函數(shù)的單調(diào)性。由函數(shù)的性質(zhì),確定冪函數(shù)解析式中所含參數(shù)的值是求解冪函數(shù)解析式常用的手段。

四、結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求冪函數(shù)的解析式

例4 函數(shù)f(x)=(m2-3m+3)·xm2+m-3是冪函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)是增函數(shù),求f(x)的解析式。

解:由冪函數(shù)的定義得m2-3m+3=1,解得m=2或m=1。

當(dāng)m=2時(shí),f(x)=x3在(0,+∞)上是增函數(shù),符合題意;當(dāng)m=1 時(shí),f(x)=x-1在(0,+∞)上是減函數(shù),不合題意。

綜上可得,f(x)=x3。

評(píng)析:解答本題時(shí),因不理解冪函數(shù)的定義而找不到“m2-m-1=1”這一等量關(guān)系,因此容易導(dǎo)致解題受阻。需要注意的是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的解析式“形同”而“實(shí)異”,一定要區(qū)分清楚,以防出錯(cuò)。