“數(shù)形結(jié)合”解簡(jiǎn)單指(對(duì))數(shù)不等式

袁少軍

(湖北省麻城市第二中學(xué))

人教A 版數(shù)學(xué)教材《必修1》中介紹了一元二次不等式的解法,其中解含參數(shù)的不等式是一類重難點(diǎn)問題,教材也著重對(duì)該類問題進(jìn)行了探究.但后續(xù)的學(xué)習(xí)中有關(guān)指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法卻沒作重點(diǎn)研究,以至于在高二、高三導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中,學(xué)生遇到有關(guān)不等式的問題時(shí),困難重重,錯(cuò)誤頻出.

1 問題的呈現(xiàn)

此題得分偏低,解答中出現(xiàn)的錯(cuò)誤很多,有的同學(xué)沒有注意函數(shù)的定義域,有的同學(xué)沒有進(jìn)行分類討論…… 我們先回顧一下一元二次不等式的求解過程:首先是將一元二次不等式化簡(jiǎn)整理為ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0等)的規(guī)范形式,然后利用Δ＞0,求出對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根x1,x2(不妨設(shè)x1＜x2),再結(jié)合對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像,在a＞0時(shí),拋物線開口向上,最后可得解集{x|x＜x1或x＞x2},其余情形,這里不再贅述.總結(jié)起來,就是先尋找函數(shù)的零點(diǎn),再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的圖像得出不等式的解集.

2 系數(shù)為常數(shù)的指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法

例1解下列不等式:

(1)ex－2＞0;

(2)1－2lnx＞0.

解析

(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－2,則f(x)的零點(diǎn)為x＝ln2,易知f(x)單調(diào)遞增,則可作出f(x)的草圖如圖1所示,故所求不等式的解集為(ln2,＋∞).

(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝1－2lnx,則g(x)的零點(diǎn)為,易知g(x)單調(diào)遞減,且x∈(0,＋∞),則可作出g(x)的草圖如圖2所示,故所求不等式的解集為

圖2

點(diǎn)評(píng)

求解此類不等式的方法很多,此處所用的方法是先求函數(shù)零點(diǎn),再判斷函數(shù)的單調(diào)性,最后根據(jù)“數(shù)形結(jié)合”得出解集.

例2解下列不等式:

(1)(ex－1)(ex－2)＞0;

(2)(x－2)(ex－2)＜0.

解析

(1)方法1因?yàn)?ex－1)(ex－2)＞0,所以

方法2設(shè)函數(shù)f(x)＝(ex－1)(ex－2),則f(x)的零點(diǎn)為x1＝0,x2＝ln2,在每一個(gè)因式中ex的系數(shù)為正的條件下,作出f(x)的草圖如圖3所示,可得解集為(－∞,0)∪(ln2,＋∞).

圖3

方法2設(shè)函數(shù)g(x)＝(x－2)(ex－2),則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)為x1＝2,x2＝ln2,在兩個(gè)因式中x和ex的系數(shù)都為正的條件下,作出g(x)的草圖如圖4 所示,可得解集為(ln2,2).

圖4

點(diǎn)評(píng)

方法1是通過分類討論,將之轉(zhuǎn)化成求解不等式組.方法2先將不等式進(jìn)行因式分解,使每一項(xiàng)的系數(shù)為正,再求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)(即對(duì)應(yīng)方程的根),然后在數(shù)軸上按大小順序依次標(biāo)根,最后從右往左、自上而下依次穿根得到解集.

3 含參數(shù)的指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法

此類問題多見于導(dǎo)數(shù)解答題中的單調(diào)性討論問題,如“指數(shù)函數(shù)與一次、二次函數(shù)聯(lián)袂的函數(shù)”,還有“對(duì)數(shù)函數(shù)與一次、二次函數(shù)聯(lián)袂的函數(shù)”.此類函數(shù)求導(dǎo)后的導(dǎo)函數(shù)常常是以下形式:(mx＋n)(aex＋b),(mx＋n)(alnx＋b).對(duì)于導(dǎo)函數(shù)為(mx＋n)·(aex＋b)(m,n為系數(shù))形式的函數(shù),我們較熟悉,此處不作討論;對(duì)于a,b為參數(shù)時(shí),可作如下分類討論:

當(dāng)a＝0時(shí),導(dǎo)函數(shù)變?yōu)?mx＋n)·b,利用一次函數(shù)的性質(zhì)討論即可;

當(dāng)a,b同號(hào)時(shí),若導(dǎo)函數(shù)中的因式(aex＋b)恒為正或恒為負(fù),討論(mx＋n)即可;

當(dāng)a,b異號(hào)時(shí),設(shè)導(dǎo)函數(shù)(mx＋n)(aex＋b)的零點(diǎn)為x1,x2,再依據(jù)m,a的正負(fù),對(duì)有關(guān)的不等式進(jìn)行分類討論即可.

例3已知函數(shù)f(x)＝aex－x－1(a∈R),試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

解析

易知f(x)的定義域?yàn)镽,且f′(x)＝aex－1.當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)＝aex－1＜0恒成立,故f(x)在R上單調(diào)遞減.

當(dāng)a＞0時(shí),令f′(x)＝aex－1＝0,可得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)為x＝－lna,此時(shí)f′(x)在a＞0的條件下單調(diào)遞增,可作出f′(x)的草圖如圖5所示,則aex－1＞0的解集為(－lna,＋∞),故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－lna,＋∞);同理,aex－1＜0 的解集為(－∞,－lna),故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞,－lna).

圖5

綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞減;當(dāng)a＞0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－lna,＋∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞,－lna).

點(diǎn)評(píng)

求解有關(guān)導(dǎo)函數(shù)的不等式時(shí),可以通過數(shù)形結(jié)合思想得出不等式的解集,從而寫出正確的單調(diào)區(qū)間.

令f′(x)＝0,得x＝1或a.

當(dāng)a＝1時(shí),f′(x)≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí),等號(hào)成立),故f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增.

當(dāng)0＜a＜1時(shí),令f′(x)＞0,則(x－a)lnx＞0,此時(shí)兩個(gè)因式中x和lnx的系數(shù)都為正的條件下,零點(diǎn)為x1＝1或x2＝a(x1＞x2),作出φ(x)＝(xa)lnx的草圖如圖6所示,可得出解集為(0,a)∪(1,＋∞);令f′(x)＜0,則(x－a)·lnx＜0,同理可得出解集為(a,1).

圖6

當(dāng)a＞1時(shí),令f′(x)＞0,則(x－a)lnx＞0,此時(shí)兩個(gè)因式中x和lnx的系數(shù)都為正的條件下,零點(diǎn)為x1＝1或x2＝a(x1＜x2),作出φ(x)＝(x－a)lnx的草圖如圖7 所示,可得出解集為(0,1)∪(a＋∞);令f′(x)＜0,則(x－a)lnx＜0,同理可得出解集為(1,a).

圖7

綜上,當(dāng)a＝1時(shí),f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)0＜a＜1時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a),(1,＋∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,1);當(dāng)a＞1時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(a,＋∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,a).

點(diǎn)評(píng)

此題中導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),類比一元二次不等式的“數(shù)軸標(biāo)根法”,可以準(zhǔn)確地寫出導(dǎo)數(shù)不等式的解集,求出單調(diào)區(qū)間.

例5已知函數(shù)f(x)＝ae2x＋(1－2a)ex－x,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

解析

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且

當(dāng)a≥0時(shí),2aex＋1＞0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,＋∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞,0).

(完)