落花時(shí)節(jié)又逢君 多法齊出似騰云
——談2023 年高考新課標(biāo)ⅠⅠ卷第21 題的深度探究

福建省福清第三中學(xué) (350000) 唐洵

1 題目呈現(xiàn)

題目1(2023 年高考新課標(biāo)ⅠⅠ卷第21 題) 已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),左焦點(diǎn)為,離心率為

(1) 求C的方程; 線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),左焦點(diǎn)為,離心率為

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,過(guò)點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn),M在第二象限,直線MA1與NA2交于P,證明: 點(diǎn)P在定直線上.

2 解法探究

2.1 第(1)問(wèn)解析

注由于第(1)問(wèn)較為簡(jiǎn)單,僅給出參考答案如上;在求解第(2)問(wèn)之前,先作圖1 如上.

圖1

2.2 第(2)問(wèn)解析

綜上所述,點(diǎn)P在直線x=-1 上.

解法3(設(shè)線聯(lián)立2)設(shè)過(guò)點(diǎn)(-4,0)的直線為x=ty-4,將其與雙曲線方程聯(lián)立,整理得(4t2-1)y2-32ty+48=0,Δ＞0 且4t2-1／=0. 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),則

3 拓展延伸

結(jié)論2～4 的證明與結(jié)論1 類似,這里不再贅述;對(duì)于焦點(diǎn)在y軸上的橢圓也雙曲線,也有類似結(jié)論,有興趣的讀者可以自行歸納整理.

4 背景挖掘

事實(shí)上,題目1 與題目2 的命題背景都出自圓錐曲線中的極點(diǎn)與極線的相關(guān)結(jié)論.

(1)極點(diǎn)極線定義.

幾何定義如圖2, 點(diǎn)P不是圓錐曲線上的點(diǎn)(且非中心), 過(guò)點(diǎn)P引兩條割線依次交圓錐曲線于E,F,G,H, 連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,則直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線;同理,直線PM為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線,直線PN為點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的極線,ΔPMN稱為自極三角形;特別地,若P在圓錐曲線上,則過(guò)點(diǎn)P的切線即為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.

圖2

5 類題賞析

題目3(2023 年淄博一模第21 題) 已知拋物線C:y2= 2px(p＞0) 上一點(diǎn)P(2,t) 到其焦點(diǎn)F的距離為3,A,B為拋物線C上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn). 延長(zhǎng)AF,BF分別交拋物線C與點(diǎn)M,N,直線AN,BM相交于點(diǎn)Q.

(1)若AF⊥BF, 求四邊形ABMN面積的最小值; (答案:y2=4x,最小值為32)

(2)證明: 點(diǎn)Q在定直線上.

賞析作出第(2) 問(wèn)圖形如圖3 所示, 易知點(diǎn)Q在點(diǎn)F(1,0)對(duì)應(yīng)的極線x=-1 上.

圖3

(2)若過(guò)F的直線與雙曲線C交于M,N兩點(diǎn),探究: 直線A1M,A2N的交點(diǎn)Q是否在某條定直線上? 若是,求出該定直線的方程;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

賞析作出第(2) 問(wèn)圖形如圖4 所示, 易知點(diǎn)Q在點(diǎn)F(2,0)對(duì)應(yīng)的極線上.

圖4

題目5(福建省2023 屆高中畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí)題)已知圓A1:(x+1)2+y2=16,直線l1過(guò)點(diǎn)A2(1,0)且與圓A1交于點(diǎn)B,C,BC中點(diǎn)為D,過(guò)A2中點(diǎn)E且平行于A1D的直線交A1C于點(diǎn)P,記P的軌跡為Γ.

(2)坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于A1,A2的對(duì)稱點(diǎn)分別為B1,B2,點(diǎn)A1,A2關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為C1,C2,過(guò)A1的直線l2與Γ 交于點(diǎn)M,N,直線B1M,B2N相交于點(diǎn)Q. 請(qǐng)從下列結(jié)論中,選擇一個(gè)正確的結(jié)論并給予證明.

①ΔQB1C1的面積是定值; ②ΔQB1B2的面積是定值; ③ΔQC1C2的面積是定值.

賞析作出第(2) 問(wèn)圖形如圖5 所示, 易知點(diǎn)Q在點(diǎn)A1(-1,0)對(duì)應(yīng)的極線x= -4 上,故ΔQC1C2的面積是定值.

圖5