多方視角覓答案登高望遠(yuǎn)探背景
——2023 年高考新課標(biāo)Ⅰ卷第19 題的探究

廣東省佛山市樂從中學(xué) (528315) 林國紅

一、題目呈現(xiàn)與分析

題目(2023 年高考新課標(biāo)Ⅰ卷第19 題) 已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)證明: 當(dāng)a＞0 時,

試題簡潔清晰,知識方面主要考查函數(shù)的單調(diào)性,證明函數(shù)不等式,導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用等;思想方面主要考查分類討論,轉(zhuǎn)化與化歸等思想. 試題分步設(shè)問,逐步推進(jìn),綜合考查考生邏輯思維、推理論證及運算求解等方面的能力. 試題的思維過程和運算過程體現(xiàn)了能力立意的思想,較好地體現(xiàn)了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中核心內(nèi)容和基本思想方法的考查.

由于問題(1)較為簡單,本文不作討論,下面從不同視角,對問題(2)進(jìn)行解答與探究.

二、證法探究

2.1 構(gòu)造差函數(shù)

評注一般來說, 證明函數(shù)不等式f(x)＞g(x) 恒成立, 可設(shè)F(x) =f(x) -g(x), 則f(x)＞g(x) 恒成立?F(x)＞0 恒成立,即等價于F(x)min＞0. 可以利用導(dǎo)數(shù)來求F(x)的最小值,把函數(shù)不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值. 構(gòu)造差函數(shù)的證法是函數(shù)不等式證明中最常規(guī)、最基本的做法,思路自然. 要注意的是: 有時盡管F(x)存在最小值,但方程F′(x)=0 的根(F(x)的極值點)解不出來,往往要借助零點存在性定理和F′(x)的單調(diào)性,先證明方程F′(x) = 0 有唯一實根x0,用“設(shè)而不求”的方法,證明F(x)min=F(x0) ≥0,在運算過程中要注意利用F′(x0)=0 進(jìn)行替換.

2.2 放縮法

三、試題的命題背景探析

3.1 函數(shù)凹凸性的定義

3.2 函數(shù)凹凸性的判定定理

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),若f(x)在(a,b)內(nèi)有f′′(x)＞0,則f(x)在[a,b]上是下凸函數(shù);若f(x)在(a,b)內(nèi)有f′′(x)＜0,則f(x)在[a,b]上是上凸函數(shù).

3.3 切線不等式

若f(x) 在區(qū)間I為下凸函數(shù), 則對于?x0∈I, 有f(x) ≥f′(x0)(x-x0)+f(x0); 若f(x) 在區(qū)間I為上凸函數(shù),則對于?x0∈I,有f(x)≤f′(x0)(x-x0)+f(x0).

評注下凸函數(shù)圖象上任意一點的切線在函數(shù)圖象的下方, 上凸函數(shù)圖象上任意一點的切線在函數(shù)圖象的上方.高中階段兩個常見的切線不等式: ex≥x+1(x≥0) 與lnx≤x-1(x＞0).

3.4 試題的命制思路

評注函數(shù)凹凸性是函數(shù)的一種特殊特征,其相關(guān)知識十分豐富. 近年來,以函數(shù)凹凸性為背景的題目屢見不鮮,這些試題情景新穎,能考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì),常作為壓軸題出現(xiàn),這也表明: 高等數(shù)學(xué)的相關(guān)理論是命制一些具有創(chuàng)新力與區(qū)分度的高考試題的重要來源. 雖然在高中課本中沒有這方面的內(nèi)容,但若能多了解一些函數(shù)凹凸性的相關(guān)理論知識,可以“登高望遠(yuǎn)”,開拓思維,養(yǎng)成對試題背后的內(nèi)在關(guān)系分析與思考習(xí)慣,便于找到問題的本質(zhì)內(nèi)涵,確定解題方向,尋找簡捷的解題途徑.

四、試題的探源

與ex、lnx相關(guān)的函數(shù)不等式的證明題是高考中的重要考點,倍受命題者青睞. 例如:

真題1(2015 年高考全國新課標(biāo)Ⅰ卷文科第21 題)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點的個數(shù);

(2)證明: 當(dāng)a＞0 時,

真題2(2017 年高考全國新課標(biāo)Ⅲ卷文科第21 題)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)a＜0 時,證明:

可以看出今年考題的“母題”來源于上述高考題,三年的高考題的考查內(nèi)容基本是一致的. 這說明命題專家很重視命題的傳承和相互借鑒,所以在高考的備考中,適當(dāng)加入高考真題的訓(xùn)練的必要的.

