對2023 年高考新課標Ⅰ卷第21 題的探究溯源及拓展變式

江蘇省南京市板橋中學 (210039) 紀明亮

2023 年高考新課標Ⅰ卷第21 題是一道概率統(tǒng)計題,主要考查條件概率和全概率公式及由遞推關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列.這些都是高中數(shù)學內(nèi)的重要知識點. 全概率公式是在文[1]中有系統(tǒng)介紹.

引理[1]若事件A1,A2,···,An兩兩互斥,且它們的和＞0,i= 1,2,···,n,則對Ω 中任意事件B, 有這個公式稱為全概率公式.

一、試題呈現(xiàn)

題目1(2023 年高考新課標Ⅰ卷第21 題)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下: 若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對方投籃. 無論之前投籃情況如何,甲每次投籃命中率均為0.6,乙每次命中率均為0.8. 由抽簽確定第1次投籃的人選,第1 次投籃人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2 次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

(3)已知:若隨機變量Xi服從兩點分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi= 0) =qi,i= 1,2,···,n,則記前n次(即從第1 次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y,求E(Y).

分析(1)第1 次投籃的人是甲或乙,可由全概率公式得到第2 次投籃的人是乙的概率.

(2)每次投籃人是甲與是乙是對立事件. 從第2 次開始投籃人是甲是由前一次投籃人是誰且是否投進決定的. 設(shè)i次投籃的人是甲的概率為pi,根據(jù)全概率公式建立pi+1與pi的遞推關(guān)系,再由該關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列得到pi關(guān)系式.

(3)因為甲每次投籃次數(shù)是0 或1 服從兩點分布,所以根據(jù)題中提供的兩點分布的期望公式只需求得的第i次投籃的人是甲的概率pi,即可算出n次投籃甲投籃次數(shù)的期望.

二、試題解答

解(1) 記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai,“第i次投籃的人是乙”為事件Bi, 根據(jù)全概率公式得P(B2) =P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.

三、試題溯源

這道高考題的問題背景是馬爾科夫鏈[2], 馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的重要模型, 其數(shù)學定義: 假設(shè)我們的序列狀態(tài)依次是X1,X2,···,Xi,Xi+1,···, 那么Xi+1時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一時刻Xi的狀態(tài), 即P(Xi+1|X1,X2,···,Xi)=P(Xi+1|Xi).

四、變式探究

題目2設(shè)k個人進行相互傳球游戲,每個拿球的人等可能地把球傳給其他人中的任何一位,k≥3,初始時球在甲手中,第n次傳球之后,

(1)球回到甲手中的概率是多少?

(2)記前n次(即從第1 次到第n次傳球)之后球在甲手中次數(shù)為X,求E(X).

五、拓展延伸

馬爾科夫鏈的推廣設(shè)我們的序列狀態(tài)依次是X1,X2,···,Xi,Xi+1,···, 那么Xi+1時刻的狀態(tài)的條件概率依賴前兩個時刻Xi、Xi-1狀態(tài),即

若隨機事件Ai服從這一模型,設(shè)P(Ai)=pi,則根據(jù)全概率公式得:

五、后記

這道高考題蘊含豐富的知識點和思想方法, 馬爾科夫鏈、全概率公式、等比數(shù)列構(gòu)造、等比數(shù)列求和、數(shù)學期望等重要知識點在這里交匯. 對高考題進行溯源,能透過問題可以發(fā)現(xiàn)其背后的數(shù)學原理.