五、試題的變式

試題的恰當(dāng)變式,會起到強(qiáng)化解題思想與方法的積極作用,讓學(xué)生在親身實踐中尋求變通,悟出其中問題的本質(zhì),從而為今后的解題遷移找到共同的固著點,對于形成完善的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)和發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力具有重要意義. 對于本考題,可以進(jìn)行如下變式訓(xùn)練:

變式1(2018 年高考全國Ⅰ卷文科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(1)設(shè)x= 2 是f(x)的極值點,求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

變式2(2018 年高考全國Ⅱ卷文科第21 題)已知函數(shù)

(1)求曲線y=f(x)在(0,-1)處的切線方程;

(2)證明: 當(dāng)a≥1 時,f(x)+e ≥0.

變式3(2016 年高考全國Ⅲ卷文科第21 題) 設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)證明: 當(dāng)x∈(1,+∞)時,

(3)設(shè)c＞1,證明: 當(dāng)x∈(0,1)時,1+(c-1)x＞cx.

六、復(fù)習(xí)備考建議

全國卷的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題多以多項式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的組合表達(dá)式為載體, 設(shè)問方式多為考生熟悉的問題類型(切線、單調(diào)性、極值、最值、恒成立、證明不等式、零點等問題),重點考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、函數(shù)的零點及不等式證明等主干內(nèi)容,注重函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法的靈活運用,注重考查考生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識,體現(xiàn)能力立意的命題原則. 因此,在復(fù)習(xí)備考中要注重以下幾點:

1. 突出主干知識. 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題注重對導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算法則、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用等重點內(nèi)容的考查. 因此,要熟練掌握求導(dǎo)公式與法則;函數(shù)的單調(diào)性是核心性質(zhì),要深化對函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識,復(fù)習(xí)時應(yīng)注重導(dǎo)數(shù)法在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用. 要通過有效的變式訓(xùn)練,形成函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識的結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò).

2. 注重綜合,提升能力. 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的解答題一般背景與題型變化多,綜合性強(qiáng),難度較大,綜合考查考生的各種能力. 因此,要重視函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí),在復(fù)習(xí)中注意題型的多樣性與綜合性,在復(fù)習(xí)中要掌握解題思路的發(fā)現(xiàn),強(qiáng)化轉(zhuǎn)化意識,強(qiáng)化構(gòu)造函數(shù)解決問題的方法,不要因為偏難而選擇性放棄,通過有效教學(xué)及訓(xùn)練,幫助學(xué)生克服畏難情緒.

3. 善于總結(jié),提煉方法. 復(fù)習(xí)時要善于總結(jié),將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題分門別類,并歸納出常用的解法. 此外通過題目的訓(xùn)練,提煉函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的數(shù)學(xué)思想,重點運用轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法處理函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題.

4. 要關(guān)注高考的熱點. 函數(shù)不等式的證明有綜合性強(qiáng),思維量大,方法繁多,技巧性強(qiáng)等特點,也是高考的熱門考點之一,?？汲Ｐ? 因此要注意題型與解法的歸納分類,并通過有效的訓(xùn)練去掌握與提高.

5. 關(guān)注函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的命題變化. 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的解答題在全國卷中一般以“壓軸題”的方式呈現(xiàn),而今年的新課標(biāo)Ⅰ卷卻以“中檔題”的形式放在第19 題,在考查難度上進(jìn)行了大膽的嘗試. 這意味著高考的命題將更加靈活,未來的趨勢就是,約定俗成的規(guī)則會被打破,命題的套路會變少,凸顯“反刷題”的命題思想. 所以不要依賴套路,減少機(jī)械式刷題,重在夯實基礎(chǔ),平時要多注意運算能力與思維能力的培養(yǎng),提高分析題目的能力,形成分析,總結(jié)與歸納的習(xí)慣,這樣才能更好地應(yīng)對新高考.

此外,還要重視高考試題的使用. 高考試題是精心之作,每年的高考題在命題角度、題型、難度等方面都進(jìn)行了充分考量,是知識、能力和思想方法的載體,具有典型性、示范性和權(quán)威性. 高考試題除了具有測試與選拔功能外,還具有良好的教學(xué)功能,要了解高考動向、把握高考脈搏,高考試題的研究是重要的路徑. 所以在復(fù)習(xí)中,要加強(qiáng)高考題的滲透,通過高考真題的訓(xùn)練體會命題思想,善于作解后反思,方法的歸類,并對試題進(jìn)行挖掘,擴(kuò)大高考題的輻射面,從而實現(xiàn)高考試題功能的最大化、最優(yōu)化.